八下数学：勾股定理求解最短路径问题的7种类型!

1、利用勾股定理求解最短路径问题会把生活中的问题转化为数学模型，并运用数学知识去解决, 是学习数学的目标与归宿。在解决一些立体图形中的最短路线问题时，常常将这个立体图 形展开成一个平面图形，然后利用“两点之间线段最短”来解决, 通常以最短路线为边构造直角三角形，然后利用勾股定理求解,例1如图，一个圆柱体高为20cm,底面半径为6.7m,在圆柱 体下底面的A点有一只蚂蚁，想吃到与A点相对的上底面B 点的一只已被粘住的苍蝇，这只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体 的表面爬到B点，最短路线约为多长?（兀取3.14）思路点拔：首先要明确在底面圆周上点A到点C的长度是底 面国周长的一半，将圆柱侧面展开后，点B、C是展

2、开后长方 形的两边的中点，如图，利用、两点之间线段最短”，构造直角 三角形，然后利用勾股定理来解。解：圆柱的底面周长为2兀k2x3.14x6.7%2cm取其一半:AOl/2x42=21cm因为圆柱的高BC=20cm,根据勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=212+202=292所以AB的长约为29cm。故蚂蚁沿着圆柱体表面爬到B点，最短路线长约为29cm类型2.长方体问题例2早上，蚂蚁丁丁早早起床锻炼身体，如图，它想从长、宽、 高分别为4、2、1的实心长方体的顶点A出发，沿长方体的 表面爬到对角顶点C处，则它怎样走路线最短?最短路线长为 多少？思路点拨：蚂蚁由点A沿长方体的表面爬行到点Ci,

3、可以按 照下图中所示的三种方式爬行，根据勾股定理求解后, 看看哪种方式最短就行了。解：如图，在 R4ABG 中，AC2=AB2+BCi2=42+3M5如图，在 RtZkACCi 中,ACi2=AC2+CCi2=62+12=37;如图，在 RtZABCi 中，ACl2=ABr+BiC2=52-t-22=29因为25<29<37,所以按图所示的方式爬行路线最短，最短路线长是5。思维拓展例1例2为立体图形中的最短线路问题，注意将立体图形 展开为平面图形，并构造直角三角形，利用勾股定理求解。类型3.台阶问题 例3如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm、10cm、6cm,

4、A和B是这个台阶的两个相对的端点，A 点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程 是多少？思路点拨：因为妈蚁从A点爬到B点要经过台阶所有的平面，所以可把这个台阶展成一个平面，通过构造直角三角形，利用 勾股定理来解决。图用解：如图，将这个台阶展成一个平面图形，则最短路程就是AB的长。在 RZiABC 中，AC=3x(10+6A48cm, BC=55cm由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=48?+552=732,所以 AB=73cm所以蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是73cm。思维拓展本题为多面体上两点间的最短距离，与例I、例2这样的普 通的立体图形一样，同样需要展开成平面图形。“化曲

5、面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的常用技巧。类型4.平面最短路径问题例 4.如图，在 RtZk/BC 中,/4。8=90。,/。=8。,点 M在 边上, 且4M=1,MC=4,动点P在44边上，连接PCPM,则PC+PM的最小值是多少?解：如图,过点作C01AB于0,延长B0到C,使0C=0C:连接MC,交AB于P此时MC=PM+PC=PM+PC的值最小 接AC/ CO ± AB,AC=BC, ZACB=90°AZACO=ix90°=45°2VCO=OCCO±ABAC'=CA=AM+MC=5AZOC,A=ZOCA=45°

6、; NC'AC=90。AC5A1AC,，MC'=JaM2 AC2 = VI2 +52 =V26故PC+PM的最小值为后例5,如图，在aACB中，有一点P在AC上移动，若AB=AC=5,BC=6则AP+BP+CP的最小值为多少？思路点拨:若AP+BP+CP最小，就是说当BP最小时.AP+BP+CP 才最小，因为不论点P在AC上的那一点.AP+CP都等于AC那 么就需从B向AC作垂线段，交AC于P.先设AP=x，再利用勾股 定理可得关于x的方程.解即可求x,在RtAABP中，利用勾股定 理可求BP.那么AP+BP+CP的最小值可求。解：从B向AC作垂线段BP,交AC于P,设 AP=

7、x，则 CP=5-x,在 RtAABP 中,BP2=AB2AP2,在 RtABCP 中,BP2=BC2CP2, aab2-ap2= bc2-cp2 /. 52-x2=62-(5-x)2 解得x=1.4,在RtAABP中BP=V52 -I 4: =V23TH =4.8，AP+BP+ CP=AC+BP=5+4.8=9.8类型5.选址问题例6如图,A、B两个小镇在河流CD同侧,到河岸的距离分别为AC=10km, BD=30km,且CD=30km,现在要在河岸上修建一个自来水，分别向A、B两供水。铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸选择自来水的位置P,使铺设水 管的总费用最低，并求出最低总费用。思

8、路点拨：要使总费用最低，实际上需要确定点P的位置， 使PA+PB最小。解决这个问题可运用轴对称及勾股定理的知 识。解：如图，作点A关于CD的对称点N,连接AB交CD 于点P,则点P即为自来水厂的位置。过点A作AECD,交BD的延长线于点E,则A，BE为直 角三角形。在 RtAAfBE 中，BE=BD+DE=BD+AC=30+10=40 km, AfE=CD=30 km.所以 A，B=50km,所以 3x50=150(万元)故铺设水管的最低总费用为150万元。类型6.坐标轴中最小距离问题例7.在平面直角坐标系中，点A(l, 3),点B(2, 1),试在x 轴和y轴上分别找一点M和N,使得AN+M

9、N+BM的值最小， 求出这个最小值。(1,3)-2-15 01；2 3思路点拨：作点A关于y轴对称点3),作点B关于x 轴的对称点B2, -l)o连接A，B，交x轴、y轴于M、N两点， 贝IJ AN+NM+BM的最小距离为A，B;解：作点A关于y轴对称点A，(l, 3),作点B关于x轴的对称点B，(2, -l)o连接A，B，交x轴、y轴于M、N两点，过A，作x轴的垂线，过B，作y轴的垂线，两线交于C点。在 RtZXACB 中，AC=4, BfC=3, A,b732+42=5.故AN+MN+BM的最小值为5O类型7.动点问题例8.如图,C为线段BD上一动点，分别过点B.D作AB 1 BD,EDJ_BD,连接 AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,设 CD=x.直接写出AC+CE的值;(用含x的代数式表示) 求AC+CE的最小值.解: AC+