七年级春季班第17讲：平面直角坐标系1-教师版

1、七年级春季班初一数学春季班（教师版）教师日期学生课程编号17课型复习课课题平面直角坐标系教学目标1 .理解平面直角坐标系的有关概念，并会建立直角坐标系，2 .理解平面内点的坐标意义，会根据坐标确定点和由点求坐标.教学重点1 .会根据坐标确7E点的位直；2 .根据每个象限内点的特点，确定未知数的取值范围.教学安排版块时长1点的坐标的概念与应用30min2平面内的四个象限50min3随堂检测20min4课后作业20min11 / 20平面直角坐标系是七年级第15章的内容，本节主要学习了平面直角坐标系 的有关概念，点与坐标的对应关系，坐标系作为一个平台，利用数形结合的思想 来研究数学问题.知识结构点

2、的坐标的概念与应用平面直角坐标系平面内的四个象限模块一：点的坐标的概念与应用知识点1：点的坐标的概念与应用1、在平面内取一点 O,过点。画两条互相垂直的数轴，且使它们以点O为公共原点，这样，就在平面内建立了一个直角坐标系.一般地，水平放置的数轴，它的正方向向右，这条数轴叫做横轴（记作 x轴），铅直放 置的数轴，它的正方向向上，这条数轴叫做纵轴（记作 y轴）.横轴、纵轴统称坐标轴，点 O叫做坐标原点. 2、在平面直角坐标系中，点 P所对应的有序实数对（a, b）称为点P的坐标，记作 P （a, b）,其中a叫做横坐标，b叫做纵坐标，x轴上的点的纵坐标为 0, y轴上的点的横坐 标为0,原点。的坐

3、标为（0, 0）,在直角坐标平面内，所有的点与所有的有序实数对是一 一对应的.例题解析【例1】(1)数轴上的所有点与实数的全体之间有 的关系；(2)直角坐标平面上的所有点与所有有序实数对之间具有 的关系.【难度】【答案】(1) 一一对应；(2) 一对应.【解析】根据数轴及直角坐标系的性质可知都是一一对应的关系.【总结】考查数轴及直角坐标系的概念.y【例2】 如图，在直角坐标平面内写出各点的坐标.(小方格的边长为 1)【难度】【答案】A 3,0;B3,0;C0,2;D0, 2;E 2,2 ; F 3, 3 ; G 2, 2 ; H 3,3 .【解析】准确找到原点，根据坐标的特征即可写出各点的坐标

4、.【总结】考查坐标的概念及书写.【例3】已知P (a, b),(1) 若点P在原点，则 a =, b =;(2) 若点P在x轴上，贝U a =, b =;(3) 若点P在y轴上，贝U a =, b =.【难度】【答案】(1) a 0,b 0; (2) a为一切实数，b 0； (3) a 0, b为一切实数.【解析】原点 0,0 , x轴上的点特征是纵坐标为 0,即a , 0 , y轴上的点特征是横坐标为0,即0,b .【总结】考查坐标系中特殊位置的点的坐标特征.【例4】 在直角坐标平面内，点 P的坐标是（a, b）,如果ab=0,那么点p在 上.【难度】【答案】坐标轴【解析】Q ab 0, a

5、 。或b 0,则点在y轴上或x轴上.【总结】考查坐标系中特殊位置的点的特征.【例5】 如图，点P的坐标是，点P到x轴的距离等于 ;到y轴的距y4P-亚O八!JQ -2点 Q 的坐标是 , 点 QU11 x轴的距离等于 , 到y轴的距离等于.【难度】【答案】P3,4;4;3；Q V5, 2;2;斯.【解析】第一象限内点的符号特征，第三象限内点的符号特征 ，到x轴的距离是纵坐标的绝对值，至ijy轴的距离是横坐标的绝对值.【总结】考查坐标的概念，注意对点到坐标轴的距离的准确理解.【例6】 如图，写出矩形 ABCD各顶点的坐标：A: , B: C: , D : .【难度】【答案】A 3,2;B4,2;

6、C4, 4;D 3 , 4 .【解析】根据点的坐标特征可得各点坐标.【总结】考查写点的坐标特征，注意每个象限的符号特征.【例7】 在直角坐标平面内，点 M的坐标为（-3, y）,点N的坐标为（x, 4）,如果M、N 两点表示同一点，那么 x=, y=【难度】【答案】x 3, y 4.【解析】表示同一点，则横坐标和纵坐标都相等.【总结】考查坐标系中相同的两个点的坐标特征.【例8】 在直角坐标平面内一点 A的横坐标是3,纵坐标是2,那么点A的坐标是 ;如果点B的横坐标是2,纵坐标是3,那么点B的坐标是.这样.点 A与点B是表示 的两点.（填写“相同”或“不同”）【难度】【答案】A3,2 ; B 2

7、,3 ;不同.【解析】根据坐标的表示方法即可写出 A、B两点坐标，横、纵坐标不同，则表示的点不同.【总结】考查坐标的概念与书写.【例9】（1）已知在平面直角坐标系中点 A （2, y）到x轴的距离为3,求y的值;（2）若在平面直角坐标系中有一点B （a, b）,求点B到y的距离.【难度】【答案】（1） y 3； （2）点B到y轴的距离为|a .【解析】到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值.【总结】考查坐标系中点到坐标轴的距离的概念及运用.【例10】下列判断中：在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系；坐标平面内所有的点与所有实数之间是一一对应的；在

8、直角坐标平面内（x, y）与点（y, x）表示不同的两点；原点 O的坐标是（0, 0）,它即在x轴上, 又在y轴上，其中错误的个数是（）.A.1个B.2个C. 3个D.4个【难度】【答案】A【解析】正确；错误，坐标平面内所有的点与所有有序实数对之间是一一对应的；正确；正确.故选 A【总结】考查直角坐标系的概念及坐标系中点的坐标的概念.【例11】在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 2), B操作：(1)画 ABC;(2) 画一个 DEF ,使 ABCA DEF .【难度】【答案】略【解析】(1)按照坐标描出各点，再联结各点组成三角形.(2)将VABC平移即可得 VDEF .【总结】考查根据已

9、知点的坐标进行画图.2, 0), C (3, 1).在图中进行如下*y【例12】在平面直角坐标系中，如果点 P到x轴的距离等于4,到y轴的距离等于5,这样的点P共有().A.1个B.2个C. 3个D.4个【难度】【答案】D【解析】根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，故可得 P点的坐标为： 5,4; 5, 4;5,4;(5, 4),故选D【总结】考查点到坐标轴的距离与坐标间的关系，综合性较强，注意多种情况的考虑.【例13如图，在直角坐标平面内有两点A、B,连接AB,边，请画出正方形 ABCD,并写出它的各顶点的坐标.如果AB是正方形 ABCD的一条f y【难度】【答案

10、】A 2,4;B 2, 2;C4,2;D4,4或 A 2,4;B 2,2;C 8,2;D 8,4.【解析】根据正方形四边相等的特征，描出 C、D两点,顺次联结即可画出正方形 ABCD【总结】考查对正方形的理解及点的坐标的综合运用,注意进行分类讨论，综合性较强.A【例14】在直角坐标平面内，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形，如图，给出直角坐标系，设格点 A (-2, 1),请画出一个格点三角形，使 A在它的内部且这个三角形的面积最小，并写出这个三角形的各个顶点的 y y坐标.【难度】【答案】格点三角形不唯一，面积最小的三角形顶点坐标为：33, 0 ； 2,0

11、;1,3,此时面积为3 .2【解析】以一个小正方形的对角线的长为底，两个小正方形的 对角线长为腰，这样的格点三角形面积最小.【总结】考查直角坐标系中作图.【例15】在直角坐标平面内，已知点 A (x, y)的坐标满足(x 2)2 (y 4)2 0,点B(x,y)的坐标满足(x2)2|y 2| 0,点C (x,y)的坐标满足x2y20.连接AB、BC、CA,试问： ABC是一个怎么的三角形 ？说明你的理由.【难度】【答案】钝角三角形.【解析】Q (x 2)2 (y 4)2 0, x 2, y 4, A 2, 4 ；Q(x 2)2 |y 2| 0,x2,y2, B2,2；22Q x y 0, x

12、0 , y 0 , C 0 , 0在直角坐标系中画出 VABC可知，VABC为钝角三角形.【总结】本题综合性较强，一方面考查非负数的和为零的基本模型的运用，另一方面考查点的坐标在坐标系中的表示.模块二：平面直角坐标系知识精讲1 .坐标平面由两条坐标轴和四个象限构成，如图1,可以看成坐标平面的 六个区域：x轴，y轴，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限. 注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限2 .点P (a, b)到x轴的距离为|b| ,到y轴的距离为| a| .3 .特殊位置的点的坐标的特征:(1)坐标轴上的点：点P在x轴上;点P在y轴上;点P的坐标为(a, 0)点P的坐标为(0, b)(2

13、)各象限内的点：点P(a, b)在第一象限点P (a, b)在第三象限a 0, b 0;点P (a, b)在第二象限a 0, b 0 ; 点P (a, b)在第四象限a 0, b 0;a 0, b 0.例题解析【例16(1) P x, y在第一象限内，则 x、y满足, P x, y在第二象限内，则x、y满足;(2) P x, y在第三象PM内，则 x、y满足, P x, y在第四象限内贝U x、y满足.【难度】【答案】(1)x 0, y 0;x 0, y 0; (2)x 0, y 0;x 0, y 0.【解析】根据点在各象限内的坐标特征：可得答案.【总结】考查各个象限内点的坐标特征.【例17(

14、1) P x , y在x轴上，则x、y满足, P x , y在y轴上,贝U x、y满足;(3) P x, y在y轴左边，则x、y满足, P x, y在y轴右边，则x、y满足;(4) P x, y在x轴上方，则x、y满足, P x , y在x轴下方，贝U x、y满足.【难度】【答案】(1) x为一切实数，y 0; x 0, y为一切实数；(2) x 0, y为一切实数；x 0, y为一切实数；(3) x为一切实数，y 0； x为一切实数，y 0 .【解析】根据点在直角坐标系内的坐标特征：可得答案.【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征.七年级春季班【例18】(1)点“(乂，y)的坐标满足-0,那么

15、M(x, y)的位置可能是 y(2)点M(x, y)的坐标满足 y 0,那么M(x, y)的位置可能是 . x【难度】【答案】(1)除原点外的y轴上；(2)除原点外的x轴上.【解析】(1) Qx 0, x 0, y 0, M在除原点外的y轴上； y(2) Q- 0, y 0, x 0,M在除原点外的x轴上.x【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征.【例19(1)点M(x, y)的坐标满足xy 0,则M在 上;(2)点N(x, y)的坐标满足xy 0则点N(x, y)在 象限.【难度】【答案】(1)坐标轴；(2)第二或第四象限内.【解析】(1)Qxy 0 , x 0或y 0 ,M在x轴或y轴上；(

16、2) Q xy 0 ,x、y异号， N在第二或第四象限内.【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征.【例20】在直角坐标平面内，如果点 。的坐标是(0, 0),那么点。叫做 点，x轴上的点的坐标特征是 坐标为零；y轴上的点坐标特征是 坐标为零.【难度】【答案】(1)原点；纵；横【解析】根据坐标特征可得答案.【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征.【例21】若点P (x, y)在第二象限，且|x 1| 2, |y 3| 5,则点P的坐标为(A. (1, 2) B. (3, 8)C. (2, 1) D. (8, 3)【难度】【答案】A.15/20【解析】Q|x 1| 2, x 3或 x 1; Q y 3

17、 5, y 2或y 8,QP在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，x 1, y 2, P 1,2,故选 a .【总结】考查第二象限内点的坐标特征.【例22(1)已知点A (m, n)在第四象限，那么点 B ( n, m)在第 象限；(2)若P(a, b)是第二象限内的点，则 Q(a, ab)是第 象限内的点.【难度】【答案】(1)二；(2) 一.【解析】(1) Q A m, n在第四象限，m 0, n 0, B n , m在第二象限；(2) QP a, b 在第二象限，a 0, b 0, b 0, a 0, ab 0 ,Q a , ab在第一象限内.【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征.【例23

18、】解下列各题：(1)如果点A (m, 3-m)是第二象限的点，那么m应满足什么条件？(2)已知点P (a, b)在y轴的负半轴上，写出 a, b的取值范围； 已知点P (x, y)的坐标满足(x 2)2 | y 4| 0,那么点P在第几象限？【难度】【答案】(1) m 0; (2) a 0, b 0； (3) P在第三象限.【解析】(1) QA m, 3 m在第二象限，m 0且3 m 0, m 0且m 3, m 0;(2)QPa,b在y轴的负半轴上，a 0, b 0;2 Q(x 2) |y 4| 0, x 2, y 4,P在第三象限.【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征.【例24】直角坐标系中

19、，等边三角形的一个顶点的坐标是A (0, J3),另两个顶点 B、C都在x轴上，求B、C的坐标.【难度】【答案】B 1,0,C1,0 或 C 1,0,B1,0.【解析】因为等边三角形，又 A 0,73 ,所以BO CO 1 ,所以 B 1 ,0 ,C 1 ,0 或 C 1,0 , B 1 ,0 .【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征及三角形的性质，本题综合性较强，建议老师选择性的讲解.【例25】请在直角坐标平面内画出四条直线x=3, x=-4, y=4, y=-2.(1)这四条直线所围成的四边形是一个怎样的四边形？(2)现有点 A ( & , 3), B (-V5 , D, C (2,

20、-冷)，D (-3, 5) , E (病，-四),F (比0, 2),请问：哪些点在这个四边形的内部 ？各在什么象限？【难度】【答案】(1)围成的是长方形；(2)如图可得：在直角坐标系中描出各点，可知:A B C、E、F在四边形内部；第一象限内的点：D、F ;第二象限内的点：A;第三象限内的点：B;第四象限内的点： C、E .【解析】(1)根据x 3,x4,y 4,y2画出图形可知，围成的四边形是长方形.(2)如图可得：在直角坐标系中描出各点, 可知：A、B、C、E、F在四边形内部 第一象限内的点：D、F； 第二象限内的点：A;第三象限内的点：B;第四象限内的点：C、E .【总结】考查直角坐标

21、系内点的坐标.11jjJ FG师由 21 r«ii n iL 事戊fell.一Fi -a -i -i 口 i at-A J) 1U1 1 . A X4T-4C(2 s" 1j七年级春季班【例26（1）在第二，四象限内，两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标和纵坐标之间的关 系是;（2）在第一，三象限内，两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标和纵坐标之间的关系 是.【难度】【答案】（1）互为相反数；（2）相等.【解析】解：（1）二、四象限角平分线为 y x,横、纵坐标互为相反数；（2） 一、三象限角平分线为 y x,横、纵坐标相等；【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意进行归纳总结.

22、【例27】若点P（ 3a- 9, 1- a）是第三象限的整数点（横、纵坐标都是整数），那么a =【难度】【答案】a 2.【解析】解：Q P 3a 9,1 a是第三象限内的点， 3a 9 0, 1 a 0;,a 3, a 1; 1 a 3, Q横、纵坐标都是整数，a 2 .【总结】考查第三象限的点的坐标的符号特征，注意对整数的理解.随堂检测【习题1（1）直角坐标平面内的横轴与纵轴是互相 的，而且交点就是 点，它的坐标是 ;（2）第 象限内的点的横纵坐标都是负数；第 象限内的点的横纵坐标异号；横纵坐标相等的点在;横纵坐标互为相反数的点在【难度】【答案】（1）垂直，原点， 0, 0 ; （2）三，二

23、或四，一、三象限的角平分线上，二、四象限的角平分线上.【解析】（1）根据直角坐标系的概念可知；（2）根据直角坐标系内点的坐标的特征可知.【总结】考查直角坐标系的概念以及点的概念及坐标特征.# / 20【习题2】在x轴上的点的纵坐标是()A.正数B.负数C.零D.实数【难度】【答案】C【解析】x轴上点的特征 m,0 ,故选C .【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征.【习题3】如果m 0且m n 0 ,那么P ( m, n)在().nA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【难度】【答案】A【解析】Qm 0, m. n同号，又Qm n 0, m 0, n 0, P m, n在第一象限. n

24、【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征.【习题4】如果点A (m, n)在第二象限，则点 B (-m+1 , 3n+5)在第 象限【难度】【答案】一【解析】解：Q A m, n在第二象限，m 0, n 0 , m 1 0, 3n 5 0 ,B m 1, 3n 5在第一象限内.【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征.【习题5】横坐标为3的点一定在().A.与x轴平行，且与x轴的距离为3的直线上B.与y轴平行，且与y轴的距离为3的直线上C.与x轴正半轴相交，与 y轴平行，且与y轴的距离为3的直线上D.与y轴正半轴相交，且与 x轴的距离为3的直线上【难度】【答案】C【解析】点的横坐标为 3,则这个点为

25、3, m ,根据坐标特征，故选 C .【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意进行总结.七年级春季班【习题6】已知：两点A(为，山)，B(X2 -2),当坐标满足什么条件时，才能使点A、B都在平行于y轴的某一直线上，该条件是().A.XiX2B.yiy2C.|xj%|D.|w | Ml【难度】【答案】A【解析】横坐标相等，两点的连线垂直x轴，平行于y轴，故选A.【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征.【习题7】已知：点P (x, y),且x, y是方程(x &)2 (y J5)4 0的解，那么点P在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【难度】【答案】B【解析】解：Q(

26、x近：(y佝4 0, x V2, y 75,P 旗 ,娓在第二象限,故选B .【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意非负数的和为零的模型的运用.【习题8】如图，(1) A、B、C、D四点的横坐标不变， 将它们的纵坐标都除以-1,得到E、(2)将A、B、C、D四点的横坐标都乘以-1,纵坐标不变,得到 M、N、P、Q,请画y *F、G、H,再将它们对应的点联结起来，写出这八个点的坐标;出四边形MNPQ ,并写出各点的坐标.【难度】(1) A 3,3、B 3, 1、C 2 , 1、D 1 ,3,3,1,2CD(2) M3,3、 N 3,1、P 2 , 1、Q 1 , 2 ,画图略.-11*1 O

27、(1)根据图形中点所处的位置得到A、B、C、D四点的坐标,23 / 20然后再根据规定的计算得到相应的坐标.【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征.【习题9】在直角坐标平面内，已知点 A (-2, 1),另有一点B,且直线AB平行于x轴，如 果A、B两点距离是4,那么B的坐标是 .【难度】【答案】B 2,1或B 6,1 .【解析】QAB/X轴，纵坐标相等，QA、B距离为4,当B在A左侧时，横坐标为6,B 6,1 ;当B在A右侧时，横坐标为2, B 2,1 .【总结】考察坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类.【习题10】在直角坐标平面内有直线 l/x轴，直线l上有两点A、B,已知点A

28、的坐标 是(死，、/5),且与A、B两点的距离等于 3,求点B的坐标.【难度】【答案】B 72 3,<5或B亚3,75 .【解析】QAB/X轴，纵坐标相等，QA、B距离为3,当B在A左侧时，横坐标为戊3, B V2 3,75 ,当B在A右侧时，横坐标为72 3, B v 2 3,75 .【总结】考察坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类.【习题11已知：点A (a, -3), B (-4, b),若A、B两点的连线平行于 x轴，a, b应满 足什么条件？【难度】【答案】b 3且a 4 .【解析】解：QAB/X轴， 纵坐标相等，b 3且a 4.【总结】考查直角坐标系内点的坐标特

29、征，注意A、B是不同的两点.(8)课后作业【作业1】已知点A的坐标是(m, n),如果mw0且n=0,那么点A在(A. x轴上C. x轴上，但不能包括原点【难度】B. y轴上D. y轴上，但不能包括原点【答案】C【解析】解：Qn 0, A在x轴上，Q m 0,A不在原点上，故选 C.【总结】考查坐标系内点的特征.【作业2】已知B (a, b)在第三象限，那么点(-a+2, b-1)在(第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限Q B a , b在第三象限，a 0, ba 2 0, b 1A a 2, b 1在第四象限，故选 D【总结】考查各象限内的点的符号特征.【作业3】(1)如果点P (m

30、, n)在第三象限两坐标轴夹角的平分线上，那么 m、n应该 满足的条件是;(2)在平面直角坐标系 xoy中有点M (-4, 4),连接MO,那么/ MOx=.【难度】【答案】(1)相等，(2) 45 .【解析】(1) 一、三象限的角平分线上的点特征为：横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点的特征为：横、纵坐标互为相反数.(2) M (-4, 4), 点M在二四象限的角平分线上，MOx =45 .【总结】考查直角坐标系内各象限内的点的坐标特征.【作业4】在平面直角坐标系中有点A (0, 3), B (0,-2), C (6,-2),那么 ABC是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形

31、D.等腰直角三角形【难度】【答案】C【解析】A (0, 3) , B (0, -2) , , A B在 y 轴上，且 AB 5,. B (0, -2), C (6, -2), BC y轴，且 BC 6 , VABC是直角三角形.故选C【总结】考查点的坐标的特征与几何图形的综合应用.【作业5】在直角坐标平面内，已知点 P (-2, 1),另有一点Q,且直线PQ平行于y轴.如 果P、Q两点的距离是6,那么点Q的坐标是.【难度】【答案】Q 2, 7或Q 2,5 .【解析】QPQ/y轴，横坐标相等，QP、Q距离为6,当Q在P上方时，纵坐标为 7,Q 2,7；当Q在P下方时，纵坐标为 5, Q 2,5

32、.【总结】考查坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要分类讨论.【作业6】在平面直角坐标系中，已知点 P (0, 2),在y轴上有点Q,它到点P的距离等 于3,求点Q的坐标.【难度】【答案】Q 0 , 5或Q 0 , 1 .【解析】当点Q在点P上方时，纵坐标为5 , Q 0, 5 ;当点Q在点P下方时，纵坐标为 1, Q 0, 1【总结】考查坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类.【作业7】在如图所示的平面直角坐标系中画出与ABC全等的所有三角形，已知每个三角形的顶点坐标均为整数，请写出每个三角形的顶点坐标.Av【难度】【答案】详见解析.【解析】由图可知： A 1,3、B 3,2、C4,4.当把每个点向左平移一个单位时，得：Ai 2 , 3、Bi 4, 2、Ci 3, 4 ；当把每个点向上平移一个单位时，得：A 1,4、B23,1 > C2