17.3复数的几何意义和三角形式

1、商业学校教案授课日期2015年 月 日第周时数课型新课课题§ 17. 3复数的几何意义和三角形式教学目标知识目标：了解复平面的概念；掌握复数的几何表示和向量表示； 理解复数的模、辐角及辐角主值的概念；掌握复数的 三角形式及其特征。能力目标：会在复平面描出表示复数的点及向量；会求复数的模 和辐角、和辐角主值（特殊角）；会进行复数的三角 形式与代数形式的互化。情感目标：培养学生数形结合的数学思想和辩证唯物主义思想。教学重点用复平面上的点、向量和三角形式表示复数；复数的模和辐角、 辐角主值的概念。教学难点复数几何表示法的理解；复数几种表示形式的互化；复数辐角 的求法。教学资源课本，教学参考

2、书，学习指导书，网络教法与学法教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。学情分析（含更新、补 充、删节容）复数的几何表示和向量表示是复数的两种常见形式，复数的向 量表示学生不易理解的，教学时要充分揭示复数与向量之间的关 系，并借助向量进一步加强学生对复数的理解。板书设计17. 3复数的几何意义和三角形式1. 复平面例1例32. 复数的几何表示3. 复数的向量表示例24. 复数的三角形式教后记3.复数的向量表示直角坐标系的点Z Sb）与始点在原点的向量反=3）一一对应的，因此，复数""bi也与向量OZ-（a,b）一一对应,其中复数0对应零向且任何复数Z = a+

3、bi可以表示为复平面以 原点。为起点的向量旋，我们把这种表示像是叫做复数的向量师生活动学生思考并回答教学程序和教学容（包括课外作业和板书设计）一、引入新课根据复数的定义，复数表示为 + S,beR）的形式，我 们把这种形式叫做复数的代数形式，复数还有其他表现形式吗？ 这些表示形式之间有什么关系？二、讲授新课1. 复平面在平面上建立直角坐标系X°y ,横轴、纵轴上的坐标分别表 示复数的实部和虚部，这样的平面叫做复平面，其中横轴叫做实 轴，纵轴叫做虚轴。2. 复数的几何表示有序实数对（4丿与直角坐标系的点一一对应的，由复数代 数形式Z = a + bi可以知道，任何一个复数z = a +

4、 bi （aX R）, 都可以有一个有序的实数对（"力）唯一确定，即复数 图1Z = a + bi与有序实数对之间一一对应。由此可知，复数 Z = a + bi与复平面的点Z Sb）之间是一一对应的（如图1所 示），即任何复数Z = a + bi都可以用复平面的点Z Sb）来表示。 我们把这种表示形式叫做复数的几何表示。想一想：实数、纯虛数、虚数表示的点分别在复平面的什么位置？ （复平面，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴 上，表示非纯虚数的点分别在四个象限.）教学程序和教学容（包括课外作业和板书设计） -把复数ZF +勿表示为向量OZ = Sb）,那么把向量西的 模（长

5、度）叫做复数z = "+仞旳警，耳作同由图2容易得到,0+仞卜牯+戸,特别地,b = 0时，a+bi 是实数，它的模就等于问。复数的模有以下性质：复数的模是一个非雲评数，即 同°；互为共馳复数的两个复数的模相等，即W = rlo必须注意，两个不全是实数的复数不能比较大小，但是它们师生活动的模可以比较大小。_以x轴的正半轴为始边，向呼所在的射线为终边的角称为 复数仞的辐角，它表示向量庞的方向，复数0的辐角是任意的。一个不等于零的复数"+勿的辐角不唯一，这些值相差2兀的 整数倍，即若&是复数z的一个辐角，那么2R" + &（keZ）也是 复数

6、z的辐角，我们把复数在°刃的辐角叫做辐角的主值，记作想一想：实数、纯虚数的三角形式分别是什么？由图2可知，复数Z = a + bi 3 HO）的辐角主值O = arz所在学生思考并回答 的象限与复数Z=a + bi相对应的点所在的象限相同，并且tan 0 =例1求下列复数的模和辐角主值（1） 1 +， （2）解：（1）卩+心“+“ "tCIH 0 =又d =1 ,点（1.1 ）在第一象限。所以(|V3-/| =+ (-2 = 2(2)tanO =师生共同完成学生讨论并回答有丁3 ,点（J3,-1 ）在第四象限，所以教学程序和教学容(包括课外作业和板书设计)师生活动0 = a

7、rg (/3 -/) = 2 =6 6想一想：怎样求复数Z = 3 令的辐角？4.复数的三角形式如图2所示，设复数仞的模为4辐角为&,则a = rcosOb = r sin 0于是 a + bi = rcos0 + irsin0 = r Ceos0 + isin0)我们把复数的表示形式Z = r (cosO + fs加&)称为复数的三角 形式，这种表示形式是用复数的模和辐角来表示复数，复数z = ° 的三角形式仍然是z=°想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形 式吗？(1) isin0 + cos0(2) 2cos (-30°)

8、+ isin (-30。)5(C<?54-Z5/Z)(3) 6 6复数的代数形式和三角形式之间可以相互转化，把复数的代 数形式转化为三角形式时，通常取&为复数的辐角主值。例2把下列复数转化为代数形式5兀.5兀4 cos +1 sm )(1) 6 6(2)©cos (- 45°) +1sin (-45°)4 (cos + i sin ) 4x(- + /) = -2、$ + 2i 解：(1)66 =22(2) 45°)+汀沏(-45°) =血"¥_¥门=1-i例3把下列复数转化为三角形式(1) -1;

9、(2) 2z.(3) &i学生讨论并回答复数的三角形式 有三个特征:模 r>0 :括号的 实部是余弦，虚部 是正弦，且是同一 个辐角值0的正 弦和余弦 三个特征中只要 有一个不满足，则 表达式就不是复 数的三角形式。师生共同完成例 2和例3教学程序和教学容（包括课外作业和板书设计）师生活动解：（1） 'pJjD'+O'i,辐角主值为&二g（Dw,所以-COS7T + i sinTT*)*)eg/? 1(2) r = VO' + 2- =2辐角主值为&二2 ,所以2(cos + isin)2；= 2 2-1>/3学生讨论并回答（3 ）广=丁（问2+（-沪=2 ,由3和点（、存，-D在第四象限，得0 = arg（V3 /）= =-6 6 ,教师引导学生总 结复数的代数形 式化为三角形式 的方法步骤“11兀11"、/- . 2 kcos +1 sm)所以 V3-/=66学生练习 教师讲评想一想：怎样把复数Z = 3 + 4,表示成三角形式？复数的代数形式Z = a+bi化为复数的三角形式一般方法步骤学生总结 教师补充是： tun q b求复数的模：r = a-+b .由"2 一万及点（。,方）所在