2020届慕华优策高三第一次联考数学(文)试题(解析版)

1、2020届慕华优策高三第一次联考数学（文）试题、单选题1 .若复数z满足1 i z 1 i （ i是虚数单位），则z （）A. 22B . 1C.J3D . 2【答案】B【解析】将表达式变形，结合复数的除法运算及复数模的定义即可求解【详解】，一11 i将表达式化简可得 z ,1 i211 i 1 i由复数除法运算化简可得 z - i ,1 i 1 i 1 i则z 1,故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义及求法，属于基础题. 2一 一 一 _一._2 .已知全集 U R,集合 A xx 2x 3 0,B x 1 x 3,则 AIB（ ）A. x 1 x 1 B. x 1 x

2、3 C. x 1 x 3 D. x 1 x 3【答案】D【解析】解不等式可得集合A,由集合交集运算即可求解.【详解】集合A x 1 x 3 ,集合B x 1 x 3 ,则 A B x 1 x 3 ,故选：D.【点睛】本题考查集合的概念与交集运算，属于基础题3 .实数x, y满足x y 0 ,则下列不等式成立的是（）11A. ln(x y) 0 B. 一 一 x y【答案】D【解析】由对数函数性质可判断 A,根据不等式性质可判断 BC,利用分析法，证明 正确.【详解】对于A,当0 x y 1时，不等式不成立，所以 A错误；11对于B,由不等式性质可知当 x y 0时一 一，所以B错误； x y对

3、于C,由不等式性质可知当 x y 0时x2 xy ,所以C错误；对于D,因为x y 。，则Jx Jy 0, xxy 0,欲证xx_y xx 亚 即 x y x y 2/xy , 2jxy 2y,即& Jy ,显然D成立.故选：D.【点睛】本题考查不等式性质与证明及推理的简单应用，属于基础题4 .下列命题正确的是（）a .若“命题p q为真命题”，则“命题p q为真命题”B.命题“ x 0, x lnx 0” 的否定为“ x 0 0, x ln x0 0”C.存在实数x 使得sin2x cos2x 2D .已知直线ax by 1与圆O：x2 y2 1没有公共点，则a2 b2 1 【答案】D 【解

4、析】根据复合命题真假关系可判断A;含全称量词命题的否定，条件不改变；根据辅助角公式，可得 sin2x cos2x的最大值，进而可判断；由直线与圆的位置关系，结 合点到直线距离公式即可判断D.【详解】对于A： “命题P q为真命题”，则p,q至少有一个为真；而“命题 P q为真命题” 则p,q都为真，a错；对于B：命题“ x 0, x lnx 0”的否定“ x0 0,刈lnx0 0，B错;对于 C： sin2x cos2x J2 ，C 错； 2221对于D ：圆O : x y 1 ,圆心O到直线ax by 1的距离d,因为直,a2 b2，1，c c线与圆没有公共点，所以 dc2 1,化简可得a2

5、 b2 1.,a b故选：D.【点睛】本题考查常用逻辑用语的简单应用，直线与圆的位置关系的应用，属于基础题y 1 05.已知实数x,y满足 x y 4 ，令z 4x 2y，则z的最小值为（）2x y 2 0A. 16B . 32C. 24D . 36【答案】A【解析】根据所给不等式组，画出可行域；将目标函数变形为z 22xy,求得（2x y）min 即可求得z的最小值.【详解】根据不等式组，画出可行域如下图所示：23，设m 2x y ,由图可知当m 2x y经过A ,1时m取得最小值,23 / / 则 mnin (2x y)min 214,所以 Zmin22x y min 24 16.故选：A

6、.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，属于基础题6 .为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果，现对200只动物进行调研，并得到如下数据：未发病发病合计未注射疫苗206080注射疫苗8040120合计1001002002n(ad bc)(附：K2 )(a b)(c d)(a c)(b d)_2P(K -k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828则下列说法正确的：()A.至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”B .至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”C .至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”D . “发病与没接种疫苗有

7、关”的错误率至少有0.01%【答案】A【解析】根据所给表格及公式，即可计算K2的观测值，对比临界值表即可作出判断【详解】根据所给表格数据，结合K2计算公式可得其观测值为一一4_22200(20 40 60 80)100K 10.828 ,100 100 80 1203所以至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”，故选：A.【点睛】本题考查了独立性检验思想的简单应用，属于基础题7 .公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn,若a5是a2与a7的等比中项，且S 52,则 ai2=()A. 1B . 2C. 3D . 4【答案】A【解析】根据等差数列通项公式及所给条件，可得关于为和d的方程

8、组，进而求得等差数列an的通项公式，即可求得为2的值.【详解】2a14da1d a16d设公差为d ,依题息,8al 28d52解得 ai10, d 1 ,所以知 a1 11d1,故选：A.【点睛】本题考查数列的通项与求和公式的简单应用，属于基础题ur unuur urun8 .已知e，e2分别为直角坐标系xOy的X, y轴正上方上单位向量，AC403e2,uumur uuBD 6e 8e2 ,则平行四边形 ABCD的面积为()A. 25B . 50【答案】A【解析】根据平面向量数量积定义可证明C. 75D . 100uuu uuuAC BD ,可知行四边形ABCD对角线互相垂直，结合平面向量

9、模的求法可得【详解】m由题意可知0,uue2分别为直角坐标系uum urur uuir urunAC4e13e2, BD608e2 ,uur uun 1rlM 则 AC BD4e 3e2uuur uurAC , BD ,即可求得平行四边形 ABCD的面积.xOy的x,y轴正上方上单位向量,ur urU2ur uu H26e1 8e224e114e1 0 24e20,uuu uurAC BD， uuur -22UU；混 _2 “则平行四边形 ABCD对角线垂直，ACq435, BD| 46810,“一 ，1 ，所以面积为5 10 25. 2故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的运算与几何意义，

10、平面向量数量积的运算，属于基础题.229.已知椭圆C：斗 。1,(a b 0)的左焦点为F ,若点F关于直线x y 0的 a b对称点G在椭圆C上，则椭圆的离心率为()A.史B.臣C. 2D.立3232【答案】B【解析】根据椭圆的几何性质及点关于直线的对称点可得G点坐标，代入椭圆方程即可确定a与c的关系，进而得离心率.【详解】22x y椭圆C ： F y 1(a b 0)的左焦点为F,a2 b2则椭圆焦点F ( c,0),点F关于直线x y 0的对称点G在椭圆C上，则G(0,c), ,10c因为G在椭圆上，彳t入可得 -01, a2 b2则 b c,由 a2 b2 c2 可得 a 72c ,所

11、以e c 2, a 2故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质及简单应用，点关于直线对称点问题，属于基础题.10.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m,一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到 P点，蚂蚁爬行的最短路径为 2石m,则圆锥的底面圆半径为（A. 1mB. mC. mD. m332【答案】B【解析】将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径【详解】将圆锥侧面展开得半径为 2m的一扇形，蚂蚁从 P爬行一周后回到 P （记作P）,作第19页共22页由最短路径为2，3m,即PR

12、 2，3,OP 2,由圆的性质可得 POMPOM即扇形所对的圆心角为，, 2 c 4则圆锥底面圆的周长为l 2，3 34则底面圆的半径为l 32,r 3-223故选：B.【点睛】本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题 11 .阿基米德（公元前287年公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，他研究了圆锥曲线许多性质，曾利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴之 积.若椭圆C的两个焦点为F1, F2, P为椭圆上一点， PF1F2的面积最大值为12,3 且椭圆离心率为 一，则椭圆C的面

13、积为（）5A. 20B. 80C. 40D. 100【答案】A【解析】根据 PF1F2的最大值、离心率及椭圆中a, b,c关系，可列方程组求得 a, b, c的值，结合题意即可确定椭圆C的面积.【详解】3设椭圆长半轴与短半轴分别为a,b, PFFz的面积最大值为12 ,椭圆离心率为-，51?FiF2 b bc 12c 3则一一，斛得 a 5, b 4, c 3,a 5 222 a b c，一S 由题息可知一 ab,所以椭圆C的面积为S ab 20 ,故选：A.【点睛】本题考查了圆锥曲线性质的简单应用，借助古典文化考查理解能力，属于基础题12 .将函数y2sin22x否10)的图象向右平移(0-

14、)个单2位后得到奇函数f (x)的图象与直线y 1相邻两个交点的距离为，则5C.12即可确定；由平移后函数f (x)为奇函数可得的表达性，进而由0一即可求得2的值.由降骞公式化简可得2 x2sin 26B . 12cos x 一 3sin向右平移个单位后f(x)的图象与直线y 1相邻两个交点的距离为【解析】根据降哥公式化简函数表达性，根据相邻两个交点的距离可确定周期,所以2- 2,所以平移后的解析式为 y f(x) sin 2x 2,6因为向右平移后所得函数y f(x)为奇函数，则2 k ,则612由0故选：C.【点睛】 本题主要考查三角函数化简、三角函数图象平移变换与性质的综合应用，属于中档

15、题13 .函数 F(x)x1一,x3logi x,x3、填空题0,则 F F (2020)0【答案】2020【解析】根据分段函数解析式，先求得F (2020),再代入即可求解函数F(x)x13 ,xlog1 x,x3则 F (2020) log 1 2020、3所以 F(F(2020) F log 1 20203log 1 202032020.故答案为：2020.本题考查了分段函数求值，对数函数与指数函数的性质及运算，属于基础题一一sin cos14 .直线3x y 1 0的倾斜角为，则sn一cossin cos-1【答案】-2【解析】根据直线方程可求得tan ,结合齐次式的变形即可求解 .【

16、详解】直线3x y 1 0的倾斜角为 ，则 tan 3,sin cos所以sin costan13 11,tan13 1 21故答案为：1.2【点睛】本题主要考查三角函数化简与求值，齐次式形式的求值，属于基础题 3a15 .在VABC中，角A, B , C的对边分别为a, b , c,且 tan B tan C ,ccosB则角C的值为.【答案】 3【解析】将表达式借助正弦定理及同角三角函数关系式化简，由正弦和角公式变形，即可求得tanC ,进而得角C的值.【详解】由题意tan B tan C , ccosB由正弦定理、同角三角函数关系式及正弦和角公式化简可得3sin A sin B sin

17、C sin( B C) , sin C cos B cosB cosC cosBcosC-1 tanC 73,因为0 C ,所以C 一.3故答案为：一. 3【点睛】本题主要考正弦定理在边角转化中的应用，三角函数变换与求值，属于基础题16 .已知函数f (x) ex2ax2,g(x) 2ax x,若在2, 上曲线y f (x)与y g(x)没有交点，则实数的取值范围为【解析】F(x)e2 24根据题意可知f (x)g(x)在2, 上无实数根，分离参数后构造函数xe xJ，由导函数判断xF(x)的单调性，从而求得F(x)的最小值，即可确定a的取值范围.曲线yf(x)与 y g(x)在2, 上没有交

18、点,f(x)g(x)在 2,上无实数根,xe x . o 一2在 2,x上无实数根,F(x)F (x)xe x2-，xx2 2x4xF (x)0 ,即F(x)F(2)2 ex x2 o -,x 2,xF(x)xe x .2在x x2时单调递增,故答案为:e2 24本题考查了导数在证明函数单调性中的应用,由导函数单调性求参数的取值范围，分离参数法的应用，属于中档题三、解答题17 .共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 50人

19、就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这 50人根据其满意度评分值 （百分制）按照50,60）,60,70）, L ,90,100分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题:频率分布表组别分组频数频率第1组50,60)80.16第2组60,70)a第3组70,80)200.40第4组80,90)0.08第5组90,1002b合计虻虫帧率分布直方图7口醐90 too稀白度怦分也 （分）（1）求a,求x, y的值;（2）若在满意度评分值为80,100的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第 5组的I率.3 【答案】（

20、1） a 16,b 0.04, x 0.032, y 0.004；（2） -.5【解析】（1）根据频率分布表可得 b.先求得80,90）内的频数，即可由总数减去其余部分求得a .结合频率分布直方图，即可求得x, y的值.(2)根据频率分布表可知在80,90)内有4人，在90,100有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能，由古典概型概率计算公式即可求解【详解】2(1)由频率分布表可得 b 0.045080,90)内的频数为50 0.08 4,a 50 8 20 4 2 1660,70)内的频率为16500.320.32100.032 90,100内的频率为0.040.04100.004(2)

21、由题意可知，第4组共有4人，第5组共有2人,设第4组的4人分别为a1、a2、a3、a4；第5组的2人分别为D、b?从中任取2人的所有基本事件为：司e2,&e3,&自,a,h,A,b2,a2,a3, a2,a4 , a2,h, a2,b2,a3,a4,a3,b1，a3,b2,a4,h,a-bz,b1,b2共 15 个.至少一人来自第 5组的基本事件有：a1,b ,ai,b2,a2,b,a2,b2,%心,%,3 ,a4,b,a4,b2b,b2共 9个.93所以P 3.15 5所抽取2人中至少一人来自第 5组的概率为3.5【点睛】本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用，列举法表示事件的可能，古典

22、概型概率计算方法，属于基础题.18 .在三棱柱 ABC AB1C1中，侧面ACCA为菱形，M , N分别为AC , AB的中点， ABC为等腰直角三角形，ABC 90, A1AC 60,且AC AB 4.(1)求证：BM 平面ACCiA;(2)求三棱锥C BMN的体积.【答案】(1)证明见解析(2)空3【解析】(1)由 ABC为等腰直角三角形， M为AC中点可得BM AC(2)根据三棱锥体积公式，且由 V三棱椎c bmn V三棱椎n BMC即可由线段关系求得体积【详解】(1) ABC为等腰直角三角形，M为AC的中点，所以由等腰三角形三线合一可得BM AC又侧面ACCA为菱形，AAC 一,3所以

23、AM AC ,由AC AB 4 ,可得AM2s/3, BM 2, AB 4 ,.由勾股定理逆定理可得BMA1M，且 A1M I AC M ,所以由线面垂直的判定定理可得BM 平面 ACCA ；(2)由(1)知AM 平面ABC, N为AB中点,N到底面ABC的距离为1AM2所以V三棱椎C BMNV三棱椎N BMC【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，三棱锥体积公式的求法，属于基础题 19 .已知各项为正数的数列an,前n项和为Sn ,且a11 ,Sn(Sn1亚)2(n- 2, n N )(1)证明：数列为等差数列，并求出数列 an通项公式an；5 h1(2)设bn ,求数列bn的前n项和Tn

24、.an an 1【答案】(1)证明见解析；an 2n 1(2) Tn 2n 1【解析】(1)根据所给条件式，变形后由等差数列定义即可证明数列5 为等差数列,由等差数列通项公式即可求得Sn ,再根据anSnSn 1即可求得数列Hn通项公bn的前n项和Tn .A；(2)表示出数列 bn的通项公式，结合裂项求合法即可求得数列(1)证明：各项为正数的数列an，Sn (向)2(区 1)2,即数列vST为等差数列是首项为1,公差为1的等差数列.(1)求P的值;第#页共22页所以ST 1 n 1 1所以 anSnSn 1(n 1)22n 1.n 1也符合该通项公式,故 an 2n1.(2) bnanan 1

25、(2n 1)(2n1)2n 1 2n 1Tn2n 112n 12n 1 2n 1本题考查了等差数列的定义及证明,由前n项和求等差数列通项公式的方法，裂项求和法的应用，属于基础题.20 .已知抛物线 x2 2 py ( p0)的焦点为F ,抛物线上的点 A到x轴的距离为AF - 1.(2)已知点M 2,0，若直线AF交抛物线于另一个点 B,且AM BM，求直线AF的方程.【答案】(1) p 2 (2) y8x 1【解析】(1)根据抛物线定义,结合题意即可求得P的值;(2)设出直线AF方程A Xi2Xi，B X2,2X2,联立直线与抛物线方程，表示出第23页共22页Xi X2 , X1X2 .由平

26、面向量数量积的坐标运算及AM BM即可求得斜率k ,进而求得直线AF的方程.【详解】(1)根据题意画出几何关系如下图所示，抛物线上的点 A到X轴的距离为 AF-1,由抛物线定义可得 AF等于A到y 1的距离，所以y1为抛物线准线方程，p 1,2解得p 2.22(2)由(1)知 F(0,1),可设 AF 方程为 y kX 1 , A %,二，B X2,逐44直线AF交抛物线于另一个点 B,即直线与抛物线有两个交点，因而 k存在； y kX 1”所以 2，化简可得X2 4kX 4 0.x 4y贝U X1 X2 4k, X1X24.uuuux2uuuux2又 AM 2 x1,，BM 2 x2，上，4

27、4由于AM BM , 2 2 2 x1 2 x21- 0,16代入Xi X2 4k , X1X24化简可得4 2(4k) 4 10,1解得k -.8、1/所以直线AF方程为y -x 1 8【点睛】本题考查了抛物线的定义及性质简单应用，直线与抛物线位置关系的应用，平面向量垂直时的坐标关系及运算，属于基础题.221 .已知函数 f(x) ln x ax 2(a 1)x ( a R).(1)求函数f(x)在点(1, 3)处的切线方程；(2)讨论函数f (x)的极值点个数.【答案】(1) y x 2(2)当a, 0时，f(x)只有一个极大值点；当 a 0时，f(x)有一个极大值点和一个极小值点【解析】

28、(1)将点坐标代入函数解析式，求得参数a的值，代入导函数即可求得切线的斜率，进而求得切线方程.(2)求得导函数并化简变形，进而讨论a 0、a 0、a 0三种情况，结合函数的单调性即可确定极值情况.【详解】(1)函数f(x)图象过点(1, 3),代入可得f (1) a 2(a 1)3,，解得a 1. 2代入函数可得f(x) ln x x 4x,1 c ，则 f (x) 2x 4,所以f (1)1 ,由点斜式可得切线方程为y (x 1) 3x 2.所以函数f(x)在点(1,3)处的切线方程为yx 2.(2)函数 f (x) ln x2ax 2(a 1)x (aR).则 f (x)1 2ax 2(a

29、 1)x_2_2ax2 2(a 1)x 1令 g(x)22ax 2(a 1)x 1, x0.i)a 0时，代入可得f (x)1 2xx因而1 一、八一，f (x) 0,所以函数21 一时, 2f(x)在 0f (x) 0 ,所以函数f(x)在x1f (x)只有一个极大值点x 一2(ii)当 a 0 时，令 g(x) 0 ,1 ,内单调递增,21一时单倜递减,2，一，1 c 、q 人,由两根之积为 0可知方程只有一个正根小,2ax %时，f (x) 0,所以函数f(x)单调递增,当x x0时，f (x) 0,所以函数f(x)单调递减,因而f (x)只有一个极大值点 x %x0,x1x1x1，x2

30、*2乂2,g(x)+0-0+f(x)增极大值减极小值增(iii)当a 0时，令g(x) 0 ,有两个正根0 xi x2 ,综上可知，当a 0时，f(x)只有一个极大值点;当a 0时，f (x)有一个极大值点和一个极小值点【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，由导函数确定函数的极值情况，含参数的单调性及分类讨论思想的综合应用，属于中档题x sin 122 .已知在直角坐标系 xOy中，曲线m的参数方程为2( 为参数)，y cos以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N的极坐标方程为sin m.(1)求曲线M的普通方程与曲线 N的直角坐标方程；(2)曲线M与曲线N有两个公共点，求实数 m的取值范围.【答案】(1) M的普通方程为y x2 2x, 0 x 2;