(易错题精选)初中数学图形的相似单元汇编及答案解析

1、（易错题精选）初中数学图形的相似单元汇编及答案解析一、选择题1.两个相似多边形的面积比是 9 : 16,其中小多边形的周长为 36 cm，则较大多边形的周 长为）A. 48 cmB. 54 cmC. 56 cmD. 64 cm【答案】A【解析】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的 平方计算即可.解：两个相似多边形的面积比是9: 16,面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4: 3.相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为 X,则有一=-则S雨解得：x=4 8.大多边形的周长为 48cm .故选A.考点：相似多边形的性质.2.如

2、图，在ABC 中，DE/ BC,BE和 CD相交于点 F,且 Saefc= 3Szefd，贝U Saade: Saabc的8【答案】CC. 1： 9D. 1 : 4【解析】【分析】根据题意，易证 ADEFA CBF,同理可证AADEA ABC,根据相似三角形面积比是对应边 比例的平方即可解答.【详解】T Sefc= 3Sadef, DF： FC= 1 : 3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），/ DE / BC, DEFA CBF, DE： BC= DF： FC= 1： 3同理ADEA ABC,- Sade: Sabc= 1 : 9,故选：C.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解

3、题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的 平方.3.如图，矩形 ABCD中，AB=8, AD=4, E为边AD上一个动点，连接 BE,取BE的中点G,点G绕点E逆时针旋转90。得到点F,连接CF,则ACEF面积的最小值是（）C. 12D. 11【解析】【分析】过点F作AD的垂线交AD的延长线于点 H,则AFEHA EBA,设AE=x可得出ACEF面积 与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值.【详解】解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点 H,/ A=Z H=90° / FEB=90°/ FEH=90-Z BEA=Z EBA FEHA EBA HFHEEF

4、AEABBE，QG为BE的中点，FE GE -2BE, HFHEEF 1AEABBE 2,设 AE=x,/ AB8, AD 41 HF -2x,EH4,DH AE x,S CEFSdhFCS CED S eHF1 1 12x(2x 8) 2 8(4 %)1 4?1x2 21 2x 4x 16 4x x41 2 -x x 16,4时，CEFW积的最小值1 4 2 1615.4本题通过构造 K形图，考查了相似三角形的判定与性质建立CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键.4.如图RtVABC中,【答案】D【解析】【分析】A. 2ABC 90 , AB 4 ,CE时，BE的长为()BC 3,D为

5、BC上一动点,B.12C.5.158D. £8利用 ABC 90 ,利用勾股定理计算即可.DEBC得到相似三角形，利用相似三角形的性质求解BD, DE,再【详解】解：Q ABC 90 , de BC ,DE / /BA,CED :CAB,CECDEDCACBAB ,QABC 90,ab4, BCAC5,设BDx, QBDCE ,BDCEx,CD3 x,x3 xED53J43,3x15 5x,158ED4ED32,Q DEBC ,15 23 23.41（八）h【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质，勾股定理的计算求解，掌握相关知识点是解题关键.5.如图，已知点 A （4, 0）,

6、O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点 O, A）,过P、O两点的二次函数 屮和过P、A两点的二次函数 y2的图象开口均向下，它们的 顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值 之和等于（）A.亦B. -5C. 3D. 4洱3【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF丄OA于F,过D作DE丄OA于E,过 C作CM丄OA于M ,:.BF/ DE/ CM./ OD=AD=3, DE丄 OA,1:.OE=EA OA=22 '由勾股定理得：de=、_5 .设P (2x, 0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x/ BF/ DE/ CM,

7、： OBFA ODE, AACMs ADE.BF OF CMDE OE，DEAM BF x CM，解得:BF: BF+CM=、5 .故选A.6如图1,在RtAABC中，/ ACB=90°,点P以每秒1cm的速度从点 A出发，沿折线 AC- CB运动，到点B停止.过点P作PD丄AB,垂足为D, PD的长y (cm)与点P的运动时间A.x)【答案】B【解析】【分析】【详解】由图2知，点P在AC、CB上的运动时间时间分别是 3秒和4秒,D. 2cm点P的运动速度是每秒1cm ,5-AC=3, BC=4.在 RtMBC中，/ ACB=90,根据勾股定理得：AB=5.如图，过点 C作CH丄AB

8、于点H,则易得 AABCA ACH.CH AC，即 CH AC邑BC ABABCH3 41255如图，点 E ( 3,), F ( 7, 0)5设直线EF的解析式为y kx b，则12 53k0 7k bk21解得：b直线EF的解析式为y215当 x 5 时，PD y故选B.21 61.2 cmxy=6(xxB的反比例函数解析式为（A. y=-B.【答案】4y=-xC.2y=-x2D. y=x7.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，/OAB=30°,若点A在反比例函数【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出SvBCOSvaod进而得出Smod=3，即可得出答案.【详解】过

9、点B作BC丄x轴于点C,过点A作AD丄x轴于点/ BOA=90°/ BOG/ AOD=90°/ AOD+/ OAD=90° ,/ BOC=/ OAD,又/ BCC=/ ADO=90° BCOA ODA, BO t 30飞 =ta n30 =,3AOSvBCOSvaod1. >AD>DO=xy=3,22G11 - S3co=>BC>CC= _ Saod=1 ,23经过点B的反比例函数图象在第二象限,2故反比例函数解析式为：y=- 2D,故选c.Saod=2此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出 是解题

10、关键.&如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与AEG相似的是（）【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可.【详解】解：因为 A|B1C1中有一个角是135 °选项中，有135。角的三角形只有B,且满足两边成 比例夹角相等，故选：B.【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考 常考题型.9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点0为位似中心的位似1图形，且相似比为 -，点A, B, E在x轴上.若正方形 ABCD的边长为2，则点F坐标为3*AG护|Fu0A £

11、E1A.( 8, 6)B.( 9, 6)C. 9一,6D.( 10, 6)2【答案】B【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出0B3A OEF,进而得出EO的长，即可得出答案.【详解】一一 一 1解：正方形 ABCD与正方形BEFG是以原点0为位似中心的位似图形，且相似比为-，3.BC 0B 1EF E0 3，/ BC= 2,EF= BE= 6,/ BC/ EF, 0B3A OEF,.1 B0 3 B0 6，解得：0B= 3, E0=9 , F点坐标为：(9 , 6),故选：B.【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出0B的长是解题关键.

12、1810. 如图，点A, B是双曲线y图象上的两点，连接 AB ,线段AB经过点0,点xkC为双曲线y在第二象限的分支上一点，当 VABC满足AC BC且xAC : AB 13:24 时，k 的值为()A.2516B.25C.25D.25【答案】B 【解析】 【分析】 如图作 AE丄x轴于E, CF丄x轴于F.连接0C.首先证明 CF3A OEA,推出S COF 0C 2()，因为 CA: AB= 13: 24, A0= OB,推出 CA: 0A= 13: 12,推出 CO 0A=S aoe OAS cofOC 225255: 12,可得出(二)= ，因为Smoe= 9，可得Sacof=，再根

13、据反比例函S AOEOA 14416数的几何意义即可解决问题.【详解】解：如图作 AE丄x轴于E, CF丄x轴于F.连接0C. A、B关于原点对称，0A= 0B,/ AC= BC, 0A= OB,OC 丄 AB,/ CFO=Z COA=Z AEO= 90° °/ COF+Z AOE= 90°, / AOE+Z EAO= 90° °/ COF=Z OAE, CF8A OEA,OA)S AOES COF ,OC、2/ CA: AB= 13: 24, AO= OB,CA: OA= 13 : 12 ? CO: OA= 5: 12,S COFOC 225

14、()= -S AOEOA 144' SmoE= 9,Sacof=2516巴 25 "2 16/ k v 0,258故选：B.【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性 质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择 题中的压轴题.11.如图，在 ABC中，D, E分别是边AB, AC的中点,ADE和四边形BCED的面积分别记为S,S2，那么 §的值为（）S2111A. B. C.-243【答案】C【解析】【分析】D.根据已知可得到 AADEA ABC,从而可求得其面积比，则不难求得S的值.S

15、2【详解】/ D,E分别是边AB,AC的中点, DE/ BC, ADEA ABC, DE： BC=1： 2,所以它们的面积比是 1: 4,所以S1_ 1S2 " 4 1故选C.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1 ）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.12.已知的三边长分别为 迈，飞,2 , ABC的两边长分别是1和，如果 ABC 与 ABC相似，那么 ABC的第三边长应该是（）A. 2B. C. 6D. 3223【答案】A【解析】【分析】根据题中数据先

16、计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求.【详解】解：根据题意，易证ABCs ABC，且相似比为：3 :1 , ABC的第三边长应该是 一 - 2 .故选：A.【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，关键就是要清楚对应边是谁.13.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BEX AC于点F,则下列结论中错误的是()21A. AF= CF2B.Z DCF=Z DFCC.图中与AAEF相似的三角形共有 5个D.tan / CAD【答案】D【解析】【分析】1亠 11AE AF 1由AE=AD=BC,又AD/ BC,所以，故A正确，不符合题意；22BC FC 2过D作DM /

17、 BE交AC于N,得到四边形 BMDE是平行四边形，求出 BM=DE=_ BC,得到2CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由厶BAEA ADC,得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求 tan / CAD的值，故D错 误，符合题意.【详解】解：A、t AD / BC, AEFA CBF.AE = AFBC FC '11T AE= AD= BC,22AF 1 =,故A正确，不符合题意；FC 2B、过 D作 DM / BE交 AC于 N,DE/ BM , BE/ DM ,四边形BMDE是平行四边形，1B

18、M = DE= BC2 ， BM = CM, CN= NF,/ BE丄 AC于点 F, DM / BE, DN 丄 CF, DF= DC, Z DCF=Z DFC,故B正确，不符合题意；C、图中与 AAEF相似的三角形有 AACD, ABAF, ACBF, ACAB, AABE共有5个，故 C正 确，不符合题意.5 ,baD、设 AD= a, AB= b 由 ABAEVA ADC,有一=一.a 2/ tan Z CAD= CD =-=亠2，故D错误，符合题意.AD a 2故选：D.AEj汽LJ/c【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线 是解题的关

19、键.14.如图，在平行四边形 ABCD中，AC=4, BD=6, P是BD上的任一点，过点 P作EF/AC,与平行四边形的两条边分别交于点E、F,设BP=x, EF=y,则能反映y与x之间关系的图象是（）【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象.解：设AC与BD交于0点，当P在B0上时，/ EF/ AC,. EF BP 即 y x ,AC BO 43- y当P在0D上时，有巴 EF即1-DO AC 43 y= 4x 8 .3故选C.15.如图，在 VABC 中

20、，DE/BC,AFBC, ADE 30，2DEBC,BF 3,则DF的长为（）4A. 4C. 3,3【答案】D【解析】【分析】B. 2.3D. 3先利用相似三角形的相似比证明点D是AB的中点，再解直角三角形求得角三角形斜边中线性质求出 DF.AB,最后利用直【详解】 解： DE / BC ,- VADE VABC ,/ 2DE BC ,点D是AB的中点， AF BC, ADE 30 , BF 3.3 ,/ B= 30° ABBFcos306 , DF=3,故选：D.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练 掌握性质的运用是解题关键.16.

21、如图，菱形 ABCD中，点P是CD的中点，/ BCD=60,射线AP交BC的延长线于点E,射线BP交DE于点K,点0是线段BK的中点，作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N,连结MO、NO,以下四个结论： AOMN是等腰三角形； tan / OMN=3 ；3C.D.【解析】【分析】根据菱形的性质得到定理 /ADPA ECPAD/ BC,根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定 由相似三角形的性质得到AD=CE作PI/ CE交DE于I,根据点P是KP pi 1CD的中点证明CE=2P, BE=4PI,根据相似三角形的性质得到二一，得到KB BE 4BP=3PK故错误；作0G丄AE于G

22、,根据平行线等分线段定理得到MG=NG,又0G丄MN，证明AMON是等腰三角形，故正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出 / OMN=上3，故正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM?PA=3PD，故正3确.【详解】解：作PI/ CE交DE于I,四边形ABCD为菱形， AD/ BC,/ DAP=Z CEP, / ADP=Z ECP在 AADP 和 AECP中，DAP CEPADP ECP,DP CP A ADPA ECP AD=CEPI PD则，又点P是CD的中点，CE DCPI 1二,CE 2/ AD=CE,.KPPI _ 1KB BE _ 4，.BP_3PK故错误；作OG丄AE于

23、G,/ BM 丄 AE于 M , KN丄 AE于 N,.BM / OG/ KN,点O是线段BK的中点， MG_NG, 又 OG丄 MN ,OM_ON ,即AMON是等腰三角形，故 正确； 由题意得，ABPC, AAMB, AABP为直角三角形, 设BC_2,则CP_1,由勾股定理得，BP= 3 , 则 AP_ ._7 ,根据三角形面积公式，BM_ 2 21 ,7点O是线段BK的中点， PB_3PO,OGBM_ 2 21 ,32122MG_ MP_,37tan/ OMN_ _,故正确；MG 3/ ABP_90 , BM 丄 AP, pb2_pm?pa ,/ BCD_60 , / ABC_120

24、, / PBC_30 , / BPC_90 , PB_ . 3 PC,/ PD_PC, PB2_3PD, PM?PA=3PD，故 正确. 故选B.【点睛】本题考查相似形综合题.17.如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是()1*“ /1/77V07r fA.点AB.点BC.点CD.点D【答案】D【解析】【分析】利用对应点的连线都经过同一点进行判断.【详解】如图，位似中心为点 D.【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点， 对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心注意：两个 图形必须是相似形；对应点的连线都经过同

25、一点；对应边平行.18.如图，在直角坐标系中，有两点 A(6, 3)、B(6, 0).以原点0为位似中心，相似比为CD,则点C的坐标为（）【答案】A0)1，在第一象限内把线段 AB缩小后得到线段C. (3, 3)D. (3, 1)【解析】【分析】C的坐1根据位似变换的性质可知，0D8A OBA,相似比是-，根据已知数据可以求出点3标.【详解】1由题意得，0D8A OBA,相似比是，3.OD DCOB AB，又 0B=6, AB=3,0D=2, CD=1,点C的坐标为：（2, 1）,故选A.【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比 的关系的应用.19.若ABC的每条边长增加各自的 50%得