代数13学生版向量

1、代数13向量Q本讲概述向量问题一般在联赛一试中以填空题的形式出现，其诽度略高于髙考，题目小巧灵活.对参加联赛的 同学来说，这足一道必拿分的问题此外，利用向量方法来证明平几问题也是一种重要的方法，最典型的 是，2001年联赛二试第一道的平几问题（见例8）,当年很少有同学做出.但是，用向最方法来处理，问题 就显得简单多了.苗先我们给出向量方面的一些基础知识：1.向量的有关概念向量既冇人小又冇方向的量叫做向量.始点为A终点为B的向量记做忑.在不计始点终点的情况下，也 可以记做a （或小写的黑体字母a）.向量的程_向量忑的人小，即线段AB的长度叫做向量的模，记作I忑相等的向量若两个向量具有相同的模和方

2、向（始点与终点不必相同），则它们相等.特殊的向量模为1的向最叫做单位向量；模为0的向量叫做零向最，零向最记为6,是惟一的方向不确定的向量: 设P是坐标平面内任意一点，0是坐标系的原点，则向量更叫做P的位置向量.2向量的运算向最的加减法向量的加法可以按平行四边形法则进行，也町以按三角形法则进行.向量的减法一般按三角形法则进时,实数m与向量a的乘积ma是一个向量，它的模为|ma |=|m| | a | .当mAO时，ma与a同向；当m = 0 mV的方向不确定：当m<0时，ma a反向.特别地，如果a *0，则丄a就是和a同方向的单位|a|向量，（-l）a = -a叫做a的反向量.-a与a互

3、为反向量.向最的数最积两个向量a、b的数量积（或者称为点积或内积）定义为a 6=1 a I |b| cosa.bt其中（亍币）表示向量 7和向最5之间正方向的夹角.向最的数最枳和物理中力做的功与力、位移的关系是一致的.特别的， 2 a =aa=|a|.向量的向量积两个向量S、b的向量积（或者称为叉积或外积）定义为axb=|a| |b| sin（a,b） k*其中k是一个同 时垂直干；和b的单位向量，flk、二b之间遵循右手法则）.向量的向最积的模（|axb| ）的几何意义 为以；、b为邻边的平行四边形的面积.向屋的混介积三个向量a、b、7的混合积定义为（亠可二 向最的混介积的几何意义为其运算结

4、果是以a、6、2 为相邻的棱形成的平行六面体的体积.3. 平面向量的坐标表示设在基底倚耳）下，对在伍，哥）所确定的平面上，向量苗以分解为i = x + y.此时，向量a即坐标(x.y)确定的点P的位置向量，从而町以用坐标(骂y)表示向量二 特别的，如果何，耳)是正交基 底，即百与可足垂直的，那么它们口J以构成半面直角坐标系.空何向氛也有对应的坐标表不，我们将在学 习空间解析几何初步的时候进一步地认识该类向量.4. 平面向量的坐标表示下的数量积如果向最a的坐标表示为(.yj，向量b的坐标表示为(形,为)，则a 5 =(齐,)(32)= ¥2 +力刃5. 向最运算的基本性质加法满足交换律

5、、结合律，即*a+b = b + a t a+(b+ c) = (a+bj + c ；数乘满足分配律，兄(a+B)=兄a +巫，(A+/z)a = Aa+/ta ,(饥)a = A(/za)；数屋积满足交换律和分配律，a b = b a . (4a) b = Xa 6) * (b + c) a =b a +c a ;外枳满足以下规律，a X b = -b X a » a x a = 0. ax(b + c)=axb + axc» a x (b x c) = (a c)b - (a b)c . 思考：(a +b) (c + d)= a c + a d +b c+b d 是否成

6、立？(a 6) c = a (b c)是否成立？6. 几个雨要结论_ _不共线的四点A、B、C、D组成平行四边形的充要条件是忑=西或忑"矛.两个向量亍、b共线(或称线形相关)的充要条件是存在不全为零的两个实数m、n,便n + nb = O, 若两个向fia、b不共线，Kma + nb = 0 »则m = n = 0 两个向量a、b共线的充要条件是a b = ±|a| |b| (或axb = 0).两个向量a、b垂直的充要条件Ja b = 0 .7. 用向量法解决平面几何问题向鼠既反映数最关系，又体现位置关系，从而能数形相辅地用代数方法研究几何问题即把几何代数 化.

7、由于可以通过建立坐标系研究向量所以解析儿何方法从本质上是一种特殊的向呈方法.作为处理儿 何问题的一种工貝，向量方法兼冇几何的a观性.表述的简沽性和方法的一般性使用向的第一步，是要在图中选定基底.一旦确定了基础向最在整个问题的解决过程以此为依据而 进行计算在确定点的位置时，经常用向最的线形关系(这是向最的重要性质，贯穿在幣个向最法中)来解决. 在处理垂n关系.长度关系以及交角等问题时，一般用向量的数量枳來解决& 向最形式的三角形四心性质以及判定定理G 是 AABC 的巫心=GA+CT + GC = 0 ；H是 AABC 的垂心0巫 m = m HC = HC HA：O 是 AABC 的外

8、心« OA = OB = OC:/I是AABC的内心u広=sr BA BC补充性质定理：觅心：对任意点P,而入+西+西)；3垂心：对非直角三角形情形有tanA OA+tanB OT + tanC 0C = 6;外心:sin 2A OA+ sm 2B OB + sin 2C OC = 0 :内心：sm A OA+ sin B OB + sin C OC = 6 ng a OA+b OB+c OC = 0欧拉定理的引理：若o是AABC的外心，H是A ABC的垂心则OT = OA+OB + OC .欧拉定理：若0足AABC的外心，H足AABC的垂心 G JAABC的重心则OG=ioH r

9、J©例题精讲【例1】 点0为AABC的外心，连B0延长交外接圆于点D. 若高人氏CG交于点H试用0A、0B . 0C表示0H (I)用 UB、OC 表示 UC : 证明欧拉定理：三角形的外心、巫心、垂心三点共线（欧拉线），且重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍【例2】用向量的方法证明三角形的三条高交于一点-已知：AABC中，AD、BE、CF分别为边BC、CA、AB上的高. 求证；AD. BE. CF交于一点【例3】 设0是AABC的外接関関心，D是边AB的中点，E是AACD的中线的交 点，证明：如果AB=AC.则0E丄CD.【例4】求所有的正实数对a, b满足的关系，使得存在e角M

10、DE及其 斜边DE上的点A、B,满足EX匚走=55且AC=a. BCM-【例5】证明 S cos(a - 0)= cos a cos >0 + sin a sin(余弦的和角公式).【例6】证明如果三角形的巫心号其边界的巫心巫合，贝！它是等边三角 形-（美国纽约数学竞赛）【例7】设P是正三角形A ABC所在平面上一点，求证：PASPB + PC.P【例8】（92年联赛设A4A4是圆0的内接四边形，H,H"H3，H4依次是三角形A的垂心，求证：比比码,四点共码并求其圆心©【例9】(2001年联赛)如图，zdABC中，0为外心，三条高AD、BE、CF交于点H, H线ED和

11、AB交于点 M, FD 和 AC 交于点 N。求证：(1) 0B丄DF. 0C丄DE： (2) 0H丄MN。【例10】在矩形ABCD的外接圆弧AB上取一个不同于顶点A. B的点M.点P.R、SM分别在直线AD. AB、BC *j CD上的投影.证明，直线PQ和 是互柑垂宜的并.11它们与矩形的某条对角线交于同一点-©人显身手证明：0是平面上的一定点.A. B、C匕平面上不共线的三个点,动点P满足丽=61+彳徭 + 茜1兄0,则点P位于ZBAC的平分线上.在AABC内.设D及E是BC的三等分点G分别足AC、AB的中点.线段EG *jDF交丁 H.求证:=，并求该比值.HG HFn.若0

12、是AABC的外心.H足AABC的垂心，AABC需要满足什么条件，才能使HA=OA.ABC中，A. B、C所对的边长分别是a. b、c,求证;V 3 .2 _2（l）cosA=（余弦定理，2bc4（2）丄（正弦定理）. sinB sinCG是AABC所在平面内一点 OA+OB + GC = 0.求证：G是ABC的巫心6.设0点在AABC内部且有OA+2OB + 3OC=0则AABC的面积与AAOC的面枳的比为（）35B C 3D 237.（1）求证：RtAABC斜边BC匕的高AD满足AD = ED DC （射影定理）.（2）在四边形ABCD中，E、K分别是AB的中点，求证：以线段AK、CE、BK、DE中点 为顶点的四边形为