(完整)高中数学解析几何双曲线性质与定义

1、双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于 1的常数的点之轨迹。一、双曲线的定义双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点Fi、F2的距离之差的 绝对值始终为一定值2a(2a小于Fi和F2之间的距离即 2a<2c)时所成的轨迹叫做 双曲线。取过两个定点Fi、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴建立直角坐标系。图 2-24设M(x, y)为双曲线上任意一点，那么F1、

2、F2的坐标分别是(-c , 0)、(c , 0).又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 2a。二晒二麻工产F，晔尸而可*，+ cy Jy- -a) .± 2a,将这个方程移项，两边平方得：(x+ c)2 +/=4/上工十/ -C)3 +y*.两边再平方，整理得：c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2由双曲线定义，202a 即c>a,所以c2-a2>0.设c2 a2 b2 (b >0),代入上式得:22双曲线的标准方程：、1 a b两个定点Fi,F2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为 2c0坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a为双曲线的实

3、轴长，2b为双曲线的虚轴长。实轴长、虚轴长、焦距间的关系：c2 a2 b2,双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程:2 x -2 a2y21,我们将c2 a2 b2代入,b2可得：业2 x2 a x 一c所以有：双曲线的第二定义可描述为:平面内一个动点(x,y )到定点F ( c,0)的距离与到定直线l(x2)的距离之比为 c常数e c c a 0的点的轨迹是双曲线，其中, a定点 F叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率1、离心率：(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比2c2a叫做双曲线的离心率;a(2)范围：e 1；(3)双曲线形状与e的关系:y1

4、2邑 1<e2 1 ；Fl Ai OA2F2x因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大, 可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；(2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约；2、准线方程：22对于 I yr 1来说，相对于左焦点 E( c,0)对应着左准线11 ：x a b2-,相对于右焦点cF2(c,0)对应着右准线12位置关系:22对于%b22 a a c0,b2焦点到准线的距离p (也叫焦参数)；c1来说，相对于下焦点F1(0, c)对应着下准线11 : ya2一;相对于上焦点F2(0,

5、c)对 c应着上准线12 : yyA2 F2xF2AA1F1F1、F2的连线段，叫做双曲线的焦半径。F1，F2是其左右焦点,eX);同理 MF2 a ex0 ;其中 FF2分别是双曲线的左(下)、右(上)焦点B(0,-b)4、渐近线:，B/ (0,b)0同时BB /叫做双曲线的虚轴且|BB/ I =2b02由二2a2匕1 b22 y2 xb2-2 a,y焦点在x轴:5、双曲线焦半径公式:bx ,焦点在y轴：x a(圆锥曲线上任意一点时， xb yb所以：双曲线的渐近线方程为: aaP(x,y)右焦半径:左焦半径:r=r=I ex-aI ex+a6、共腕双曲线2双曲线S:三 a(a 0,b 0)

6、,双曲线双曲线S/的实轴是双曲线bS的虚轴且双曲线S72三 1 (a 0,b 0) a的虚轴是双曲线 S的实轴时，称3、双曲线的焦半径：双曲线上任意一点M与双曲线焦点22设双曲线、1T 1 (a 0,b 0), a b|MFi|.MF1- e, L- e, MF1 ad1ax0 c即：焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式:MF1 a ex0MF2 a ex0同理：焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式:MFa ey0MF2a ey0二、双曲线的性质1、轨迹上一点的取值范围：x a或x a (焦点在x轴上)或者y a或y a (焦点在y轴上)。2、对称性：关于坐标轴和原点对称同时AA7叫做双曲线的实轴且I

7、AA | 二2a；3、顶点：A(-a,0) , A' (a,0)双曲线S，与双曲线S为共腕双曲线。特点： (1)共渐近线(2)焦距相等(3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于7.焦点到一条渐近线的距离特别如图2可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长.这个性质很重要.、例题求解:bx,我们可以判断直线 a22例1:已知双曲线勺 1 (a 0,b 0)的渐近线是y a by kx m与双曲线的交点个数当直线y kx m的斜率k b时，如果,显然它就是渐近线，与双曲线没有任 a何交点，如果徵手° ,则它与双曲线有一个只有一个交点。当直线y kx m的斜率k 2,2时

8、，则y kx m与双曲线有两个交点 a a当直线y kx m的斜率k , - b, 时，则y kx m与与双曲线没有交点a a例2已知直线y = .+2与双曲线4/一/=1有两个不同的交点，试确定活的范围.y -mx+2解：由可得，(4-加M-4的-5 = 0从而&/一4(4一步)(7 口解得-2而 淑2后又因为4/一/ =】的渐近线方程是y=s ,所以海=±2 .故活以一2 在2)IJC2,2)U(Z2j5)22例3已知双曲线勺y- 1 （a 0,b 0）的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是 a b2倍，则有双曲线的离心率是解：由已知可知 以二2厘，所以r V * aj

9、22F1PF2的内切圆与边F1F2即求ON的长度，而例4双曲线左 y 1上一点P与左右焦点Fi,F2构成F1PF2,求 94的切点N的坐标。分析：设点P在已知双曲线的右支上，要求点N的坐标。ON OF2 NF2 ,其中OF2 c v13,只需求NF2的长度，即NF2是圆。M的一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。解：设点P在已知双曲线的右支上，由题意得NF?PF2I |叫 |PFi|2a 2 c r - 一PF2PF12a,|NF2-c a,又c ,13 ,a 3,NF2713 3,又of2 c、T3,on of2nf2| J13（713 3）当点P在已知双曲线的右支上时，切点 N为

10、顶点（3,0）,当点P在已知双曲线的左支上时，切点N为顶点（3,0）22例5 已知FF2是双曲线土 匕1的左右焦点，P在双曲线的左支上，PF2F1,916PF1 F2,求 tan cot的值22分析：如右图，先做出 PF1F2的内切圆。M ,则。M切F1F2于点A, MA等于内切圆的半径。且MF2F1一,MF1A2解：做出 PF1F2的内切圆。M ,MF2F1一 , MF1A 一,22, r 21tan - cot 228 r 422例6设F1、F2是曲线C1:二62则。M切FR于点A,|AM|r rtan 一2 AF2 a c 821的焦点，P为曲线C2： 土3AF2 c a 2 cot 2

11、 AM r ry2 1与C1的一个交点，则PF1 PF2分析：利用双曲线及椭圆的定义找出 PF1PF2之间的关系解析：设 |PF1| m, |PF2n ,不妨设m n ,显然椭圆和双曲线共焦点（2,0）,由椭圆和双曲线的定义可知m n 2jE且m n 2第m <6 <3 , nJ6" J3 在三角形 PF1F2 中,222222PFiPF2F1F2m2 n2 (2c)2 1cos F1PF2 -2 PFi PF22mn3由余弦定理可知PFi PF2PF111PF2例7已知Fcos F1PF2 32F2是双曲线与a2 y_ b2于M点，若MF2垂直于x轴,1的左右焦点，过

12、已作倾斜角为30°的直线交双曲线右支 求双曲线的离心率.解析：由题意的FF2 2c, MF2 2c tan 112 5/3一. r-MF1MF2-c 2a ,则 e v13。322例8已知双曲线 0 与1的左右焦点分别为 R( a b2V3c , MF132ccos6i-蛀。由定义知3c,0） F2（c,0）若双曲线上存在一点P使得PF1 2PF2 ,求双曲线离心率的范围解析：由双曲线的定义 归同 PF2I 2a, |PF1 4a,在 PFR中，结合双曲线的图像|PF1PF2II IF1F2 , 6a 2c,即 1 e 322例9已知双曲线二、1的左右焦点分别为 冗（c,0） F2（

13、c,0）,以F1F2为直径的圆与双曲线a b交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个正六边形，求双曲线的离 心率。解析：设P为圆与双曲线在第二象限的交点，则F1PF2 ,pF1F2 ,在23Rt FPF2 中，PF2 PF1 2csin 2ccos c电 1） 2a 33e c . 3 1 a22例10已知双曲线勺 4 1的左右焦点分别为FF2, P为双曲线上任意一点，FPF2的a b内角平分线为l ,过F2做l的垂线F?M,设垂足为M ,求点M的轨迹。解析：延长F2M交FF于N由角平分线及垂直关系得 PF2 |PN ,有OM是F1F2N的中位NF 11线，从而OM| -y- J

14、pfJ |PN ） （PF1 PF2） a,故OM a为定值，即点M的轨迹 是以坐标原点为圆心，a为半径的圆（去掉与x轴的交点）方程为 x2 y2 a2（x a）例 11、已知。A: (x 5)2 y2 49 ,。B ： (x 5)2 y2 1 ,若。P 与。A 内切与。B 外切, 求。P的圆心的轨迹方程。解析：。A: (x 5)2 y2 49 ,圆心 A( 5,0),半径 r1 7 ,OB: (x 5)2 y2 1 圆心 B(5,0),半径 r2 1 ,由题意的 PA r 1 , PB r 1。PB PA (r 1) (r 7) 8,即P是以A、B为焦点的双曲线的左支。2a 8 , a 4,

15、 2c 10, c 5,b2 c2 a2 4。22P点的轨迹为1(x4)1692例12、已知FF2是双曲线x2 1的左右焦点，M( 6,6)是双曲线内部一点，P为双曲线3左支上一点，求PMPFi的最小值解析：双曲线的定义|PF1 PF2I 2a 2,即PF1PF2 2PMPF1PMPF22MF22 虱 62)2622 8当且仅当F2、P、M三点共线时“ ”成立。 22例13、已知双曲线方程为 今) 1(a b 0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中 a bF1PF2，证明:F1PF2b2cot。2证明(2c)2 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1I PF2 cos

16、(PF1I IPF2)2 2 PFJ PF2 (1 cos ),(PF1PF2)PF1 PF22112(1 cos1 又 S F1PF2 PF1 PF2 sin1综上 S f,pf, PF1 PF2 sin2 2例14一个动圆与两个圆222_ 24c4c2 4a22b2)2(1 cos ) 1 cos,2 sin , 2 xb b cot 1 cos2x2+y2=1和x2+y2 8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹是()、已知两圆C1 ： (x 4)2 圆圆心M的轨迹方程。2例15、设F1, F2是双曲线16y22, C2：(x 4)221的左、右焦点，点20y2 2,动圆M与两圆都相切，则

17、动P在双曲线上，若点 P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离。分析：已知双曲线上的点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利 用形式。解析：由 |PFJ | PF2 | 8及 |PF1| 9,得 | PF2 | 1 或 17。由2a 8, c2 36 c 6 知右支的顶点到F1的距离为10,而已知| PF1 | 9,说明点P在左支 上，此时，IPF2I 10,所以，点P到焦点F2的距离为17。点评：此类问题可以是一解，也可以是两解，如：当 | PF1 | 10时，有两解；当2 |PF1 | 10时，有 一解，因此，对运算结果必须做合理性分析。22例16、如图

18、，双曲线勺4 1(a 0,b 0) a2 b2其焦点为Fi,F2,过Fl作直线交双曲线的左支于 A,B两点，且| AB | m ,则 庆852的周长为 。解析：由1AF2 |BF2| AF1 | 2a| BF1 | 2a|AF2| |BF2| (| AFi | | BFi |) 4a；分析：本题中AFi, AF2, BF3BF2都是焦半径，而 ABF2的周长恰好是这 四条焦半径之和，应用第一定义便可得。由 |AF1| |BF111AB | m,| AF2 | | BF2 | 4a m；故 ABF2 的周长为 | AF2 | | BF2 | | AB | 4a 2m。点评：本题结合定义，求出|

19、AF2 | | BF2 |,再求周长，简便易行；假如本题未给图形及条件 “过Fi作 直线交双曲线的左支于 A,B两点”中“左支”两字，情况又会怎样呢？22例17、已知双曲线 y 1(b N)的左、右两焦点分别为Fi,F2, P为双曲线上一点，若4 b2 _2_ _ | PFi | | PF2 | | F1F2 | ,且 5 | F1F2 | | PF2 | 8 ,求 PF1F2 的面积。分析：欲求面积，首先要确定 b的值，由第一定义及| PF1 | | PF2 | | F1 F2 |2可以构成方程组，通过方程组求得| PF1 |及| PF2 |的值。解析：由c24 b2,又2| PFi | |

20、 PF2 145b|PFi | |PF2 | 42|PFi | |PF2 | (2c)2|PFi | | PF2 | 42|PFi | |PF2 | 4(4 b2)| PFi | | PF2 | 4|PF2 | 2也 b2 2或 | PF2 | 2J5 b2 2 ,由于 | FiF2 | | PF2 | ,得 | PF2 | 2J5 b2因为b N且b 0,得b 1或2 ；2,又 |PF2| 8,即 255 b2 2 8,从而得 b2若b1,则c24b25,此时|FiF2| 2c2755,不合题意；若b2,则c24b28,此时|FiF2| 2c4&5,符合题意;那么 cos F1PF2

21、(|PFi| |PF2|)2 2|PFJ |PF2|2|PFi| |PF2|3一,从而 sinF1PF24一1故 PF1F2 的面积为 S 一 | PF111PF21 sin F1PF2 2,142点评：本题考查的是双曲线的定义及常规的运算能力；运算过程既要用要方程思想又要注重分类讨论 思想，体现了重思维、轻运算量这一大纲要求。例18、解方程,x2 4x 7分析：对第一个式子配方，得,(x 2)2 y2 ,问题即可解决。x2 4x 7 2J(x 2)2 3。联想两点间的距离公式，可设2_y 3 ,此时变为解析：原方程可变为(x 2)2 3.'(x 2)2则方程以变为(x 2)2 y2(x 2)2 y22轴长为2的双曲线上，易得其方程为 x2 2 1。33 2,令 y23,2,显然，点(x, y)在以(2,0) , (2,0)为焦点，实22 y .x 1 ,由 3 ，得x22 oy2 3双曲线学生练习和重要结论1 .点P处的切线PT平分 PFF2在点P处的内角.2 . PT平分APFFz在点P处的内角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4 .以焦点半径PR为直径的圆