第5章换元法与分部积分法,反常积分习题集及答案

1、第五章习题二换元法与分部积分法，反常积分一.选择题11 .设 f(x) C；2, f(0) 0, f (2) 4, f (2) 2,则 0xf (2x)dx ( A )(A) 0;(B) 1;(C) 2;(D) 4.2 .设 f(x)连续，则bf(x y)dy ( B ) dx ab(A) f (x y)dy ; (B) f (x b) f (x a); (C) f (x a); (D) f (x b). a3 .下列反常积分中收敛的是( D )(A)i Txdx;(D)2dx .1 x2C )(B )1 dx ；e xln x1(D) e rdx .x(ln x)21 dx(A)产；(B)1

2、 x1 dxi；(C) 02/ e dx； (D)21.2 dx . x ln x4 .下列反常积分中收敛的是(A)g dx； e x1(C )r dx ;e x(lnx)25.对于反常积分下列结论正确的是( D )1 xln p x(A)当p 1时收敛；(B) p取任意实数都收敛;(C)当p 1时收敛；(D) p取任意实数都发散.6 .下列反常积分中发散的是( A )7 .设f(x)连续，则下列选项中必有偶函数的是( D )xxxx(A) 0 f(t2)dt (B)0 f2(t)dt (C)0tf(t)f( t)dt (D) 0tf(t) f( t)dt8 .设F(x)是连续函数f(x)的一

3、个原函数，则必有( A )(A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数(B) F(x)是奇函数 f(x)是偶函数(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数 (D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数二.填空题u32/5 x sin x1 5- 2 4 6dx0°51 x x x 2.反常积分abSrdx(a b)当p时收敛,p时发散3-反常积分b -dx (a b)当p时收敛，p时发散4. f (x) sin3 xcos5 x $m2*8$*在一,一上的平均值为-2 23三.计算题1 .设 an求 lim nann解：limn n1xn1,1 xndx lim - n1,1 xn

4、dxnn 2 0n 2 0nlim 1 xn 2n012e2 .求 xe xdx0解：由分部积分公式，原式1 ln223. 求dsin x sin3 xdx.0解：原式 vsinxlcosxdx02、sin xd sin x0_ sin xd sin x 22(sinx)， 32-(sin x) 34.求4. x01解：原式5.设 f (x)343dx23x2sin x1 cosxcosx3cos x,解：所求积分f(t)dt3x2)而 ,cost cos32tdt所求积分6.求解：令原式=3,47.求41n 3 3f (x)dx 2c cost2cos3 tdtsin t1 cost0.co

5、st | sin t | dt22.0 cost sin tdt2.costd cost223'(cos21)0d(11 costcost)ln(1cost) 0ln2,dxx2 . 1 x2tant )2 .sec t2tan tsectdtcostsindt1sin t解：原式xl01xe0dx2( xexl0xdx)2(xl0/ 4xdx8.求cos2xcos2x 2cos2x,4 xdx0 1 cos2x彳 xdx0 2 cos7 d (tan x) 1xtanx040 22014 tan xdxln secx(40820ln2849.已知2ln2dteru，则21n2dt22

6、udu1 (u 1)u2arctanu故 arctan , ex 1 一,所以 x ln2.410.2e | ln x|dx.解因为在e2,1上lnx2e |ln xl2dxe xln x , dxe2(2 x ln x)11.求(x解:(x3ex 12 arctan . ex 10,在1,e2上 lnxln x ,dxx4ex)e 3dx =x .xe dx 2(ln xd(2 x)0,所以应分两个区间进行积分，于e2In xd(2 . x)2 dx- xxxe(2-Jx In x)8(1e2e 1).x)exdx(x0 exdx)e2 2 dx 1 xx)e xdxx2e12.求dx2 (

7、x 7) Jx-2d t2 2解：令/ t，则原式=0百20善9万xdx13.求 10 (2 x2),1解：令"V t,则原式=20d(1 t2)1 (t2 1)t14.求1 dx0 x(1 x)解：x 0与x 1为瑕点.1 dxd(x 2)0 , x(1 x)N1)2(x'22)2x(arcsin 一12、1 01 一)0 02arcsin(2x1)10或方x)1 ； x dx0 . 1 x x2 u则x21 u222udu22(1 u2)22u1 u2du1 u22(arctanu)02( 0)215.limn1e x sin nxdx0解：利用分部积分法可得：111x

8、x xe sin nxdx e sin nx n e cosnxdx00018.肃m ln(A)In 2xdx;i)(？)(1 n)等于(B) 2 In xdx;(C) 2 ln( 1iix19.设 f (x)2 | sint |dt,x()证明f(x)是以为周期的周期函数().x)dx;04数二考研题2(D) ln2(1 x)dx.11_ x _ . _ _e sin nx004数二考研题1xne cosnx0()求f(x)的值域.所以，1exsinnxdx0dx20 ._. 11 x x2 1 进用 lim e 'sin nxdxn 021 .设F(x)是连续函数f(x)的一个原函

9、数，M11e sin n ne cosnn2 104数二考研题0。N ”表示M的充分2 nn- o1e xsin nxdx。005a一、二考研题条件是N"，则必有().(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数(B) F(x)是奇函数f(x)是偶函数(C)F(x)是周期函数16f.假蹈？函和线C的方程是y f(x), (3,2)是它的一个拐点，直线1i,12分别是C(D)F(x)是单调函数f (x)是单调函数.22.如图，曲线C的旅切,0),(3(2)阈(32)切线丁源交,加fe 11(2,4)。设f(x)具有连续的三阶导数，计算积分别是曲线C在点(0,0)与3(3,2)处的切线，其交

10、点为(2,4).设函数f (x) 、分3(x2x) f '''(x)dx。二阶连续导数，计算积分0 (x2 x) f (x)dx.0瞰一、二考研题0yO 1 2 3 4 x1 xdx23 .05数二考研题0 (2 x2) 1 x224 .设函数f (x)连续，且f (0) 0,求极限05数二考研题解：(一)"(3,2)是它的一个拐点”。这个条件说明两个问题：f(3) 2;f ''(3) 0。(二)"直线J2分别是C在(0,0),(3,2)处的切线，其交点为(2,4)”这个条件能说明三个问题：f(0) 0, f(3) 2;(0,0)处切

11、线的斜率为40 2,即f'(0) 2;2 0(3,2)处切线的斜率为4二2,即f'(3)2。2 3(三)除去以上两个题目中明确给出的条件外，通过看图，咱们还能发现f(0) 0,因为图像经过原点。这样一来,问题就转化为：已知 f(0) 0, f(3) 2, f'(0) 2, f'(3)2, f''(3) 0,3求°(x2 x)f'',(x)dx。仿照上个题的算法，可以得出最后的结果为20。四.证明题1 .设函数f(x)在()内连续,且 F(x)(x 2t)f(t)dt.试证:如果f (x)是偶函数，则F(x)也是偶函数.证

12、：由已知有f( x) f(x),而F(x)0x( x 2t)f(t)dt,令 u txF( x) 0( x 2u)f(u)dux0(xx2u)f(u)du o(x 2t)f (t)dtF(x),F(x)也是偶函数.证毕.22.设 I10 ecos2 xdx , 12x2cos2 xdx , 试证:Iiu x证：I22(u )22/e cos (u)due (x0)22 .cos xdx,在0,上有e2cos x、(x )2 cosx连续,x22cos xe (x2cos x_2c 且e * cos x不-，、2恒等于e (x)cos2 x ,3.证明:dx1 x4证毕.2-dxx证：令xdx1

13、 x44dt t21产t24dt1 t44.dx0 1 x42dx .证毕.0 1 x若f(x)在0, 1上连续,证明:/2/2f(sin x)dxf (cosx)dx;00/2f (sin x)dx 2 ° f (sin x)dx;°xf(sinx)dx _ 0 f (sinx)dx, 由止匕计算12013计算 0 (1 x2) 2 dxxsinn xdx.t 0,2 f (sin x)dx oof sint dt2 f (cost)dt 2 f (cosx)dx; oot dx dt,x 0 t ,xt 0,xf (sin x)dx oo( t)fsin( t)dt ( t)f(sint)dt, of (sin t)dt otfo(sin t)dt f (sin x)dxoxf (sin x)dx, oxf (sin x)dx0 f (sin x)dx.xsin x-dx0 1 cos xsin x-2 dx2 0 1 cos x1 一 、d (cos x) cos x证(1)设 x t dx dt,x0 t ,x 222arctan(cosx) 0解易见I00'2dx万，I12 sin xdx 1,当 n 2 时0In 2 sinnxdx02 . n 12 sin x d cos x0_ n 1 2sin xcosx 22 -