旋转综合归纳

1、旋转旋转知识要点知识点一、旋转的概念几个图形的共同特点是如果我们把时针、螺旋桨、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度1.旋转的定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转（rotation）.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点A经过旋转变为点A，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等.3.作图：在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素.确定旋转中心的关

2、键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角.作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.知识点二、中心对称与中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点2.中心对称的两条基本性质

3、：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分(2)关于中心对称的两个图形是全等图形3.中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心4.中心对称和中心对称图形的区别与联系中心对称中心对称图形区别指两个全等图形之间的相互位置关系对称中心不定指一个图形本身成中心对称对称中心是图形自身或内部的点联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称5. 关于原点对称的点

4、的坐标特征：关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数. 即点关于原点的对称点的坐标为，反之也成立.知识点三、平移、轴对称、旋转1.平移、旋转、轴对称之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角对应线段平行（或共线）且相等

5、对应线段关于对称轴对称*对应线段相等，其所在直线的夹角等于旋转角或与旋转角互补2.旋转与中心对称中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°)，满足旋转的性质.旋转中心对称图形性质1对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.对称点所连线段都经过对称中心. 2对应点到旋转中心的距离相等.对称点所连线段被对称中心所平分.3旋转前、后的图形全等.关于中心对称的两个图形是全等图形.3.中心对称与轴对称中心对称与轴对称可以类比学习，对掌握新知识有帮助.中心对称轴对称1有一个对称中心点有一条对称轴直线2图形绕中心旋转180°图形沿轴折叠180°3旋转后与另一图形重合折叠后与另一图形

6、重合4.中心对称图形与轴对称图形中心对称图形轴对称图形1关于某一点对称关于某一条直线对称2图形绕对称中心旋转180°后，与自身重合图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分互相重合规律方法指导1.在学习了图形平移、轴对称的基础上，学习图形旋转的有关知识，要注意处理好如下三个问题：(1)先复习图形平移、轴对称的有关内容，学习时要采用对比的方法；(2)在对图形旋转性质探索过程中，要从图形变换前后的形状、大小和位置关系上入手分析，发现图形旋转的特性、对应关系、旋转中心和旋转方向；(3)利用旋转设计简单的图案，通过具体画图操作，掌握旋转图形的方法、技巧.2.学习中心对称时，注意采用如下方法进行探究

7、：(1)实物分析法：观察具体事物的特征，结合所学知识，分析它们的共同特征和联系；(2)类比分析法：中心对称是一个图形旋转180°后能和另一个图形重合，离不开旋转的知识，因此要类比着进行学习，以提升对图形变换知识的掌握；(3)理论联系实际：在学习中可以通过具体画图操作，以及对具体事物的分析、归纳总结出中心对称的有关知识.旋转怎么出、怎么考、怎么解？考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。旋转性质-对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。一、 直线的旋转1、如图，已知A、B是线段MN上的两点，以A为中心顺时

8、针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设（1）求x的取值范围；（2）若ABC为直角三角形，求x的值；CABNM（第1题）（3）探究：ABC的最大面积？2、（2009年河南）如图，在RtABC中，ACB=90°, B =60°，BC=2点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为.(1)当=_度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_； 当=_度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_；(2)当=90°时,判断四边形ED

9、BC是否为菱形，并说明理由中，过点C作CECD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.分析：此题是综合开放题-已知条件、问题结论、解题依据、

10、解题方法这四个要素中缺少两个或两个以上，条件需要补充，结论需要探究，解题方法、思考方向有待搜寻。 解决此类问题，一般要经过观察、实验、分析、比较、类比、归纳、推断等探究活动来寻找解题途径。可从简单、特殊的情况入手，由此获得启发和感悟，进而找到解决问题的正确途径，是我们研究数学问题，进行猜想和证明的思维方法。华罗庚说：善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，这是学好数学的一个诀窍。提示：（1）运用三角形全等， （2）按CP=CE=4将x取值分为两段分类讨论；发现并利用好EC、EF相等且垂直。4、已知：在中，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、（1

11、）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论（不需证明）（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明 二、角的旋转5、（1）如图1，圆心接中，、为的半径，于点，于点求证：阴影部分四边形的面积是的面积的（2）如图2，若保持角度不变，求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的图2图3图1(N)6、如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变设求与的函数关系式；（3）在（2）中：当

12、动点、运动到何处时，以点、和点、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；当取最小值时，判断的形状，并说明理由ADCBPMQ60°提示:第（3）问，两种情形- PMAB , PMCD第（3）问， 求出y最小值为3，此时x=PC=2,点P到BC中点，PMBC . 6、已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于

13、点F，另一边与线段OC交于点G如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；6题图yxDBCAEEO（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由提示：第（3）问，PGC为等腰三角形按哪两边相等分类讨论，求出点P坐标，再求点Q坐标。三、三角形的旋转7、如图，将RtABC(其中B34，C90）绕A点按顺时针方向旋转到AB1 C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）

14、A.56 B.68 C.124 D.18034B1CBAC18、如图，已知与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点在同一条直线上，且点与点重合，将图（1）中的绕点顺时针方向旋转到图（2）的位置，点在边上，交于点，则线段的长为 cm（保留根号）C(F)D图（2）9、如图9，的顶点坐标分别为若将绕点顺时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为 1234567891234567OABCyx图910、如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角

15、板沿直尺平移，与的和总是保持不变，那么与的和是_度11、如图，三角板中，CAB三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为 12、将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，若，则图中阴影部分面积为 cm230°CBA30°（12题）图613、如图6，在下面的方格图中，将ABC先向右平移四个单位得到AB1C1，再将AB1C1绕点A1逆时针旋转得到AB2C2，请依次作出AB1C1和AB2C2。14、 如图7，在ABC中，AB2BC，点D、点E分别为AB、AC的中点，连结DE，将ADE绕点E旋转180得到CFE.试判断四边形BCFD的形状，并

16、说明理由.15、如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？ADFCEGB16、如图，在中，将绕点沿逆时针方向旋转得到（1）线段的长是 ，的度数是 ；（2）连结，求证：四边形是平行四边形；ADGECB（3）求四边形的面积17、如图，直角梯形ABCD中，且，过点D作，交的平分线于点E，连接BE（1）求证：；（2）将绕点C，顺时针旋转得到，连接EG.求证：CD垂直平分EG.（3）延长BE交CD于点P求证：P是CD的中点即18、 ADBECFADBECF 在中，将绕点顺时针

17、旋转角得交于点，分别交于两点（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求的长提示：（1）考查三角形旋转过程中的不变量再导出图形各线段间的各种关系； （2）在特殊条件下，得到线段间的特殊关系。AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F19、已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明

18、分析：此类题的特点是-提供问题的一个特殊的情况（给出命题的题设、结论），让你探索使结论成立的证明过程，然后通过运动变换,使题设条件改变，图形随之发生变化产生新的问题情景，再去探究新情景中原来的结论是否成立，还是又有新的关系。 解题方法思路一般是-先探究特殊情景下的解题方法，再内化感悟、类比、猜想与探究。（针对特殊情景解题方法需添加什么辅助线，用到什么定理，是什么方法思想，能否直接模仿，还是要创新）提示：图2、图3按退还到图1位置作辅助线，证明方法思路一样。20、图9 图10 图11图8如图9，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形（1）当

19、把ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当ADE绕A点旋转到图11的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由提示：（1）抓住不变量易解， （2）能证得ADC 与 AEB是直角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性质求解。21、（2009东营）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45º，如图所示，取DF中点G，连

20、接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）提示：考查三角形的中线、三角形全等、矩形的性质等。（2）作适当辅助线，构造全等三角形。也可连接GA,得GC=GA,过点G作AB的垂线，证GE=GA.FBADCEG图FBADCEG图DFBACE图22、（2009年甘肃庆阳）（8分）如图14，在平面直角坐标系中，等腰RtOAB斜边OB在y轴上，且OB4（1）画出OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形；（2）求线

21、段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB与点B轨迹所围成的封闭图形的面积）图2223、如图（9）-1，抛物线经过A（，0），C（3，）两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线将四边形ABCD面积二等分，求的值EFMNGOBAxy图（9）-2Q（3）如图（9）-2，过点E（1，1）作EF轴于点F，将AEF绕平面内某点旋转180°得MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG轴于点G，若线段MGAG12，求点M，N的坐标DOBAxyCy=kx+1图（9）-1提示：第（3）问类似09武汉中考压轴题，利用好中心

22、对称的性质-对应边平行且相等。四、四边形的旋转24、如图边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是 ADCBE25、如图所示，正方形的边在正方形的边上，连接（1）求证：EFGDABC（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由26、在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当和平行时，求正方

23、形旋转的度数；OABCMN（3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.提示：延长BA交y轴于点E。第（3）问，证明OAEOCN , OMNOME,得MN=AM+CN.（Q）BAOxP（图2）yQCBAOxP（图1）yCBAOyx（备用图）（第27题）27、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q（1）四边形OABC的形状是 ，当时，的值是 ；（2）如图1，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；如图，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积（3）在四

24、边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由提示:第（3）问，过点Q作QHOA于H，连接OQ，则QH=OC=OC,易证PQ=OP,设BP=x，BQ=2x；按旋转时点P在点B左、右两种情况分类讨论。28、xyOA图A图xyO如图，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为21），BAD120°，对角线均在坐标轴上，抛物线经过AD的中点M填空：点坐标为 ，D点坐标为 ；操作：如图，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转度角，并延长OE交AD于P，延长

25、OH交CD于Q探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出的值；若不存在，说明理由；探究2：设AP，四边形OPDQ的面积为，求与之间的函数关系式，并指出的取值范围五、抛物线的旋转29、如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物

26、线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标yxAOBPM图1C1C2C3图（1）30、如图，已知抛物线经过，两点，顶点为（1）求抛物线的解析式；（2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标yxBAOD（第30题）旋转的几何证明传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中

27、。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。1利用旋转求角度的大小例1：在等腰直角ABC中, ACB=90°,AC=BC, P是ABC内一点,满足PA=、PB=2、PC=1求BPC的度数. PABCP 分析：本题借助常规方法的入手是比较困难的，虽然三条线段的长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助旋转来分析问题，因为AC=BC，这就给我们利用旋转创造了条件，因此可以考虑将绕点C逆时针旋转，得,连接，通过三角形的边与角的关系分别求得和，就可得到的大小。 解：由已知AC=B

28、C，将绕点C逆时针旋转，得,连接；由旋转可知：，；， 是等腰直角三角形 ， 且，在中，是直角三角形，且，例2：如图所示,正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD上的点,的周长为2，求的大小分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的，因为正方形的边长BC=DC,所以可以考虑将绕点C顺时针旋转90°，易证E、D、Q三点共线，通过证明和全等即可求得的大小ABDCQEP解： BC=DC， 将绕点C顺时针旋转90°得； ，； ， 且 ， E、D、Q三点共线， 的周长为2，即，又 ， ， 在和中：， ；ADCBP练习：P为正方形内一点,且PA=

29、1,BP=2,PC=3,求APB的大小2利用旋转求线段的长度例3：如图，P是等边ABC内一点，PA=2，PC=4，求BC的长。PACEB分析：本题BC虽然和CP、BP同处一个三角形，但是要求其长还缺角度，因此直接从已知条件入手是比较困难的，但是我们只要适当运用旋转的方法，就可以是问题简单化；因为本题的ABC是等边三角形，所以其三边是相等的，因此联想到将ABC内部的某个三角形进行旋转也是比较容易的；解： ABC是等边三角形， 将BPA绕点B逆时针旋转60°，则BA与BC重合， 且 BP=BE，PA=EC，连接EP； ， 是等边三角形， 在中：； ， ， ， ， 例4：如图，在梯形ABC

30、D中，AD/BC（BC>AD），D=90°，BC=CD=12，ABE=45°，若AE=10。求CE的长度。ADBCGFE分析：仔细分析就会发现本题所给的条件不易直接求得CE的长度，还需要做一些变化，经观察容易发现把把BCE绕点B顺时针旋转90°，可构成一个正方形，然后通过三角形全等，就找出边之间的关系。解：把BCE绕点B顺时针旋转90°得，连接，易证A、G、F三点一线，且易知四边形BCDG为正方形由旋转可得：， ， 在和中：， 在， ，设 ，则，；在，即； ， 解之得： CE的长为4或6练习2：如图四边形ABCD中，AB=AD，A=C=90

31、6;，其面积为16，求A到BC的距离3利用旋转探求线段之间的关系例5：如图，在凸四边形ABCD中，ABC=30°，ADC=60°，AD=DC，求证：分析：由本题的结论不难想到在直角三角形中应用ABDCE勾股定理可以证得含有平方关系的线段之间的关系，因此我们就需要将结论中的这三条线段放到同一个直角三角形中，由于AD=DC，所以可以考虑将绕点D顺时针方向旋转60°，使AD和DC重合，这样就可以得到，然后通过证明是等边三角形就可以得到结论中线段之间的关系解：将绕点D顺时针方向旋转60°，使AD和DC重合，得并连接，由旋转可得：，； ， 是等边三角形， ， ， 中：， 例6：如图，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，DAE=45°，求证：