关于n元生成群的凯莱图

1、关于n元生成群的凯莱图（1）第25卷第3期2002年9月辽宁师范大学学报(自然科学版)JournalofLiaoningNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vo1.25No.3Sep.2002文章编号:1000.1735(2002)03.0329.03关于,7元生成群的凯莱图(1)王艳芳(大连大学信息工程学院,辽宁大连116622)摘要:关于n(n=2,3,4)元生成群的凯莱图的一般规律已被讨论,但是,4元生成群凯莱图的具体实例在文献中尚未见到.该文解决了这问题,并给出了24阶群的凯莱图,进而对4元生成群的凯莱图进行了探讨.关键词:凯莱图;有向图;生成

2、群中图分类号:O152.1文献标识码:A文1中对n(n:2,3,4)元生成群的凯莱图的一般规律进行了探讨,得到了关于n(n=2,3)元生成群的凯莱图的一些结果.然而,文1中未给出4元生成群的凯莱图的具体实例.本文主要是给出了24阶群的凯莱图,进而对4元生成群的凯莱图进行了探讨.1预备知识定义1.1已给n阶群G的定义关系集合为B=R=,(其中每一个是用一组生成元符号给出的非空的字),称一个具有n个顶点的有向图G(,E)L2J是群G的凯莱图,如果G(,E)对于B=R=,中的每一个定义关系=,都具有齐次性.所谓”齐次性”是指”若是表示,的字,则无论取什么顶点作起点,所规定的道路是闭道路”.实际上,群

3、的每一个定义关系均可表为=,而在凯莱图中则表示一条闭道路.由L2J知,群D=<r,flrn=,=.尸,(矿)=,>凯莱图是由两个方向相反的n边形(每边用一表示)被n条无箭头的边(用.厂表示)相连接而成,其连接法为(rf)=,.群C<r,flrn=,:,矿=>的凯莱图是由两个方向相同的n边形(每边用一表示)被n条无箭头的边(用厂表示)相连接而成,其连接法为矿=.定理1.1群A1:<口,bl口:,=b2,b一1ab=口m¨>的凯莱图是由两个同向的2m边形(每边用表示)被2m条无箭头的边(用b表示)相连接而

4、成的有向图G(,E),其连接法为06=6口一.推论1.1LlJ将群A,的凯莱图中里面2m边形的所有边的方向都改变,则可得群A2=<0,bI口=,=b,bab=a一>的凯莱图.定理1.2l1J设群B1的生成元为口(i=l,2,n),群Bl的子群的生成元为口(i=l,2,n1),其定义关系集合为B=R一l=,且有0=,n=anai(J=1,2,n一1),则Bl的凯莱图为两个成轴对称的D群的凯莱图,每组对称点是用表示o2=,的无箭头线段连接而成的有向图G(,E).推论1.2设群B2的生成元为口(i=1,2,n),B2的子群D的生成元为.f(.=1,2,n一1),其定义关系

5、集合为B=R一l=,且有02=,0=an口(.=1,2,n1),则在曰l群的凯莱图(定理2)中改变一个D群的凯莱图所有边的方向,便可得到B2群的凯莱图.224阶群的凯莱图24阶群G共有l5个:收稿日期:20O1.1015作者简介:王艳芳(1960),女,辽宁铁岭人,大连大学副教授330辽宁师范大学学报(自然科学版)第25卷(1)循环群C24=G1;>(9)G9=<0,b,c,g10=b=c.=,=0,b=0,c:b,c,g=,ag=gO,bg=g0,cg=gc一:(11)GII=<口,b,c,gI口2=b2=c=,ab=ba,=,=cb,g2=口,ag

6、=ga,bg=gb,cg=g一>:(12)C12=<0,b,c,g102=b=c.=g=,06=ba,0.12=,be=cO,ag=ga,6g=gO,cg=gc>(13)G13=<0,为二面体群G12;G为A1类群;G5为A2类群;这些群的凯莱图在定理1.1,1.2中均已给出.G6的凯莱图由两个方向相反的十二边形(每边用表示)被六个四边形(每边用表示)连接而成(如图1).G的凯莱图由两个方向相同的十二边形(每边用表示)被二十四条有向线段连接而成(如图2).G8的凯莱图由两个方向相反的十二边形被二十四条有向线段连接而成.我们仍用图2中的各顶

7、点标号,但两个十二边形方向相反,G群的凯莱图的具体连接法是:分别以0,0,0,口,0.,0¨为始点,以4,6,8,10,0,2为终点并用连接;分别以0.,0,0,0.,0.为始点,以9,1,3,5,7为终点并用连接;分别以l,3,5,7,9,11为始点,以0,0.,0“,0,0,0为终点并用连接;分别以0,2,4,6,8,加l0为始点,以0.,0,0,0,0.,0m为终点并用连接.即可得G群的凯莱图.一lJ=g62=图,=g6CIJC6=06=60,=C=6=0C60<IlmC0第3期王艳芳:关于rl,元生成群的凯莱图33l3以下讨论4元生成群G9,Glo,GGl2,G

8、l4,Gl5在Gl0群中,令H=<b,c,glb:g=c:,bg=gb,bc=cb,cg=gc一.>,由于N=<c,glC=g=,cg=gcI1>为二面体群,且6g=gb,bc=cb,所以日群为曰l类群,其凯莱图已由定理1.2给出.又因在Gl0群中,有ag=ga,口6=ba,OZ”=CO,所以Gl0群也为曰l类群,其凯莱图已经给出.Gl2群可用上述制作G.0群的凯莱图的方法作出其凯莱图.在G.群中,令r=C,.厂=o3,则群Gl5=<r,f,glr=g=,(rf)=,rg=gr,后=>因群A4<r

9、,f,lr=,(rf)=,>的凯莱图在-2J中已经给出,而rg=gr,店=,故Gl5群也为曰.类群,其凯莱图已由定理1.2可作出.在Gl4群中,也令r=c,=ab,则有rg:gr,后=口6g=aga=gba=gb口=g(ab)=,(rf)=cabcabcab=O.CCCO,=,所以群Gl4为Gl4=<r,f,glr=g=,rg=gr,后=,(rf)=,>易知G群为曰2类群,其凯莱图可通过在G.5群的凯莱图中改变一个A群的凯莱图各边的方向而得到.G11群的凯莱图如图3,它可视为由两个群A9=<口,b,Cl口=b=C=,口6=ba,0c=CO

10、,bc:cb>的凯莱图被24条表示g的有向线段相连接而成的.G9群是由两个A9群的凯莱图其凯莱图被12条表示g=,的无箭头线段相连接而成的.可用制作G.群的方法作出.G.3群的凯莱图如图4,它是三个群98:<口,bl口=,b=0,2,bab=口I1>的凯莱图被8个三边形(每边用表示)连接而成,其连法为:将3个标号为1的点用逆时针连成三边形;将3个标号为2的点用逆时针连成三边形;将3个标号为8的点用逆时针连成三边形,即可得Gl3群的凯莱图.图3参考文献:图41邢风轩.探讨(=2.3,4)阶生成群的凯莱图的一般规律J.辽宁工学院学报,l998(1):66-

11、68.2美I?格罗斯曼,w?迈格努斯.群和它的图象表示M.北京:科学普及出版社,1982.46?56.3张远达.有限群构造(下册)M.北京:科学出版社,1982.705?713.OnCaleyGraphsofGroupsGeneratedbynElements(1)WANGn-Jang(InformationEngineeringCollege,DalimUniversity,Dalian116622,China)Abstract:SomeresultsOnCaleygraphsofgroupsgeneratedby2or3or4elementsWereobtained.However,arIeXampleOnCaleygraphsofgroupsgeneratedby4elementshasnotbeendiscovered.Inthispaper,Wesol