勾股定理知识点的总结及练习

1、第 课时E f.g第十八章勾股定理一.基础知识点：1:勾股定理直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方。(即：a2+b2=c2)要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：(1)已知直角三角形的两边求第三边(在 ABC中， C 90 ,则c a2 b2 , b . c2 a2 , ac2 b2 )(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面

2、积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：122 八一、一方法：4 s S正方形efgh So形abcd，4 3 ab (b a) c ,化间可证.方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 -ab c2 2ab c22大正方形面积为 S (a b)2 a2 2ab b2所以a2 b2 c2一_11.1 2方法一S弟形（ab） （a b），S梯形2S ade S abe 2 ab c ,222化简得证3:勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即Aa2 b2 c2中，

3、a, b, c为正整数时，称 a, b, c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25 等用含字母的代数式表示n组勾股数：n2 1,2n,n2 1 （n 2, n为正整数）；2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n 为正整数）2222m n ,2mn,m n （m n, m , n 为正整数）规律方法指导1 .勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2 .勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关 系的题目。3 .勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角

4、边，这是这个知识在应用过程中易犯 的主要错误。二、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例1 .在 ABC 中， C 90 .已知AC 6, BC 8.求AB的长已知AB 17, AC 15,求BC的长分析：直接应用勾股定理a2 b2 c2解： AB AC2 BC2 10 BC . AB2 AC2 8题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物 9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米解析：这是一道大家熟知的典型的 “知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理 AC?+BC2=AE2,即

5、 AC2+92=152，所以 AC2=144，所以 AC=12.例题2如图（8）,水池中离岸边 D点米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC的长是米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度 AC.解析：同例题1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2.由题意可知 ACD中, /ACD=90°，在RtACD中，只知道CD=,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2,根据勾股定理，ac2+cd2=ad2设水深AC= x米，那么 AD=AB=AC+CB=x+x2+=(x+) 2解之得x=2.故水深为2米.题型四：利用勾股定理求

6、线段长度 例题4如图4,已知长方形 ABCD中AB=8cm,BC=10cm在边CD上取一点 E,将 ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细解题过程如下：解：根据题意得 RtA ADE RtAAEF，/AFE=90° , AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm,则 DE=EF=CD CE=8- x在Rt ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,即 82+BF2=102,BF=6cm .CF=BC- BF=10- 6=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得:E=Cm+CF2,即(8x) 2=x2+42,.

7、64- 16x+x2=2+16. .x=3(cm),即 CE=3 cm注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积第一课时第十八章勾股定理一.基础知识点：1:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a2+b2 = c2,那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：(1)首先确定最大边，不妨设最长边长为：c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若 c2=a2+b2,则4ABC是以/C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2,则4ABC是以/

8、C为钝角的钝角三角形；若 c2<a2+b2,则 ABC为锐角三 角形）。（定理中a, b, c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a , b , c满足a2 c2 b2,那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）2:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。3:互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。4 .

9、勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a, b, c有下列关系：a2+b2 = c2, ?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.5 .?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对 数形结合”的理解.c我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆B-D定理）二、经典例题精讲题型一：勾股定理和逆定理并用 一一Al例题3 如图3,正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB AB那么 DEF是直角三角形吗为什么4

10、解析：这道题把很多条件都隐藏了， 乍一看有点摸不着头脑。 仔细读题会意_ ，1可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由FB _ AB可以设AB=4a,那么B4E=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在 RtAAFD、RtA BEF和 RtCDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下：解：设正方形 ABCD的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在 RtCDE中，DE2=CD2+C2=（4a）2+（2 a）2=20 a2同理 EF2=5a2, DF2=25a2在 DEF 中，EF

11、2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2. DEF是直角三角形，且/ DEF=90° .注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型二：利用勾股定理逆定理判断垂直例题5如图5,王师傅想要检测桌子的表面 AD边是否垂直与 AB边和CD边，他测得AD=80cm, AB=60cm, BD=100cm, AD边与AB边垂直吗怎小¥去验证 AD边与CD边是否垂直我们通常截取部分长度来解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。验证。如图4,矩形 ABCD表示桌面形状，在 AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm（想想为什么要设为这两个长度

12、），连结MN,测量MN的长度。产 I1 口如果MN=15，则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；如果 MN=awl5,贝U 92+122=81 + 144=225, a2w 225，即 92+122w a2,白 图与 。所以/ A不是直角。利用勾股定理解决实际问题一一例题6有一个传感器控制的灯， 安装在门上方，离地高米的墙上，任何东西只要移至5 米以内，灯就自动打开，一个身高米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯 5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图 6所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度， BC/

13、MN,BC，AN当头（B点）距离 A有5米时，求BC的长度。已知 AN=米，所以AC=3米， 由勾股定理，可计算 BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。题型三：旋转问题：例1、如图， ABC是直角三角形，BC是斜边，将 ABP绕点A逆时针旋转后，能与 ACP'重合,若AP=3,求PP'的长。变式1:如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=2j3,PC=4求4ABC的边长.分析：利用旋转变换，将 BPA尧点B逆时针选择60。，将三条线段集中到同一个三角形根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形变式2、如图， ABE等腰直角三角形,BAC=90&#

14、176; , E、F是 BC±的点，且/ EAF=45 ,试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由题型四：关于翻折问题例1、 如图，矩形纸片 ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点B恰在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是4ABC的中线，/ ADC=45°的位置，BC=4求BC'的长.题型五：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方

15、向18千米/小时,那行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是么学校受到影响的时间为多少题型六：关于最短性问题例5、如右图1 19,壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功,1位小数，可以用计获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫（兀取，结果保留 算器计算）变式：如图为一棱长为形，其边长都是1cm,假设一只蚂蚁行至右侧面的 B点，最少要花几秒第

16、一课时勾股定理练习一.填空题：1 .在 RtABC 中，/ C=90°（1）若 a=5, b=12,贝 U c=;（2） b=8, c=17,贝U Szxabc=。2 .若一个三角形的三边之比为5 ： 12 ： 13,则这个三角形是 （按角分类）。3 .直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为 。4 .传说，古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角，现有一根长24厘米的绳子，请你利用它拉出一 个周长为 24厘米的直角三角形，那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为 厘 米,厘米,厘米,其中的道理是 .5 .命题“对顶角相等”的逆命题为 ，它是命题.（填“真”或“假”）6 .观察下列各式：32

17、+42=52； 82+62=102； 152+82=172； 242 + 102=262；你有没有发现其中的规律请用你发现的规律写出接下来的式子： 。7 .利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图（最早由三国'积. 因而c2=+，化简后即为/Tc b /一 J /AaV1111111111第8题图时期的数学家赵爽给出的）.从图中可以看到：大正方形面积=小正方形面积十四个直角三tTb8 . 一只蚂蚁从长、宽都是 3,高是8的长方体纸箱的 A点沿纸箱爬到 B点，那么它所行的最短路线的长是二.选择题:9 .观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7,

18、 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25.其中能作为直角三角形的三边长的有（）组A. 1B. 2C. 3D. 410 .三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（A. 6B.4C. 64D. 811 .已知直角三角形的两条边长分别是5和12,则第三边为A.B. ,1191 3或 11912.下列命题如果 a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；如果直角三角形的两边是5、12,那么斜边必是13;如果一个三角形的三边是12、25、21,那么此三角形必是直角三角形；一个等腰直角三角形的三边是a、 b、c, (a>b=c),那么 a2 :b2 : c2=2 ： 1 ： 1。其中正确的是（A、B、C、D、13 .三角形的三边长为(a+b) 2=c，2ab,则这个三角形是()A.等边三角形； B.钝角三角形；C.直角三角形；D.锐角三角形.14 .如图一轮船以16海里/时的速度从港口 A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口 A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距()A、25海里B、30海里C、35海里 D、40海里15 .已知等腰三角形的腰长为10, 一腰上的高为 6,则以底边为边长的正方形的面积为( )A、40B、80 C 40