湖北省武汉市东湖高新区2019-2020年九年级(上)期中数学试卷解析版

1、2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷.选择题(共10小题)1 .方程4x2=81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()A. 4, 0, 81B. 4, 0, 81C. 4, 0, - 81D. -4,0,- 812 .如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转()度.1 1A. 60B. 90C. 120D. 1503 .在平面直角坐标系中，有 A (2, - 1), B (0, 2), C (2, 0), D (- 2, 1)四点，其中关于原点对称的两点为()A.点A和点BB.点B和点CC.点C和点D D.点D和点A4 .在。O

2、中，弦AB的长为16,圆心O到AB的距离为6,则。O的半径为(A. 10B. 6C. 5D. 425.抛物线y= (x+4) - 3可以由抛物线2y=x平移得到，则下列平移过程正确的是(A.先向左平移4个单位，再向上平移 3个单位B.先向左平移4个单位，再向下平移 3个单位C.先向右平移4个单位，再向下平移 3个单位D.先向右平移4个单位，再向上平移 3个单位6 .某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是 91,设每个枝干长出 x小分支，列方程为()A.(1+x)2=91B.1+x+x2= 91C. (1+x)x= 91D.1+x+2x=91

3、27 .对二次函数 y= - 5 (x+2) -6的说法错误的是()A.开口向下8 .最大彳I为-6C.顶点(2, - 6)D. xv - 2时，y随x的增大而增大8 .以原点为中心，把点 A (a, b)逆时针旋转90。，得点B,则点B坐标是()A.(a,b)B.(b,a)C. (b, a)D.( b, a)9 .如图，将半径为 2,圆心角为120。的扇形OA璘点A逆时针旋转一个角度，使点 O的对应点D落在弧卷上.点B的对应点为 C.连接BC则BC的长度是(D. 3 ：2 .10.如图，一次函数 y= ax+bx+c的图象过点A (3, 0),对称轴为直线 x=1,给出以下结论:abc0;a

4、+b+c> ax2+bx+c;若 M(n2+1, y1)，N (n2+2,、公 为函数图象上的两点,则y1>y2.若关于x的二次方程ax2+bx+c=p (p>0)有整数根，则 p的值2个.有其中正确的有()个.(-1.0y=白典白工十亡A. 1B. 2C. 3D. 4二.填空题(共6小题)11.在数4, 3, 2, 1, 0, 1 , 2,、一 23, 4中是方程x+x- 12= 0的根有2 .12.抛物线y= ax+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),则此抛物线的对称轴是13 .如图，四边形 ABC呐接于。Q 若/ BOD= 138° ,则它的一个

5、外角/ DC厝于Q3C E14 .如图，线段 AB的长为1,线段AB上取点P1满足关系式 AP2=BP?AB则线段AP的长2度为;线段AP上取点R满足关系式 AR=PiP2?AP,线段AR上的点P3满足关系一 2式AR = P2P3?AP2,依次以此类推， AR的长度为金 Ph % P2PlB| 2 ,15 .抛物线y=ax+bx+c经过点A(-1, 0)、B (5, 0)两点，则关于 x的一兀二次万程 a (x 1) 2 = b - bx 的解是.16 .如图，ABC43, AB= AC, Z BAG= 90 , BDL BC CEEL BC / DAE= 45 ,若 BD=v30，CE 3

6、/io,则线段 DR.三.解答题(共8小题)17 .解方程：x?-x1=0.18 .如图A、B是。O上的两点,/AOB= 120° , C是弧AB的中点，求证四边形 OAC谑菱形.19.如图，要为一幅长 30cmi宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度x相等，且镜框所占面积为照片面积的里，镜框的宽度应该多少厘米?2520.如图，在7X7正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点 A B、C都为格点，且点 A (1, 2),请分别仅用一把无刻度的直尺画图；(1)过点C画一条线段 AB的平行线段CD直接写出格点 D的坐标；(2)过点C画一

7、条线段 AB的垂直线段CE直接写出格点 E的坐标；(3)作/ DCE勺角平分线CF,直接写出格点 F的坐标；(4)作/ ABM使/ AB限45° ,直接写出格点 M的坐标;(1)求证：AOF分 / BAC(2)若AB= 4/5, BC= 8,求半径 OA勺长.22 .某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量 y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：注：日销售利润=日销售量x （销售单价-成本单价）销售单价X （元）757882日销售量y （件）15012080日销售利润w （元）5250a3360（

8、1）根据以上信息，填空:该产品的成本单价是兀，表申a的值是, y关于x的函数关系式是；（2）求该商品日销售利润的最大值.（3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m> 0）,该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是 6600元，直接写出 m的值.23 .若点P为 ABC/f在平面上一点，且/ APB= / BPC= / CPA= 120° ,则点P叫做 ABC 的费马点.当三角形的最大角小于120。时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点".即PA+PaPC最小

9、.（1）如图1,向 ABC7卜作等边三角形 ABD AAEC连接BE, DC相交于点P,连接AP证明：点P就是ABO马点;证明：PA+PBbPC= BEE= DC(2)如图 2,在 MN阴，MN= 4/2, /M= 75° , MG= 3.点 O是MNG一点，则点 O到 MN。个顶点的距离和的最小值是点 C (0, - 3).A在点B的左边，与y轴交于(1)求点A B的坐标;(2)点D是抛物线上一点，且/ ACO/ BCD= 45。，求点D的坐标；(3)将抛物线向上平移 m个单位，交线段 BC于点M N,若/ MOM 45。，求m的值.参考答案与试题解析.选择题(共10小题)1 .方

10、程4x2=81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()A. 4, 0, 81B. - 4, 0, 81C. 4, 0, - 81 D. -4,0,- 81【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数、一次项系数和常数项即可.【解答】解：方程整理得：4x2- 81 = 0,二次项系数为4; 一次项系数为0,常数项为-81,故选：C.2 .如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转()度.A. 60B. 90C. 120D. 150【分析】利用旋转中的三个要素(旋转中心；旋转方向；旋转角度)设计图案，进而判断出基本图形的旋转角度.【解答】解：根据

11、图形可得出：这是一个由基本图形绕着中心连续旋转3次，每次旋转120度角形成的图案.故选：C.3 .在平面直角坐标系中，有 A (2, - 1), B (0, 2), C (2, 0), D (- 2, 1)四点，其中 关于原点对称的两点为()A.点A和点BB.点B和点CC.点C和点DD.点D和点A【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案.【解答】解：: A (2, -1), D (- 2, 1)横纵坐标符号相反，关于原点对称的两点为点D和点A.故选：D.4 .在。O中，弦AB的长为16,圆心O到AB的距离为6,则。O的半径为()A. 10B. 6C. 5D. 4【分析】过点 O作OaAB于

12、点E.根据垂径定理和勾股定理求解.【解答】解：过点 O作OaAB于点E,连接OC弦AB的长为16,圆心O到AB的距离为6,.OE= 6, AE= -AB= 8, 2在RtAAOEE,根据勾股定理得，。%而访/ = 1符;/=10，故选：A.5 .抛物线y= (x+4)之-3可以由抛物线y=x?平移得到，则下列平移过程正确的是()A.先向左平移4个单位，再向上平移 3个单位B.先向左平移4个单位，再向下平移 3个单位C.先向右平移4个单位，再向下平移 3个单位D.先向右平移4个单位，再向上平移 3个单位【分析】直接根据函数图象平移的法则进行解答即可.【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y

13、=x2向左平移4个单位可得到抛物线 y= (x+4),2 .由 上加下减 的原则可知，抛物线y= (x+4)向下平移3个单位可得到抛物线 y= (x+4)故选：B.6 .某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是 91,设每个枝干长出 x小分支，列方程为()A. (1+x) 2=91B. 1+x+x2= 91C. (1+x) x= 91 D. 1+x+2x= 91【分析】设每个枝干长出 x个小分支，则主干上长出了x个枝干，根据主干、枝干和小分支的总数是91,即可得出关于 x的一元二次方程，此题得解.【解答】解：设每个枝干长出x个小分支，则主干上

14、长出了x个枝干，根据题意得：x?+x+1 = 91.故选：B.27 .对二次函数 y= - 5 (x+2) -6的说法错误的是()A.开口向下8 .最大彳I为-6C.顶点(2, - 6)D. x< - 2时，y随x的增大而增大【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得.【解答】解：A由a=- 5V0知抛物线开口向下，此选项说法正确，不符合题意；R由a= - 5V0知抛物线在x = - 2时，取得最大值-6,此选项说法正确，不符合题意;C.二次函数y= - 5 (x+2) 2-6的顶点坐标为(-2, -6),此选项错误，符合题意；D.当xv-2时，y随x的增大而增大，此选项正确，不符合题意；

15、故选：C.8.以原点为中心，把点 A (a, b)逆时针旋转A. (- a, b)B. (- b, a)【分析】画出图形，利用图象法即可解决问题.【解答】解：观察图象可知 B ( - b, a), 卞5 -4 -/ A7/:-5 -4 -3 -2 -1 CM 2 3 4 5-1p-2-3-4 -90。，得点B,则点B坐标是()C. (b, - a)D. (- b, - a)-5故选：B.9.如图，将半径为 2,圆心角为120°的扇形OA璘点A逆时针旋转一个角度，使点 O的对应点D落在弧 皿上.点B的对应点为C.连接BC则BC的长度是(C. 2 ：【分析】如图，连接 OD BD首先证明

16、O,D, C共线，进而利用三角函数解答即可.【解答】解：如图，连接 OD BDA O由题意：OA= OD= AD， AOD1等边三角形， Z AD(O A AOD= 60° , . / ADG= / AOB= 120 , /ADO/ AD住 180 ,. O, D, C 共线，. /AOD= Z DOB= 60° , OD= OB .OBD1等边三角形， / BD8 60 , . DC= DBDCB= / DBC= 30° , ./ OBC= 90° ,. BC= V3OB= 2<3,故选：C.210.如图，二次函数 y=ax+bx+c的图象过点

17、A (3, 0),对称轴为直线 x=1,给出以下结论：abcv0； a+b+c> ax2+bx+c；若 M(n2+1, y1)，N (n2+2, 2 为函数图象上的两点,2则y1>y2.右关于x的一兀二次方程 ax+bx+c=p (p>0)有整数根，则 p的值2个.C. 3D. 4【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与 y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.【解答】解：.抛物线开口向下，a< 0;抛物线的对称轴为直线x=- 且=1 >0,2a. .b>0;.抛物线与y轴的交点在x轴上

18、方，. O 0,1- abc<0,故正确；,当x=1时，函数有最大值，2a+b+O ax +bx+c,故正确；;抛物线的对称轴是 x=i,则M （n2+1, y1），N （n2+2, v2在对称轴右侧，n2+1<n2+2,1 yi>y2,故正确；,抛物线的对称轴是 x=1,与x轴的一个交点是（3, 0）,，抛物线与x轴的另个交点是（-1, 0）,2 .把（3, 0）代入 y=ax+bx+c 得，0= 9a+3b+c, 抛物线的对称轴为直线x=- 旦=1,2ab= - 2a, 1- 9a- 6a+c= 0,解得，c= - 3a. 22 y = ax - 2ax- 3a= a （

19、xT） - 4a （a<0）,，顶点坐标为（1, - 4a）,由图象得当0vyw-4a时，-1vxv3,其中x为整数时，x=0, 1, 2,又,x = 0与x = 2关于直线x= 1轴对称当x = 1时，直线y = p恰好过抛物线顶点.所以p值可以有2个.故正确；故选：D.二.填空题（共6小题）11 .在数-4, - 3, - 2, - 1, 0, 1 , 2, 3, 4 中是方程 x2+x12=0 的根有 3, - 4 .【分析】可以将每个数分别代入，逐一检验，也可以先解方程，再进行判断.【解答】解：当 x= 4时，x2+x12 = 02当 x=-3 时，x+x12= - 6w0当 x

20、 = - 2 时，x2+x 12= - 10W0当 x = - 1 时，x2+x 12= - 12w0当 x = 0 时，x2+x- 12= - 12W0当 x=1 时，x2+x- 12=- 10W0当 x=2 时，x2+x- 12= - 6w 02当 x= 3 时，x +x- 12= 0一， 2当 x = 4 时，x +x- 12= 8 0故是方程x2+x-12=0的根有-4, 3. 212 .抛物线y=ax+bx+c与x轴的公共点是（-1, 0）, （3, 0）,则此抛物线的对称轴是 直线 x= 1 .【分析】因为点（-1, 0）和（3, 0）的纵坐标都为 0,所以可判定是一对对称点，把X

21、 4I- x两点的横坐标代入公式 x=求解即可.2【解答】解：二抛物线与 x轴的交点为（-1, 0）, （3, 0）, 两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线 x=21±L=1,即直线x=1.故答案是：直线x = 1.13 .如图，四边形ABCD接于。O,若/ BOD= 138° ,则它的一个外角/ DCE?于 69°.【分析】由/ BOD= 138。，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得/A的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得/BCD勺度数，继而求得/ DCE勺度数【解答】解：.一/ BOD= 1

22、38° ,./A=L BOD= 69 , DC号 180 - Z BCD= 69故答案为：69 °214 .如图，线段 AB的长为1,线段AB上取点R满足关系式 AP = BP?AB则线段 AP的长度为 正一 1;线段AP上取点P2满足关系式 AB2=PiP2?AP,线段AB上的点P3满足- 2 h关系式AP2= P2P3?AB,依次以此类推， AR的长度为盛 1)n .2 /孔内打 用 3 一 *-【分析】根据图形的变化寻找规律，利用黄金分割的定义：/C如图所示，把线段 AB分成两条线段 AC和BC(AOBC,且使AC是AB和BC的比例中项(即 ABAC= AC?BC ,

23、叫做把线段 AB黄金分割，点 C叫做线段 AB的黄金分割点.其中AC= 返JLab-2 |0618 AB.即可得结论.2【解答】解：二线段 AB的长为1,线段AB上取点P1满足关系式 AP =BR?AB,则线段AP的长度为： 戈一；2线段AR上取点F2满足关系式 AR=RF2?AP,则线段AP的长度为：(返工)2；22线段AF2上的点R满足关系式AR2=BR?AR,则线段AP的长度为：(返工)3；2依次以此类推，AR的长度为：(15二L) n.2故答案为：1二！；(逅二L)n.22B (5, 0)两点，则关于 x的一元二次方程 a2,即-小二=2,所以b= - 4a,然后把b = 2a215

24、.抛物线 y=ax+bx+c 经过点 A(-1, 0)、(x 1) 2 = b- bx 的解是 X= 1, x2= 5【分析】利用抛物线的对称性得到直线x二-4a代入方程a (x - 1) 2 = b- bx得到(x- 1) 2-4 (x - 1) =0,然后解方程即可. ./ BCD= 180° - / A= 1112 -【解答】解：二.抛物线 y=ax+bx+c经过点A (- 1, 0)、B (5, 0)两点,，抛物线的对称轴为直线 x=2,即-上 =2, 因b= - 4a,. a (x- 1) 2= b- bx,a (x - 1) 2= - b (xT) = 4a (xT),(

25、x 1)4 (x1) = 0,解得 xi=1, x2= 5,即关于x的一元二次方程 a (x 1) 2=bbx的解为x1= 1, x2= 5.故答案为x1 = 1, x2= 5.16 .如图，ABC43, AB= AC, Z BAG= 90° , BDL BQ CEL BC / DAE= 45° ,若 BD=v，,CE 3/l石，则线段 DE=10 .【分析】将 ABD点A顺时针旋转90°得到 ACF连接EF,则CQ BD=V15，AF=AD / CAR / BAD易证/ DBG= / ECB= 90。，由等腰直角三角形的性质得出/ABC= /ACB= 45

26、76; ,推出/ ABD= Z ACF= / AC号 135° ,得出/ ECF= 90° ,由勾股定理得出 EF = 而西丘屋10,证明/ EA氏/ EAF由SASffi得 EA阵 EAD即可得出结果.【解答】解：将 ABD第点A顺时针旋转90。得到 ACF连接EF,如图所示:贝U CF= BD= flU, AF= AD / CAF= / BADBDLBC EC!BCDBC= / ECB= 90° ,. AB= AC / BAC= 90 , ./ ABC= / ACB= 45° , ./ABD= /ACF= /ACE= 135° , ./ E

27、CF= 90 ,在 RtEC卬，EF= JcF"井 J (<5)2 + (3775)Jo, . / DAE= 45/ EAF= / EAG/ CAF= / EAG/ BAD= 45/ EAD= / EAF研三AD在 EAFn EAD, /EAF=/EJLIae=ae EAF EAD (SAS,DE= EF= 10,故答案为：10.三.解答题（共8小题）17.解方程：x?-x1=0.【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式.确定a, b, c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解.【解答】解：x2-x-1=0,一匕土在2-二。土vr逗二

28、土病2a2X 12- 1-逐勺- 2K2- 218.如图A B是。O上的两点，/AOB= 120° , C是弧菽的中点，求证四边形 OAC谑菱形.【分析】连OC由C是AB的中点，/ AOB= 120。，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到/ AO匿/ BO年60° ,易得 OAG口OBCIB是等边三角形，则 AC=OA= OB= BC,根据菱形的判定方法即可得到结论.【解答】证明：连 OC如图，C是 的中点，/ AOB= 120° ./ AOC= / BOC= 60° ,又.O/A= OC= OB. OAG 口 OBO是等边三角形,AC= O

29、A= OB= BC，四边形OACBI菱形.x相等，且镜框所占面积为照片面积的工，镜框的宽度应该多少厘米?2519.如图，要为一幅长 30cmi宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度【分析】设镜框的宽度为 xcm表示出大长方形的长为 30+2X,宽为20+2X,根据镜框面积=大长方形面积-照片面积列出方程，解方程可得.【解答】解：设镜框的宽度为xcmi根据题意，得:(30+2x) (20+2x) - 30X20=30X 20x2,252整理，得：x +25x- 54=0,即：(x+27) (x-2) =0,解得：x= - 27 (舍)或x=2,答：镜框边的宽度应是 2cm20.如图，在7

30、X7正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点 A B、C都为格点，且点 A (1, 2),请分别仅用一把无刻度的 直尺画图；(1)过点C画一条线段 AB的平行线段CD直接写出格点 D的坐标；(2)过点C画一条线段 AB的垂直线段CE直接写出格点 E的坐标；(3)作/ DCE勺角平分线CF,直接写出格点 F的坐标；(4)作/ ABM使/ AB限45° ,直接写出格点 M的坐标;【分析】(1)线段AB是1X4格的对角线，即可画出平行线段CD(2)根据线段AB的平行线段CD即可画线段 AB的垂直线段CE(3)作/ DCE勺角平分线CF,点F在格点

31、即可；(4)根据(3)的画法即可画出/ ABIM= 45° .y *解：如图：根据画图可知:(1) D(6, 2)(2) E (3-3)(3) F (7, - 2)(4) M(2, - 2).21 .如图，AB, AC是。O的两条弦，且A§= AC(1)求证：AO¥分 / BAC(2)若AB= 4诉,BC= 8,求半径OA勺长.【分析】(1)已知AB= AC,又OC= OB OA= OA则AO国 AOC根据全等三角形的性质知，/ 1 = / 2,进而解答即可;（2）根据勾股定理解答即可.【解答】证明：（1）连接OB OC图1图. AB= AC OG= OB OA=

32、 OA. AOB AOC （SSJS,1 = / 2,，AO¥分 / BAC（2）连接AO并延长交BC于E,连接OB . AB= AC AOW/ BAC .AE! BC设 oa= x,可彳#： a百be"= aU, oB= oE+bU,可得：回TH=（k+0E）2, x2= OE+42解得：x=5, OE= 3, 半径OA勺长=5.22 .某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量 y （件）与销售单价x （元） 之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：注：日销售利润=日销售量x （销售单价-成本单价）销售单价x （元）

33、75日销售量y （件）150日销售利润 w （元）5250（1）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是788212080a336040 元,表中a的值是 4560 , y关于x的函数关系式是y = - 10x+900（2）求该商品日销售利润的最大值.（3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m> 0）,该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系,若日销售最大利润是 6600元，直接写出 m的值.【分析】(1)根据日销售利润=日销售量x (销售单价-成本单价)即可求解；(2)根据二次函数的顶点式即可求解；(3)根据日销售利润

34、=日销售量X (销售单价-成本单价)，把销售的最大利润代入即可求解.【解答】解：(1)设该产品的成本单价是 n元，根据题意，得5250= 150x (75-n),解得 n=40.a= 120X ( 78-40) =4560.设日销售量y (件)与销售单价 x (元)之间满足的一次函数解析式为y=kx+b,把( 75, 150), (78, 120)代入解得一次函数解析式为y=- 10X+900.故答案为 40、4560、y=- 10X+900.(2)根据题意，得w= X x-40) (- 10X+900)2=-10X +1300X- 36000=-10(X - 65) 2+6250.答：该商品

35、日销售禾J润的最大值为6250元.(3)二销售单价不低于 68元，日销售量与销售单价仍然满足(1)中的函数关系，日销售最大利润是 6600元时，即当X=68时，最大利润为 6600元.设商品降低后的进价为 a元，根据题意，得(- 10X68+900) (68-a) = 6600,解得a=38,.m= 40- 38=2.答：m的值为2.23 .若点P为 ABC/f在平面上一点，且/ APB= / BPG= / CPA= 120° ,则点P叫做 ABC的费马点.当三角形的最大角小于120。时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点即PAPDPC最小.(1)如图1,向aA

36、Ba卜作等边三角形 ABD AAEC连接BE, DC相交于点P,连接AP证明：点P就是ABO马点；证明：PA+PBbPC= BE= DC(2)如图 2,在 MN阴，MN= 4s回，/ M= 75° , MG= 3.点 O是MNG一点，则点 O到 MNCE个顶点的距离和的最小值是_ . !.【分析】(1)如图1 -1中，作AML CDT M ANL BE于N设AB交CDT 0,证明 ADC ABE (SAS即可解决问题.在线段 PDA±取一点 T,使得 PA= PT,连接 AT.证明 DA声 BAP(SAS,推出 PD = PATPB即可解决问题.(2)以M劭边作等边三角形

37、MGD以0处边作等边 OME连接ND可证4 GMOADME 可得 G0= DE 则 MONGGO= NG-OE-DE 即当 D E、Q N 四点共线时，MONGGO 值最小，最小值为 ND的长度，根据勾月定理先求得 MF DF,然后求ND的长度，即可求 MONOGO勺最小值.【解答】(1)证明：如图1-1中，作AML CDT M AN! BE于N设AB交CH O ADIB ACEtB是等边三角形，AD= AB AC= AE / DAB= Z CAE= 60 ,/ DAB= / BAE.AD小 ABE (SAS, . CD= BE Sk DAC= Sa ABE， / ADO / ABE. AML

38、 CD AN! BE二?CDAM=二？BE?AN22 .AM= AN ./ APM= / APN / AOa / POB .Z OPB= / DAO= 60° ,，/ APN= / APM= 60° , ./APG= / BPG= /APG= 120° ,，点P是就是 ABC费马点.在线段PDA±W一点T,使得PA= PT,连接AT. /APR 60° , PT= PA， APT等边三角形， .Z PAT= 60 , AT= AP . / DAB= / TAP= 60° , ./ DAT= / BAP AD= AB,DAE BAP (SAS,PB= DTPD= D-+PT= PA+PBPA+PB-PC= PDbPC= CD= BE(2)解：如图2：以MM边作等边三角形 MGD以OM；边作等边 OME连接ND作DU NM交NM勺延长线于F.图2 MGD 口 OM国等边三角形.OE= OM= ME / DM® /OMR 60 , MG= MQ / GMO / DME在 GMOB DM小rOM=ME/GM