初三数学竞赛训练3

1、初三数学竞赛训练（三）一、选择题（每小题6分，共30分）1已知实数a、b、c满足2|a+3| +4b=0，c2+4b4c 12 =0，则a+b+c的值为（ ） A0 B3 C6 D92已知关于x的不等式6的解也是不等式1的解，则a的取值范围是（ ）Aa Ba Ca0 D以上都不正确3如图，在四边形ABCD中，AB=AC，ABD=60°，ADB=76°，BDC=28°，延长BD至点E，使得DE=DC，连结AE，则DBC的度数为（ ） A18° B16° C15° D14° 第3题 第4题4点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分

2、点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆。则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（ ） A B C D二、填空题（每小题6分，共30分）1如果只用正三角形作平面镶嵌，则在它的每一个顶点周围的正三 角形的个数为_。2.如右图所示，矩形ABCD被分成一些正方形，已知AB=32cm，则矩形的另一边AD=_cm。3已知实数a、b、c满足 ， 则代数式ab+bc的值为_。4在某次数学竞赛中每解出一道难题得3分，每解出一道普通题得2分，此外，对于每道未能解出的普通题要扣去1分。某人解出了10题，一共得了14分

3、。则该次数学竞赛中一共有_道普通题。5若一直角梯形的两对角线长分别为9和11，上、下两底长都是整数，则该梯形的高为_。三、解答题（每题15分，共60分）1在底面积为100cm2、高为20cm2的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯（烧杯本身的质量、体积忽略不计），如图（1）所示，向烧杯中注入流量一定的水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，（烧杯在水槽中的位置始终不变），水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图（2）所示。 （1）求烧杯的底面积；（2）若烧杯的高为9cm，求注水的速度及注满水槽所用时间2已知关于x的一元二次方程 (6k)(9k)x2(11715k)x+54=0的两个根

4、均为整数，求所有满足条件的实数k的值。3如图，已知直线l：y=kx+2，k0 ，与y轴交于点A，与x轴交于点B，以OA为直径的P交l于另一点D，把弧AD沿直线l翻转后与OA交于点E。（1）当k=2时，求OE的长（2）是否存在实数k，k0 ，使沿直线l把弧AD翻转后所得的弧与OA相切？若存在，请求出此时k的值，若不存在，请说明理由。4“神算子”的机器人具有图形处理能力，它参加了一次游戏活动，该活动在一RtABC的场地上进行，C=90°，B=30°，P是RtABC内一点，点P到AB、BC、CA的距离分别为20m，10m，20m。游戏规则是：机器人从点P出发，先到达边AB，再到边

5、C或CA中的一条，最后回到出发点P停止，游戏结束，所用时间最短者胜。若“神算子”的速度为10m/s，求其最好成绩。答 案一、选择题1B解：由题意知：4b=(c2)22|a+3| +(c2)2=0a=3，c=2 b=4a+b+c=32C解：由1 解得 x 对于不等式6 当a0时，x6a，则x6a的解不全是x的解，不合题意 当a0时，x6a，则6a 解得a，故a03解：先证ADEADC得AC=AE再证ABE是等边三角形DCA=E=60°设DBC=x，则ACB=ABC=60°+ x28°+（60°+ x）+x+60°=180°x=16

6、76;，即DBC=16°4B易知D、C、E三点共线。 AC=AB=1，BC=ABCOS30°= BE=BCCOS30°=，CE=DC=，AD=，且四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠。从而， S阴影=S梯形ABED+SABC = SADC+ SBCE = 二、填空题14或6 解：如图所示，图中点A、B周围的三角形的个数229cm 解：分别以x、y表示两个最小的正方形的边形，将各个正方形的边长都用x和y表示出来（如图）。解方程AB=CD=32cm， 得x=4cm，y=5cm。此后，各个正方形的边长便被唯一确定。3解：(a2+2005)(b6) 0b6|102

7、b|=2b 100b6b=6a+c=b=6ab+bc=364.解：设普通题共x 题，其中解出a题，难题共解出b题 则 x=165解：设梯形上底为m，下底为n。 则：92m2=112n2 (n+m)(nm)=40=2×20=4×10(因为n+m，与nm的奇偶性相同)解得（舍去） 或故梯形的高为三、解答题1设烧杯的底面积为Scm2、高为h1cm，注水速度为v cm3/s，注满水槽所用时间为t0s.（1）由图2知，当注水18s时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是h1cm（即烧杯高度）。于是，Sh1=18 v，100h1=90v则有100h1=90×s

8、h1，即S=20所以，烧杯的底面积为20cm2（2）若h1=9，则v=×20×9=10所以，注水速度为10cm3/s由vt0=100×20，解得t0=200因此，注满水槽所用时间为200s2原方程可化为(6k)x9(9k)x6=0因为此方程是关于x的一元二次方程，所以，k6，k9，于是，有x1=，x2=消去k，得x1x22x1+3x2=0，有(x1+3)(x22)=6因为x1、x2均为整数，所有，故x1=9，6，5，4，2，1，0，3又k=，将x1=9，6，5，4，2，1，3分别代入，得k=7，15，33如图所示，由DEO=EAD+ADE=AOD所以，OD=DE当

9、k=2时，易得A（0，2），B（1，0），OA=2，OB=1，则AB=因为BO与P切于点O，由切割线定理，得OB2=BD·ABBD=过点D作DCAO于点C，则OE=2OC，DCOB从而，有故OE=（2）假设存在实数k使得弧AD沿直线l翻转后所得弧与OA相切，则切点必为A，即E与A重合，由（1）知OD=AD。又ADO=90°，所以OAD=45°此时，OB=OA=2，B（2，0） k=1，故存在k=1，使得弧AD沿直l翻转后所得弧与OA相切。4解：过点P分别作关于AB、AC的对称点P1、P2，连结PP1、PP2分别交AB、AC于点D、E，联结P1P2分别交AB、AC于点M、N，则PP1AB，PD=P1D，PM= P1M故PDA=90°，PP1=2PD=40m， 同理，PEA=90°，PP2=40m，PN=P2N易知A=60°。因此DPE=360°PDAAPEA=120°即P1PP2=12