导数在研究函数中的运用

1、精品文档导数在研究函数中的运用一、知识与方法1、函数的单调性：若函数y f(x)在区间(a,b)上单调递增，则 f (x) 0,反之等号不成立；若函数 y f(x)在区间(a,b)上单调递减，则 f (x) 0,反之等号不成立。2、函数的极值：(1)定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x) f(x0), 就说是f(x0)函数f(x)的一个极大值。记彳y极大值=f(x0),如果对x0附近所有的点， 都有f (x) f (x0),就说是f(x0)函数f(x)的一个极小值。记作y极小值=f(x0)。极 大值和极小值统称为极值。(2)求函数y f (x)在某个区间上

2、的极值的步骤：(i)求导数f(x)； (ii )求方程f (x) 0的根x0； (iii )检查f (x)在方程f (x) 0的根x0的左右的符号：“左正右 负”f (x)在x0处取极大值；“左负右正”f (x)在x0处取极小值。特别提醒：(1) %是极值点的充要条件是 x0点两侧导数异号，而不仅是f %=0; f %=0是x0为极值点的必要而不充分条件。(2)给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f (x0) 0,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！3、函数的最大值和最小值：(1)定义：函数f (x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极

3、大值与其端点值中 的“最大值”；函数f (x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端 点值中的“最小值”。(2)求函数y f (x)在a, b上的最大值与最小值的步骤：(i )求函数y f (x)在(a, b) 内的极值(极大值或极小值)；(ii )将y f(x)的各极值与f (a) , f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。特别注意：(1)利用导数研究函数的最值(极值)，且方程f/(x) 0在给定的范围内有多个 x值时， 要注意列表！(2)要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。二、练习题1 .

4、函数f (x) x3 ax2 bx c,当a2 3b 0时，f(x)的单调性是 I弟增2 .函数f(x) x3 3x2 1是减函数的区间为：DA. (2,) B. (,2) C. (,0) D. (0,2)3 .函数f(x) x3 ax在1,)上单调函数，则实数a的取值范围 (答：0 a 3)；4 .在a,b上，f (x) 0恒成立是函数y f(x)单调递增的 条件。(必要不充分)5 .函数f(x) x3 ax2 3x 9,已知f(x)在x 3时取得极值，则2 = DD. 5A. 2B. 3C. 46 .函数y (x2 1)3 1的极值点是(答：C);A极大值点x1 B、极大值点x 0 C 、

5、极小值点x 0 D、极小值点x 17 .函数f (x)x3 ax2 (a 6)x 1有极大值和极小值，则a的取值范围是a 6或8 .函数 y 2x3 3x212x 5在0, 3上的最大值、最小值分别是(答:5； -15)9 .方程 x3 6x2 9x(答:1);10 0的实根的个数为10.y f (x)的图象最有可能的是(C)11.已知函数y xf (x)的图象如右下图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图BA. -1,+) (-1,+)C (-,-1 D . (- ,-1)32.2 .13 .函数f x x ax bx a在x 1处有极小值10,求a b的值.(答：

6、7)14 .设x 1和x 2是函数f(x) ax3 bx2 6x 1的两个极值点.(1)求a、b的值；(2)求f(x)的单调区间解：(1) f'(x) 3ax2 2bx 6, 2由已知可得 f (1) 3a 2b 6 0, f (2) 3a 2 2b 2 6 09 解得a 1,b9.2(2)由(1)知_2_2_f '(x) 3x 9x 6 3(x 3x 2) 3(x 1)(x 2).当x (,1) (2,)时，f'(x) 0；当 x (1,2)时，f'(x) 0因此f(x)的单调增区间是(，1),(2,), f(x)的单调减区间是(1,2)一，一a .3 o15

7、 .已知函数f (x) -x3 -x2 (a 1)x 1,其中a为实数.32(1)已知函数f(x)在x 1处取得极值，求a的值；2(2)已知不等式f (x)>xx a 1对任意a (0,)都成立，求实数x的取值范围解：(1) f (x) ax2 3x (a 1).由于函数f(x)在x 1处取得极值，所以有 f (1) 0,即：a 3 a 1 0 a 1.(2)由题设知:ax2 3x (a 1) x2x a 1对任意a (0,)都成立,即a(x2 2) x2 2x 0对任意a (0,)都成立。x2 2x ,x2 2x于是a ?对任意a (0,)都成立，即x 0.2x0.x2 2x2 2从而

8、实数x的取值范围为： 2x0.16.已知函数 f(x) x3 (1 a)x2 a(a 2)x b (a,b R).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3,求a,b的值;(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围. f (0) b 0，解得b 0, a 3或a解析：(1)由题意得 f (x) 3x2 2(1 a)x a(a 2)f (0) a(a 2)3(2)函数f (x)在区间(1,1)不单调，等价于导函数f (x)在(1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于 0的实数即函数f (x)在(1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有f ( 1)f (1) 0,即：3 2(1 a) a(a 2)3 2(1 a) a(a 2) 0整理得：(a 5)(a 1)(a 1)2 0,解得 5 a 13 0 2-17.设函数 f (x) x - x 6x a . 2(1)对于任意实数 x, f (x) m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f (x) 0有且仅有一个实根，求 a的取值范围. '2解：(1) f (x) 3x 9x 6 3(x 1)(x 2),2因为 x (,), f (x) m,即 3x 9x (6 m) 0恒成立，33所以 81 12(6 m) 0,得m ,即m的最大值为一44(2) 因为当 x 1时，f'(x)