四年级下册数学奥数拓展练习第五讲%C2%A0加法原理与乘法原理人教版无答案

1、第五讲 加法原理与乘法原理知识精讲：“加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算 !我们以前学习过枚举计数的方法,但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了,今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法.先举一个例子:餐厅里有4 种炒菜和2 种炖菜 ,4 种炒菜分别是:红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐:2 种炖菜分别是:土豆炖牛肉和萝卜炖排骨。点菜时如果只点一个菜,有点炒菜和点炖菜这两类方式.也就是说,可以点 :红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一,有4+2=6 种点菜方法,其中 4 代表 4 种炒菜， 2 代表 2 种炖菜，这就是加法原

2、理。加法原理: 如果完成一件事有几类方式,在 每一类方式中又有不同的方法,那么 把 每类的 方法数相加就得到所有的方法数。如果要求炒菜和炖菜各点一个,这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点菜组合,点炒菜是第一步,点炖菜是第二步,这两步缺一不可.炒菜选红烧鱼块的点菜方法有2 种:（红烧鱼块,土豆炖牛肉）、 （红烧鱼块,萝卜炖排骨）;类似地 ,选滑溜里脊的也有2 种:（滑溜里脊,土豆炖牛肉）（滑溜里脊,萝卜炖排骨）;选清炒虾仁的也有 2 种:（清炒虾仁,土豆炖肉）、 （清炒虾仁,萝卜炖排骨）;选三鲜豆腐的也有2种:（三鲜豆腐，土豆炖牛肉）、（三鲜豆腐，萝卜炖排骨）合在一起就有4 X2种点菜方法

3、 ,其中 4 代表 4 种炒菜 ,2 代表 2 种炖菜.这就是乘法原理。乘法原理:如果完成一件事分为几个步骤,在 每一个步骤中又有不同的方法,那么 把 每步的 方法数相乘就得到所有的方法数。例题1、小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机.经过网上查询，出发的那一天中火车有 4班,汽车有3班,飞机有2班.任意选择其中一个班次，有多少种出行方练习1、书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书 ，有多 少种不同的取法？例题2、如图，用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分涂色，每个部分 只能涂一种颜色，一共有多少种不同的涂色方法练习2、如图

4、，用红、黄两种颜色给图中的鸭子的眼睛、嘴巴、身子三个部分涂色，每个部 分只能涂一种颜色，一共有多少种不同的涂色方法I分类是指完成一件事情有几类不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相互替代 任意选取一类都可以完成这件事，这种情况下一般要用到加法原理。分步是指完成一件事情有好几步，每一步都必须执行，它们之间不可以相互替代，少一步都不能完成这件事.这种情况下一般要用到乘法原理。例题3、如图，从甲地到乙地有 3条路，从乙地到丙地有 3条路，从甲地到丁地有2条路 从丁地到丙地有4条路.如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？练习3、如图,任意两地之间的路线都已在图中标示出

5、来，如果要求所走路线不能重复，那么从 甲地到丙地共有多少条不同的路线通过上面这几个例题，加法原理类与类之间会满足下列要求1 .只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；2 .类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求比如例题1中,飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其中一种交通工具,就能到达目的地了。乘法原理步与步之间满足下列要求：1 .每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论；2 .步骤之间有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步直到最后比如例题2中，四部分都要涂色，只是可以有先后的步骤关系.在这里，先涂哪部分都可以 但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题

6、稍微难一些，我们在日后会接触到。加法原理与乘法原理的混合有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系。这时应该分清主次关系，弄清楚到底是“分类中含有分步”，还是“分步中含有分类”如果是某一大类里面又可以再分为几小步，那么应该这一类里用乘法原理进行计算，最后再用加法原理把各类中的情况加在一起，比如例题3.当然我们以后也会碰到某一大步里面又可以再分为几小类的情况，这就要先用加法原理算出每一大步中有多少种情况 ，再用乘法原理把总数算出来。在本讲白最后，我们来介绍标数法，标数法是解决路径条数问题的重要方法如图1所示，我们要计算蚂蚁从 A点沿箭头的方向爬到 B点的不同路线有多少条。由于蚂蚁只能向上走或者向

7、右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有一种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论（特另J地，我们把A点处标上1,表示蚂蚁从A点出发到达A点，只有原地不动这一种方式）.我们用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数，已经 得到的结果如图2所示容易看出，蚂蚁可以从C点或者D点到达巳星而且只有这两类不同的方式，那么我们可以 在E点处标上数字1+1=2（把C点与D点的数字相加）,表示蚂蚁到达 E点有两条路线。同样道 理，蚂蚁可以从E点或者F点到达G点,那么蚂蚁到达 G点就有2+1=3条路线（把E点与F点的数字相加）最后可以得到蚂蚁到达B点有4条路线，如图3所示hcl54，共有多少种不同例题4、

8、如图，在图中 从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步走法?练习4、如图，在图中，从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？例题5、老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减数必须是两位数.请问:墨莫共有多少种不同的写法？例题6、书架上有三层书，第一层放了 15本小说，第二层放了 10本漫画，第三层放了 5本科普书，并且这些书都各不相同.请问：(1)如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？(2)如果从每一层中各任取1本，共有多少种不同的取法？(3)如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？加减乘除的由来加减乘除（+、-、X

9、、+ ）等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们,几乎每天的日常生活也离不开它们.别看它们这么简单,直到17 世纪中叶才全部形成。法国数学家许凯在1484 年写成的算术三篇中,使用了一些编写符号,如用D 表示加法 , 用 M 表示减法.这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的商业速算法中 ,他用“ +”表示超过,用“”表示不足。到1514 年 ,荷兰的赫克首用“+” 表示加法,用“-”表示减法1544年 , 德国数学家施蒂费尔在整数算术中正式用“+”和“-”表示加减,这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号,且广泛采用。以符号“X”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的。他于

10、 1631年出版的数学之钥中引入这种记法,据说是由加法符号“ +” 变动而来,因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的.后来，莱布尼兹认为“ x容易与“ X”相?!淆，建议用“.”表示乘号，这样，“/也得到了承认。,奥屈特用“:”表示除或比,除法符号“ + ”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了 “ 一 ”.瑞士的数学家拉哈的著作, 后来在英国得到了推广.除的中正式把“ 一 ”作为除号.符号“ 一 ”是英国的瓦斯最初使用的本意是分 号“ 一 ”中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了 “分”至此,四则运算符号齐备了。作业1、题库中有三种类型的题目,数量分别为30 道、 40 道和 45 道 ,每次考试要从这三种类型的题目中各取一道组成一张试卷.请问:由该题库共可组成多少种不同的试卷?2、小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛 ，每人只能参加一项比赛，不一定三项比赛都要有人参加 .请问：报名的情况有多少种？3、图书