数学分析不定积分

1、第八5章不定积分教学要求：1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原 函数与不定积分的概念及其之间的区别：掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌 握不定积分的基本积分公式。2,换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生： 牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰、刍地选取替换函 数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函 数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积， 熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达 到快而准的求出不定积分。3 .有理函数的不定积

2、分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要 求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积 分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的 不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法， 从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应 用分部积分公式；教学时数：18学时. 1不定积分概念与基本公式（4学时）教学要求：积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念, 掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则

3、, 熟练掌握不定积分的基本积分公式。教学重点：深刻理解不定积分的概念。一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算.二、讲授新课：（一）不定积分的定义：1 .原函数：填空：（=；（）fsx ；wordax丫 = arcigx 12,xarctgx- -ln(l + x )了 = arctgx.2定义. 注意，是的一个原函数.原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法.原函数的个数：Th若 秋功是了在区间I上的一个原函数，则对Vc, F+ c都是 /在区间工上的原函数；若G（x）也是在区间I上的原函数，则必有 出力=%）+以（证）可见，若丁（外有原函数FQ）,则的全体原函数所成集合为 FS+c I

4、 ce R).原函数的存在性：连续函数必有原函数.（下章给出证明）.可见，初等函数在其定义域内有原函数；若了（外在区间I上有原函数, 则/在区间I上有介值性.例2. 已知 网即为了5） = 2犬的一个原函数，（2）=5 .求 巴）.2 .不定积分一原函数族：定义；不定积分的记法；几何意义.例 3= arcIgK + c ;J1十一 （二）不定积分的基本性质:以下设/和g（下有原函数.(f（先积分后求导，形式不变应记牢！）.J/(x)也=，()“（先求导后积分，多个常数需当心！）3 3) a K 0时,Jg(x)族=cjf(x)dx,（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）(4)jv g (或心=j

5、y (/办 1(力加由、可见，不定积分是线性运算，即对可a肥 R,有卜歹:施以=叮了。灿+ 然（当a = = 0时,上式右端应理解为任意常数.）例 41）公=；/十/e.求，（1）.（/（1）=2 ）.（三）不定积分基本公式： 基本积分表.1P180一 公式114.例5南（四）.利用初等化简计算不定积分:例6 尸=劭元十a/十十4_又十%. 求JP（x）dx.父4+1例7小=J（，T +占粒.7?dx例io （1）ja/-10*2公；9a-cos2 又，P1 - 2sin x ,例 11一 忌=dx=J sm xJ sin x例12f deJ cos2 5sin2 6三、小结52换元积分法与分

6、部积分法（1 0学时）教学要求：换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地 选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知 道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部 分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题， 从而逐步达到快而准的求出不定积分。教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；一、新课引入：由直接积分的局限性引入二、讲授新课:（一）.第一类换元法 凑微分法:ill sin 5 2x = 5sin 4 2xds

7、in 2x = 5sin4 2x(sin 2刈dx = 10sin.4 2xdx,JlOsin4 2xcos = 5jsin，2x(sin 2x)/dx = 5jsin 4 2xsm 2x=斗/成=笳c = sin $ 2声u引出凑微公式.Thi 若jy以=?4*连续可导，则该定理即为：若函数目能分解为sW=/ 0）,则=(xgqs例Z?春（“g例28x)解法一直接积分；解法二用弦换.=2 Idt = 2i + c = 2arcsin 4才/r/*/r- t-再 ;晶以j/2 + 2、 工2.一(汗 _ 1)2办=J j3_ /成=J sin N cos/例29 正切代换：正切代换简称为“切换

8、”.是针对型如一，+/似）的 根式施行的，目的是去掉根号.方法是：利用三角公式S0-应乙=1,即1 + /g2 = sec2 /, 令 x = atgt, &x n a sed d ,此时有 Ja2 + x2 = a sec/?Larct吟变量还原时，常用所谓辅助三角形法.例30解 令X郎 有 康=血$区2侬.利用例22的结果，并用辅助三角 形，有I = Jsec/ = In |secZ +Ngj + c1 = ln|-丁十 十 十 c=In (j，+ 2 +J + g c = cz -In V2?例31 J看，正割代换：正割代换简称为“割换”.是针对型如(0)的根式施行的，目的是去掉根号.方

9、法是：利用三角公式sec2-l=Zg2 令方= secf,有J/ -去=atgt, dx = xsecf fgfdf.变量还愿时，常用辅助三角形法.例支勺鼻.皿小 限 卬sec。或就n , 4 ,解 J , 22 = J J secZi = in |secZ +gi| + c =In + - -1-c/ = In x + Jx2 -ci2 + c, c = c -h a .a a例33解法一（用割换）yscc/, c ,1 Fq7/= = = | 7di = fcosZ成=sin / + e = -1 + uJ sec t tgi Jx解法二（凑微）2 .无理代换：若被积函数是 好,，班的有理

10、式时，设相为。品与的最小公 倍数,作代换 =我，有公=皿”】9.可化被积函数为t的有理函数.例对%-可=-可。）成叼告=-6 W+；为G十出1 -g/司十二,若被积函数中只有一种根式E或可试作代换际或axbde从中解出北来.例36例37rSHl m jJ%例38（给出两种解法）例39J/J/ 7d工=-1 Jx2-1 d(/)=； J(d + 1) 1 21力=，产 1111= p+Z2)=- + y +C=-(J2 -I)2 +-(X2-1)2 +C.本题还可用割换计算，但较繁.3 .双曲代换：利用双曲函数恒等式 或%= L令x=as址,可去掉 型如的根式.欧=加加必.化简时常用到双曲函数的

11、一些恒等式，如:9 1 9 1ent - - (ch2t +1), snt = (ch2t - 1), sh2i = 2shtcht. 22加、=In(右+ ,/ +)例40+产源=- X)dt = J/ + W + n( a + Ja，+ /)十 c .本题可用切换计算,但归结为积分J死c,小，该积分计算较繁.参阅后面习 题课例3.例4一彳解 上望=|*底或=仲土 七=1114r十 匕1十T=ln(2f + Ji42)4 c c = / - In 瓢.例42=In |元十一 |十心4.倒代换：当分母次数高于分子次数，且分子分母均为“因式”时，可试 用倒代换x =-, dx = -dt.t r

12、5.万能代换：万能代换常用于三角函数有理式的积分（参1P261）.令 K =应5，乙就有xsin x = 2 sin 2x%2cos - = =2 2K 1+2 sec 2例44解法一1 一cos X =1十? 2dtax =：Hr1 十 cos x（用万能代换）解法二（用初等化简）2t 1 -rk = 2arcigt.x 2zg T=J；：D 由=c =吗十1+wdx2 i cos 2解法三（用初等化简，并凑微）3r 1 - cosx , A 2 J sin aI = I7ax = esc xax- -r=J1 - cos x JJ sin x1工=-cigx + +c = cscx -dg

13、x +匕=1g十 u sin x21 十 sin cos 012. dt .成二f=ln + 1 +c =, N 1-?1十 八十11 +1十尸=In pg +11.2代换法是一种很灵活的方法.三、小结（三）分部积分法:导出分部积分公式,介绍使用分部积分公式的一般原则.1.塞X X型函数的积分： 分部积分追求的目标之一是：对被积函数两 因子之一争取求导，以使该因子有较大简化，特别是能降幕或变成代数函数.代 价是另一因子用其原函数代替（一般会变繁）,但总体上应使积分简化或能直 接积出.对“暴 X，型的积分，使用分部积分法可使“暴”降次，或对“ X” 求导以使其成为代数函数.例46（暴对搭配，取对

14、为U）例47（事三搭配，取幕为U）例48（暴指搭配,取潺为U）例49 产收（幕指搭配，取慕为u）例50例51arctgxdx （事反搭配，取反为u）例52Jarccosxx例53Jo sin xdx.例54求= Je cos力和2建立所求积分的方程求积分：分部积分追求的另一个目标是：对被积函数两因子之一求导，进行分部积分若干次后，使原积分重新出现，且积分前的符号不为1.于是得到关于原积分的一个方程.从该方程中解出原积分来.Z2 = sin bxdx.(以 h 0).12 =AgcosW + I2aa1. 上7e sm bx /p aabsma cos 3矛QX e 十c,解得/十/ 4-&十。

15、.例 55 卜(a 0).Z = m + I _ fjr .J用小二十工=xja2 + a2 7 +a2h(x+,（参阅例41）解得Z = J陵 +贷+ ln( + 及2+ x2)u 22例56cos2 xdx= Jcosxc/ sin i = cos xsin + J sin.2 1 dx ;=cos元sin元十元一 JcoJ看匕，7 i解得 fcos idx = + - sm 2x + c .例57J2 4sec3 = Jsecxsec2 xdx= Jsec x成中=secxfgx- j咨筑ckgxdxsecx-J(sec2 x -1) secxdx = secxigx-pec3 xdx+

16、 pec xdx =sec xtgx + in | secx + tgx -Jsec3 xdx f解得俨1N办=sec x协十11n |三、小结 3有理函数和可化为有理函数的积分（2学时）教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的 基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式 的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有 理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分 的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真

17、分 式的不定积分，学会求某些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和 三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初 等函数表示出来。一、新课引入：由积分应用的广泛性引入二、讲授新课：（一）有理函数的积分：1 .代数知识：1P190例 11P190,2 .部分分式的积分：1P192例 2 1P192例 3 2P260 E3.（二）三角函数有理式的积分：1P194万能代换.例 451P195（三）某些无理函数的积分：P195198（四）一些不能用初等函数有限表达的积分：J号西庆高等习题课（2学时）一.积分举例：例 3 JX2x-l)100.已知 口L=/J1 -炉+ c,求就例