(完整版)数学模型第二章习题答案

1、,用量纲分析方法确定风车15.速度为V的风吹在迎风面积为 S的风车上，空气密度是获得的功率P与v、S、的关系.解：设P、v、S、的关系为f(P,v,s, ) 0,其量纲表达式为P= ML2T 3, v= LT 1, s= L2,= ML 3,这里 L,M ,T 是基本量纲.量纲矩阵为：21 23(L)1001(M)A= 3100(T)(P) (v) (s)(齐次线性方程组为：2y1 y2 2y3 3y40yy403y1 y20它的基本解为y ( 1,3,1,1)由量纲P定理得 P 1v3s1 1, Pv3s1 1 ,其中是无量纲常数16.雨滴的速度v与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度g有关，

2、其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v, , ,g的关系为f(v, ,g ) =0.其量纲表达式为vFLMTj 尸L-3mt°, 尸MLT2 ( LT-1 L-1) -1L-2=MLL2丁2T=L-1M，g=LM02,其中 L, M, T 是基本量纲.量纲矩阵为1311(L)0110(M)A=1012(T)(v)()( )(g)齐次线性方程组Ay=0 ,即y1-3y2-y3 y 0y y 0-y1 -y3-2y40是无量纲常数的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量纲Pi定

3、理得 v 31 g .16 .雨滴的速度v与空气密度 、粘滞系数、特征尺寸 和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v, , , g的关系为f(v, , , ,g) 0.其量纲表达式为v=LM0T-1, =L-3MT0, 尸ML丁iLTtb-tJMLL272丁二匚311, =LM 0T0 , g 尸LM0T-2其中L, M, T是基本量纲量纲矩阵为11311(L)0 0110 (M)A=1 0 012 (T)(v) ()()() (g)齐次线性方程组 Ay=0即Y1y2 3

4、y3 y40y3 y40y y42 y50的基本解为1 c c 1、y1(1, -,0,0, 2)31y2 (Q -, 1,1,-)得到两个相互独立的无量纲量1/21/2第一章作业解答第 19页共14页3/211 /2g即 v . g 1，3/21/21g由(1, 2) 0，得 1( 21)3/21/21、g g ( g ),其中是未定函数20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期解：设阻尼摆周期t,摆长l ,质量m ,重力加速度g ,阻力系数k的关系为f(t,l,m,g,k) 0

5、其量纲表达式为：tL0M0T,lLM0T0,mL°MT°,g LM0T2,k fv 1 MLT2(LT 1) 1L0MT 1 , 其中L , M , T是基本量纲量纲矩阵为齐次线性方程组的基本解为得到两个相互独立的无量纲量( T72)g mg0 1010(L)0 0 101 (M)A=1 0 021 (T)(t) (l) (m) (g) (k)y2y40yys0y12 y4ys011Y (1, 2吟0) 11Y2(0,1, 1, 21)tl 1/2g1/21, 1/211/2,l m g k 21 /2( )!_( 2 ) ,21/2mg,其中是未定函数.考虑物理模拟的比例

6、模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为1/2t,t； l , l ； m, m . 又 t当无量纲量mm时，就有,i（二）2.建立不允许缺货的生产销售存贮*II型.设生产速率为常数k ,销售速率为常数r , k r.在每个生产周期T内，开始的一段时间0 t T0 一边生产一边销售，后来的一段时间（T0 t T）只销售不生产，画出贮存量g（t）的图形.设每次生产准备费为单位时间每件产品贮存费为C2,以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论k r和k r的情况.解：由题意可得贮存量 g(t)的图形如下:nT(k r)To TC2 晒g( i) tiC2 0 g(t)dt C2-

7、i 12贮存费为T0rT ,k贮存费变为C2r(k r)T T2k又 (k r)T0r(T T0)于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用(单位时间内)为C(T)2ci c2r(k r)TT 2kTCiTr(k r)Tc22k当k r时，T相当于不考虑生产的情况2cik,c2r(k r)dCCir (k r)-2 C2dT T2k令 dC 0 , 得 T12ckdT；c2 r(k r)易得函数C(T)在T处 取得最小值，即最优周期为:当k r时，T .此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.3.在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势 b有关,试假设一个合理的函数关

8、系，重新求解模型.解：考虑灭火速度与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度将减小，我们作如k下假设：(b) ，bi分母b 1中的1是防止b 0时而加的.总费用函数C x22 2,.八G t1c1t1 (b 1)c2 t1x(b 1)2 2(kx b ) kxC3X最优解为x'2c1kb2c2b(b 1) (b 1) 2c3k2(b 1)k1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明:1 1 , 一，(1)若So,则i先增加，在s 处最大,然后减少并趋于零；s(t)单调减少一 1 一， 一、，一 ，一(2)若比1,则i(t)单调减少并趋于零，s(t)单调减少至解：传染病的SIR模型(14)可写

9、成didt dsdti( s 1)si由ds si,知ds 0. s(t)单调减少.而s(t)0.dtdtlim s(t) s 存在.故s(t)单调减少至s .1(1)若So.由S(t)单调减少.s(t) so.,1 一.当一 s s0时，s 1 0.,1 一.当 s 2时，s 1 0.di dt di dt0,i(t)单调增加;0,i(t)单调减少.又由书上(18)式知i0.即!imi(t) 0.1 di当 s 时,di 0.dt，一 1 一，(2)右 s0，则sti(t)达到最大值im.i t单调减少且lim it从而s-10.史 0.dt0 即 i 0.4.在5.3节正规战争模型(3)中

10、,设乙方与甲方战斗有效系数之比为a / 一 4.b初始兵力*0与丫0相同.(1)问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定（2）若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负.解：用x t , y t表示甲、乙交战双方时刻 t的士兵人数，则正规战争模型可近似表示为：dx dt dy dt x oaybx,xo, y 0yo现求（1）的解：（1）的系数矩阵为Aab0.1,2 ab对应的特征向量分别为x t1的通解为 ytC1abtC2abte再由初始条件，得又由1可得dydx其解为2ayxtbxaybx2Xok,yo e abtXoabtyo e当

11、xt.8寸，yt12ay。bx2kay2 bx2d b .3"a 万 yo.即乙方取胜时的剩余兵力数为,32y0.又令xt,0,由(2)得Xoy。e abt1x°2y。丁丽10.注意到x°y0,得e2"而t1x02 y02 y0x02. abt1e 13,ln34b(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率dxdt dydtx(0)ay rbxxo, y0y°由4得组且，即bxdxdy bxaydy2rdy.相轨线为ay2rybx2k,ay2 2ry0 bx.0或 a ybx2k.此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为 k 0,亦

12、即y。xo a2r2 . a(七)1.在 6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h.(1)分别就hrN /4 , h rN /4 , h rN /4这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况.(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同.解：设时刻t的渔场中鱼的数量为 xt ,则由题设条件知： xt变化规律的数学模型为dx(t)xrx(1 ) h dtNx记 F(x) rx(1 一) hN(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性:由 F x 0,得 rx(1即x2 rxN2 4rh rN4hr(r ),N(1)的解为：x

13、1,24hN . 1 N， rN2当hrN /4 ,0 ,(1)无实根，此时无平衡点；N当hrN/4,0,(1)有两个相等的实根，平衡点为x0一.2F'(x) r(1 ) rx r 2rx, F'(x。)0不能断定其稳定性.N N Nx rN . dx 八 但 x x0 及 x x0 均有 F(x) rx(1 ) 0 ,即 一 0.x0不稳te；N 4dt当h rN /4,0时，得到两个平衡点：d 4h z1 NrN2x2N 1Sr?2x2(x2) 0平衡点x1不稳定，平衡点x2稳定.(2)最大持续产量的数学模型为maxhs.t.F(x) 0即 maxh rx(1易得 x0 -

14、 此时2* N 、* 一 、，但x0 一这个平衡点不稳定.这是与2NN .一八一一 N要获得最大持续广量，应使渔场鱼量x ,且尽量接近一，但不能等于 一.222N2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：x t rx ln 一 .其x中r和N的意义与Logistic 模型相同.设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h Ex.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度*Em和渔场鱼重水平x0 .解：xt变化规律的数学模型为dx tdtNrx In 一 ExxNF (x) rx In xEx令F x 0,N得 r

15、x ln - xExx0xi平衡点为x0,xi . 又Nr In - rxx00,F xi平衡点xo是稳定的，而平衡点x1不稳定.最大持续产量的数学模型为:maxhst.ExNrx In xEx0,x 0.E由前面的结果可得h ENe rdhdENeEN人dh 八0. dE得最大产量的捕捞强度Em r ,从而得到最大持续产量hm rN /e ,此时渔场鱼量水平* Nx03.设某渔场鱼量x（t）（时刻t渔场中鱼的数量）的自然增长规律为：dx，其中r为固有增长率，N、为环境容许的最大鱼量.而单位时间捕捞量为常数x rx(1 )Nh.求渔场鱼量的平衡点，并讨论其稳定性；试确定捕捞强度E m，使渔场单

16、位时间内具有最大持续产量*Qm，求此时渔场鱼量水平x0.解:10. x（t）变化规律的数学模型为dxf(x)dtx.xrx(1 一) h ,令 rx(1 一)hNNrx(1x2 rx h 0 - ( 1 ) N(x)易知4rh / 4h.r(r )N N（1）的解为:x1,21 4hNrN20时，（1）无实根，此时无平衡点;0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为r(1x、 rxN) N rx0及x x0均有x0不能断定其稳定性.x、 rNf(x) rx(1 N) 70时，得到两个平衡点:1 4hrN又2N NJ 4：2dx即dt0 x0不稳定;x1x2f(x1) 0,f'(x2)平衡点

17、x1不稳定x2稳定.20.最大持续产量的数学模型为:maxhst. f (x)即 maxh rx(1易得*x0N , 此时要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N 一，且尽量接近2rN4. *，但x0N、 一这个平衡点不稳定.2N,但不能等于.第九章(2008 年 12 月18日）1.在9.1节传送带效率模型中,设工人数n固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其它条件不变.另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子, 其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的,他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量

18、与第一种办法一样.试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种 办法好.解：两种情况的钩子数均为 2m.第一种办法是 2m个位置，单钩放置 2m个钩子；第二种办法是m个位置，成对放置 2m个钩子. 由9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为2m1 nn12m当较小，n1时，有2m2m1 n1 n n 122m 8mn 14mn4m下面推导第二种办法的传送带效率公式:对于m个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的 m个钩对.1任一只钩对被一名工人接触到的概率是；m1任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1 ；m、一 1,1记p ,q 1 .由工

19、人生产的独立性及事件的互不相容性.得，任一钩对为空 m m的概率为qn ,其空钩的数为2m；任一钩对上只挂上1件产品的概率为npqn 1 ,其空钩数为m.所以一个周期内通过的 2m个钩子中，空钩的平均数为nn 1nn 12m q m npq m 2q npq于是带走产品的平均数是2m m2qn npqn 1 ,未带走产品的平均数是n 2m m 2qn npqn 1 )此时传送带效率公式为D'nn 12m m 2q npq近似效率公式:由于 1D' 16m2当n 1时,并令E' 1E'2n26m2两种办法的比较:由上知：EE'4m2n6m2E'/E

20、2n3mn时,2n3mE'所以第二种办法比第一种办法好.2.一报童每天从邮局订购一种报纸,沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7100份报纸要赔4元.报童每天售元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每解：设每天订购n百份纸，则收益函数为f(r)7r ( 4)(n r) r n7n收益的期望值为nG(n) =(11r 4n)P(r) + 7n P(r)r 0r n 1现分别求出n=0,1,2,3,4,5时的收益期望值.出的报纸数r是一随机变量，其概率分布如下表:售出报纸数r （百份）012345概率P（r）0. 050.10.250.350.150.1试问报童每天订

21、购多少份报纸最佳（订购量必须是100的倍数）?G(0)=0; G(1)= 4 X 0.05+7 X 0.1+7X ( 0.25+0.35+0.15+0.1) =6.45;G(2)= ( 8 0.053 0.1 14 0.25) 14 (0.35 0.15 0.1) 11.8;G(3)=( 12 0.05 1 0.1 10 0.25 21 0.35) 21 (0.15 0.1) 14.4G(4)=(16 0.055 0.1 6 0.2517 0.35 28 0.15 )28 0.113.15G(5)=20 0.05 90.1 2 0.25 130.35 24 0.15 35 0.110.25当报童每天订300份时，收益的期望值最大.5.某工厂生产甲、乙两种产品，生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如卜表所不:品种原材料能源消耗（百元）劳动力（人）禾润（千兀）甲2144乙3625现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过 2400百元；全厂劳动力满员为 2000 人.试安排生产任务（生产甲、乙产品各多