2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科)(有答案解析)

1、1.2.3.4.5.6.2020 年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）、选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分）已知集合 ，A.B.已知 i 为虚数单位，复数zA. z 的虚部为 iB.设 p：， q：，A. 充分不必要条件C. 充分必要条件，则C.D.满足，则下列判断正确的是C.D.p是 q 成立的B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件A.C.B.D.的前 n 项和为 若 ， ，则函数 的大致图象是等比数列A.C. 32D. 40B.40 多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，改革开放消费结构明显优化 如图给出了 年部分年份我国农村居民人均

2、生活消费支出与恩格尔系数 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重 统计图 对所列年份进行分析， 则下列结论错误的是第 17 页，共 18 页A. 农村居民人均生活消费支出呈增长趋势B. 农村居民人均食品支出总额呈增长趋势C. 2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长最快D. 2015 年至 2017 年农村居民人均生活消费支出总额增长比率大于人均食品支出总额增长比率7. 已知矩形 ABCD，E，F分别为 AB，CD的中点，将四边形 AEFD沿 EF折起，使 ，则过 A，B，C，D，E，F 六点的球的表面积为A. B. C. D.8. 已知函数 的最小正周期为 ，若将其

3、图象沿 x 轴向右平移 个单位，所得图象关于 对称，则实数 m 的最小值为A. B. C. D.9. 今年 年 是闰年如图所示是判断 包括 2000，但不包括年中哪些年份是闰年的程序框图，那么由框图可知，在 年中年份是闰年的个数是A. 241 B. 242 C. 243 D. 24410. 已知抛物线 C：的焦点为 F，准线与 x轴交于点 K，过点 K 作圆的切线，切点分别为 A， 若 ，则 p 的值为A. 1 B. C. 2 D. 311. 棱长为 1 的正方体中， P， Q分别为，BC的中点，现有下列结论： ； 平面 ；平面 ； 四面体 的体积等于 其中正确的是A.B.C.D.12. 函数

4、 恰有两个零点 ， ，且 则 所在区间为A. B. C. D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0分）13. 已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则 14. 等差数列 中， ， 是其前 n 项和，则使 取最大值的 n 的值为 15. 鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质如图，若 点 C 为线段 AB的三等分点且 ，分别以线段 AB，AC，BC 为直径且在 AB同侧作半 圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形 即图中阴影部分 现等可能地从以 AB 为直径 的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为 16. 已知双曲线 C：的左、右焦点分别为 ，

5、，一条渐近线方程记为，直线 l：与双曲线 C 在第一象限内交于点 P，若，则双曲线 C 的离心率为 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0分）17. 在中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 求角 B 的大小； 若 的周长等于 15，面积等于，求 a，b， c的值18. 如图，在四面体 ABCD中， E是线段 AD 的中点， ， 证明： ； 求平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值19. 某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超 市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市 对社区居民户

6、每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图 如图 从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取 5 户若将频率视为概率，求至少有两户购买量在 单位： 的概率是多少？若抽取的 5 户中购买量在 单位： 的户数为 2 户，从 5 户中选出 3 户进行生活情况调 查，记 3 户中需求量在单位： 的户数为 ，求 的分布列和期望；将某户某天购买甲类物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于 时，则 将该居民户称为“迫切需求户”， 若从小区某天购买甲类物资的居民户中随机抽取 10 户，且抽 到 k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k 的值20. 已知椭圆 的离心率为 ，F是 E的

7、右焦点，过点 F 的直线交 E于点 和点 当直线 AB 与 x 轴垂直时， 求椭圆 E 的方程； 设直线 l：交 x轴于点 G，过点 B作 x轴的平行线交直线 l于点 求证：直线 AC过线段 FG 的中点21. 已知函数 讨论的单调性； 当时，对任意的 ， ， 且，都有 ，求实数 m 的取值范围22. 在平面直角坐标系中， 以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 并在两坐标系中取相同的长度单位 已知曲线 C 的极坐标方程为，直线 l 的参数方程为为参数 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； 若直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，且 ，求 的值23. 已知 ，

8、，且 若对于任意的正数 a，b，不等式恒成立，求实数 x 的取值范围； 证明： 答案与解析1. 答案： A解析： 解： 集合 ，故选： A求出集合 A， B，由此能求出考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、一元二次不等式解集的计算 方法2. 答案： C解析： 解： ，其虚部为 1，A 错；，B错；，C 正确；，D 错误故选： C 先整理已知的复数，再根据复数的概念、运算及其性质即可判断结论 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念、运算及其性质，共轭复数的概念，是基 础题3. 答案： A解析： 解： p：， ： ，则 所以 p是 q成立的充分不必要条件故选：

9、A利用对数函数、指数函数的性质分别化简p， q，即可判断出关系本题考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语考查考生的计算能力，属于基础题4. 答案： A解析： 解：函数 的定义域为 ，且为偶函数，排除选项 C，D ； 当 时，排除 B ，故选： A利用函数的定义域及周期性可排除CD ，利用时，可排除 B，由此得出正确选项本题考查函数的概念、奇偶性，考查考生对函数图象的分析及计算能力，属于基础题5. 答案： B解析：解：设公比为 q， ， ， ，又， ，解得 ， ， ，故选：B由题设条件求出等比数列 的首项与公比，然后求出结果，选出正确选项 本题考查等比数列的概念、通项公式与前 n 项和公式

10、等基础知识，属于基础题6. 答案： D解析： 解：从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故 A 正确；根据“农村居民人均食品支出总额 农村居民人均生活消费支出 恩格尔系数”，计算可得农村居 民人均食品支出总额呈增长趋势，故 B 正确；年份1983198719911995199920032007201120152017农村居民人均生活消费支出2122834927368959422016340874869050恩格尔系数67616156525052494243农村居民人均食品支出总额471农村居民人均生活消费 支出比较上一统计数据 的增长量7120924415947107413924

11、07815642011年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长 4078元，为最快；故 C正确；2015年到 2017 年农村居民人均生活消费支出增长比率为，人均食品支出总额增长比率为 故 D 错误故选： D根据图表数据进行判断，求增长速度，增长率，进行判断本题考查统计图的应用， 考查学生“读图识图”的能力和从统计图中提取数据的能力， 属于中档题7. 答案： D解析：解：折起的如图所示， 其中 ， 分别为正方形 AEFD 和 BCFE 的中心， O为过 A，B，C，D，E，F六点的球的球心， G为 EF中点， 则 ， 分别垂直于这两个平面，且 ， 所以 ，而， 所以 ， 所以球的表面积为

12、 故选： D根据已知条件画出示意图，求出球的半径即可求解结论 本题主要考查了直棱柱和球的相关概念，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以及分析问题和 解决问题的能力8. 答案： B解析： 解： ，由其最小正周期为 ， ，所以 ， 将其图象沿 x 轴向右平移 个单位，所得图象对应函数为 ， 因为其图象关于 对称，则有 ，解得 ，由 ，实数 m 的最小值为 故选： B先利用降幂公式将函数式化简为 的形式，然后利用图象变换的规律求出变换 后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出m 的值本题考查考生对正弦型三角函数的图象与性质 对称性、周期性、单调性 的掌握情况考查考生对 三角函数三种表征 零点、对称

13、轴、单调性 的理解与转换考查考生对三角函数的数形结合思想、 基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力9. 答案： C解析： 解：根据框图可知，判断是闰年的条件是年份能被 4整除但不能被 100 整除，或者能被 400 整除由 ，得 ，所以在 年中，年份能被 4 整除个数是 250 同理可得，在 年中，年份能被 100、400整除个数分别是 10和 3，所以闰年的个数为，故选： C 根据流程图的，判断其意义，进行判断 本题考查考生对程序框图基本逻辑结构的理解和掌握，考查算法的含义和算法思想，属于基础题10.答案： C解析： 解：连接 FA，因为 F 就是圆 的圆心，所以 ，且 又 ，所以 ，那么

14、 ，所以 是等边三角形，所以 又 ，所以 故选： C连接 FA，通过 F 是圆的圆心，结合图形， ，通过求解 是等边三角形，推出结果考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思维方法和考生对数量关系的分析能力11.答案： C解析： 解：如图 1，取 AD 中点 M，连接与 MQ ，则 ， 平面，则 PQ 与 异 面，矛盾，故 错误； 如图 2，取 CD 中点 R，易得平面 平面 ，故 正确；若 正确，则，则 ，矛盾，故 错误；如图 2，故 正确故选： C如图 1，取 AD中点 M，连接与 MQ，说明 PQ与异面，判断 ；如图 2，取CD 中点 R，推出平面 平面 ，判断

15、；通过 ，则 ，推出矛盾， 判断 ； 利用体积求解判断 本题侧重于考查考生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以及空间几何体的体积的 计算，考查考生的空间想象能力和转化能力12.答案： D解析： 解：当 时，不符合题意；当 时，考查函数 与图象易知， 与 图象在区间 上必有个交点，则在区间 上有且仅有一个公共点，当 时， ， ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，则只需 ，故 ，当 时， ，易知 ， ，可知 故选： D 结合导数分析函数的特征性质，然后结合函数图象的基本趋势及零点判定定理进行求解即可 本题考查对数函数的概念与性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力以及综

16、合运用数学知识 灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想，属于中档题13.答案： 3解析： 解：根据题意，向量 ，则 ，又由 与 的夹角为 ，则 ，则有 ， 变形可得： ；故答案为： 3根据题意，求出 的值，由数量积的计算性质可得 ，变形 分析可得答案本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量的坐标以及向量的模的计算，属于基础题14.答案： 16解析： 解：方法 1：设公差为 d，得，即 又 ， 等差数列 中， 时， 取得最大值方法 2：设公差为 d，由，得 ，故 ，即又因为 ，其对应为二次函数 的图象开口向下，对称轴为 ， ，故 时， 取得最大值故答案为： 16 直接套用等差数列的通项公式，化简题

17、中不等式，根据等差数列的基本性质或二次函数的最值来求 解 的最大值本题考查等差数列的通项公式和前n 项和最值的求解，对考生的逻辑推理能力、运算求解能力有定要求15.答案：解析： 解：设 ， ，则 ， ，于是阴影部分的面积为 ，于是所求概率为 故答案为： 分别求出各自的面积，转化为面积比即可本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题和解 决问题的能力16.答案：解析： 解：如图，延长 交直线 于点M，故答案为： 则由角平分线的性质可得 P 为 的中点， ， 求得 ， ，代入双曲线 ，由题意画出图形，延长 交直线于点 M，可得 P 为 的中点，求得 M 点坐

18、标， 进一步求得 P 点坐标， 把 P 点坐标代入双曲线方程即可求得双 曲线的离心率 本题考查双曲线的定义、标准方程、焦点等相关概念，考查数形结合的思维方法和考生对数量关系 的分析能力，是中档题17.答案： 解： 由 ，根据正弦定理得，根据余弦定理得，由 ，所以 由，得 又 ，由 知 ，所以 ，化简得 得 ， ，或者 ， 所以 ， ， ，或者 ， ， 解析： 由已知结合正弦定理及余弦定理可求cosB，进而可求 B；由已知结合三角形的面积公式可求ac，结合的结论可求本题考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运算求解能力18. 答案：解： 证明：取线段 BD的中点 F，连

19、接 EF，CF 因为 E是线段 AD 的中点，所以又 ，所以因为，F 是 BD 的中点，所以因为平面 ECF ，平面 ECF，所以平面 ECF，而平面 ECF，所以 解法一： 令，则 ，那么 ， ，所以，所以 又 ， ，故可以点 F 为原点， 射线 FC 、FD 、FE 分别为 x轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示则所以 ， ， 设平面 BEC、平面 DEC 的法向量别为 ， ，则 ，得，取，取，得，则 ，取，取所以 故平面 BEC与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值为 解法二：令 ，由已知及 得 ，所以 ， 均为 棱长为 a 的正三角形取 CE 中点 G ，则， ，故 为

20、二面角 的平面角，在中， ， ，由余弦定理可得： ，故平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值为 解析： 取线段 BD 的中点 F，连接 EF，证明 推出 平面 ECF，然后证明 解法一：令 ，点 F 为原点，射线 FC、FD、FE 分别为 x 轴、y 轴、z轴正 方向，建立空间直角坐标系，如图所示求出平面BEC 、平面 DEC 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值解法二：令 ，取 CE 中点 G，则， ，说明 为二面角 的平面角，利用余弦定理转化求解，平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值 即可本题综合考查立体几何的基本知

21、识、基本思想和基本方法，通过空间的直线与直线、直线与平面、 平面与平面的位置关系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及计算考查考 生的运算求解能力19. 答案：解： 由题意，事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 1 户，购买量在 发生的概率为 记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5 户，则至少有两户购买量在”为 A，则随机变量 所有可能的取值为 0， 1， 则 ， ，012所以 每天对甲类物资的购买量平均值为， 则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为 ，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切 需求户”的概率为 ，若从小区随机抽取 10户，且抽到 X

22、户为“迫切需求户”，则 X，故 ，若 k 户的可能性最大，则，得，得，解得 ，由于 ，故 解析： 事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 1 户，购买量在 ”发生的概率 为记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5 户，则至少有两户购买量在”为 A，利用独立重复实验的概率求解即可随机变量 所有可能的取值为 0， 1， 求出概率得到分布列，然后求解期望每天对甲类物资的购买量平均值， 求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为 ，判断 X，通过若 k 户的可能性最大，列出不等式组，求解k即可本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体

23、的思想与 方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用，考查考生应用所学的统计与概 率知识分析问题、解决问题的能力20. 答案： 解： 由 ，得 ，所以 因为直线 AB 经过点 F，且，当直线 AB 与 x 轴垂直时，则 ，且 ， 所以 ，故 ，得 ，所以 ， 所以椭圆 E 的方程为 由 有直线 l ：，故 G ，因为 ，则线段 FG 的中点为 当直线 AB 与 x 轴垂直时， ，且 ，故 A ， ， ，这时直线 AC 的方程为，即 令 ，得 ，所以直线 AC 过线段 FG 的中点当直线 AB 不与 x 轴垂直时，可设其方程为整理得 因为 ， ， ，所以直线 AC 的方程为 因为

24、 ， ，所以，这说明直线 AC 过点 综上，可知直线 AC过线段 FG 的中点解析： 通过离心率推出 ，结合 转化求解 a，b，求解椭圆 E 的方程 求出 ， ，得到线段 FG 的中点为 当直线 AB 与 x 轴垂直时，说明直线AC过线段 FG的中点 当直线 AB不与 x轴垂直时，可设其方程为，代入 ，利用韦达定理设 ， ， ，求出 AC 的方程为 推出直 线系方程，说明直线 AC过线段 FG 的中点本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和考生的 逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力21. 答案： 解： 当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ，所以当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递减， 当 时， ，不妨设 ，则 等价于 ，考察函数 ，得，令