子主题三 拼图与勾股定理（案例）

1、子主题三 拼图与勾股定理（案例）学习目的理解并掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法；学会用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力通过丰富有趣的拼图，经历观察、比较、拼图、计算、推理、交流等过程，发展空间观念和有条理地思考与表达的能力，获得一些研究问题和合作交流的方法与经验；经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题的方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值；通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想，以及数学知识之间的内在联系通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维；通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心，在探究活动中

2、，体会解决问题方法的多样性，培养学生合作交流的意识和探索精神；利用拼图方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程，对学生进行爱国主义教育重难点分析经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值经历用不同的拼图方法验证勾股定理拼图法验证勾股定理，着重于学生亲身体验，操作实验对于初中学生而言，容易使拼图活动停留在表面，缺乏深入的思考，因此教师要及时加以启发、引导，同时，不同的拼图方法既有共性，更有各自的精华，需要学生在操作中体会、反思、领悟教学过程不能急躁冒进，要留给学生一定的独立自主的操作、思考的时间，要创造一个良好的课堂学习氛围

3、，让学生能以一个创造者或发明者的身份去探究知识教师应给学生提供一个充分的交流和小组合作的时间和机会，鼓励他们积极思考解决问题的方法 活动建议方案拼图与勾股定理活动建议方案一、活动流程框图拼图与勾股定理情景引入勾股定理的证明勾股定理证明方法欣赏联系已学的乘法公式勾股定理赵爽弦图欧几里德证法毕达哥拉斯证明方法达芬奇证法刘徽的“青朱出入图”总统证法在印度、阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明二、活动过程2.1活动一：勾股定理证明方法一活动任务利用拼图的方法探究并欣赏赵爽关于勾股定理的证明方法再现并探究赵爽关于勾股定理证明的不同证明方法活动内容第一步：提出探究任务老师提出探究任务：利用四个全等的直角三角

4、形和一个正方形（其边长为直角三角形直角边之差），拼出两个正方形；第二步：小组合作探究同学以小组为单位研究上述问题，根据需要，老师可以提出如下建议：第一，计算拼好的两个正方形的面积，是否对拼图产生启示；第二，拼图的方式可能有多种，要考虑美观性；第三步：集体交流请23个小组的同学代表本组展示结果，老师引导同学关注拼得完美的两种图案，关注其中的数量关系，并总结建议从如下几个方面总结：第一，分析拼得完美的图案中的数量关系，就可以得到勾股定理；第二，介绍我国古代著名数学家赵爽的证明方法和2002年世界数学家大会会标参考资料赵爽赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的

5、数学家与天文学家。生平不详，约生活于公元3世纪初。据载，他研究过张衡的天文学著作灵宪和刘洪的乾象历，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了周髀，该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为周髀算经该书写了序言，并作了详细注释。该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。它详细解释了周髀算经中勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”。又给出了新的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”。活动组织方式教师提出活动任务，并适当引

6、导、启发；学生先独立思考，动手实践，完成探究任务，再和组内的同学进行交流；全班交流、总结，师生共同提炼探究结果活动评价方式学生根据过程性学习评价表和结果性评价测试对自己的探究过程和结果进行自评；教师根据学生课堂上的探究情况，参考学生的自评结果对学生进行评价所需学习资源2002年国际数学家大会在北京召开.jpg2002年国际数学家大会会标.jpg赵爽弦图（1）.jpg赵爽弦图（2）.jpg赵爽弦图（3）.jpg赵爽勾股定理证明（1）.swf赵爽勾股定理证明（2）.swf所需学习时间10分钟2.2活动二：勾股定理证明方法二活动任务利用五巧板拼图，分析数量关系，得到勾股定理活动内容第一步：提出探究任

7、务老师向同学介绍工具：两张如图所示的纸片： 其中，a，b，c分别为一个直角三角形的直角边和斜边提出探究任务：利用这两张纸片探究勾股定理第二步：小组合作探究同学以小组为单位研究上述问题，根据需要，老师建议同学充分利用两张纸片所代表图形的数量关系；第三步：集体交流请23个小组的同学代表本组展示结果，老师引导同学评论、总结，并介绍我国古代著名数学家刘徽的“青朱出入图证法”和刘徽的贡献活动组织方式教师提出活动任务，并适当引导、启发；学生先独立思考，动手实践，完成探究任务，再和组内的同学进行交流；全班交流、总结，师生共同提炼探究结果活动评价方式学生根据过程性学习评价表和结果性评价测试对自己的探究过程和结

8、果进行自评；教师根据学生课堂上的探究情况，参考学生的自评结果对学生进行评价所需学习资源九章算术.doc刘徽.doc刘徽.jpg五巧板.jpg青朱出入图证法.jpg青朱出入图证法.swf刘徽证法.swf所需学习时间15分钟2.3活动三：勾股定理证明方法三活动任务欣赏欧几里德证明勾股定理的方法并动手利用这种方法拼图活动内容第一步：提出实践任务老师借助多媒体出示欧几里德证明方法所用的拼图方案，请学生欣赏这一方案，并请同学以小组为单位按照欧几里德的方案进行拼图、第二步：小组合作探究学生以小组为单位动手实践，老师根据需要提示学生注意分析欧几里德证法的原理；第三步：全班展示交流请23名同学代表本组展示拼图

9、成果，老师在引导全班同学欣赏的同时注意提醒同学们注意欧几里德证法与赵爽证法刘徽证法的相通性活动组织方式教师提出活动任务，并适当引导、启发；学生先独立思考，动手实践，完成探究任务，再和组内的同学进行交流；全班交流、总结，师生共同提炼探究结果活动评价方式学生根据过程性学习评价表和结果性评价测试对自己的探究过程和结果进行自评；教师根据学生课堂上的探究情况，参考学生的自评结果对学生进行评价所需学习资源欧几里德.doc欧几里德.jpg几何原本中的勾股定理证明.jpg欧几里德证法.swf所需学习时间10分钟2.4活动四：勾股定理证明方法赏析活动任务赏析勾股定理的其他一些证明方法，进一步理解勾股定理，拓宽知

10、识面活动内容第一步：欣赏老师通过多媒体展示一些勾股定理的证明方法，请同学欣赏；第二步：分析请23名同学选择自己印象深的证明方法，分析该证明方法的特点，老师带领全班同学总结，总结重点为：解决数学问题时，可以考虑从多个角度分析，其中，数和形是两个重要的角度参考资料加菲尔德詹姆士·加菲尔德：美国第20位总统(1881年3月4日-1881年9月19日) 詹姆士·加菲尔德1831年生于俄亥俄州。加菲尔德家境贫寒，父亲在他4岁时去世。母亲在丈夫死后卖掉农场的大部分土地还了债，在很少的土地上勤苦劳作，抚养着四个儿女。加菲尔德全靠自己半工半读由中学升入大学。他上了几所大学，成绩优异。在他2

11、6岁时即出任大学校长。1858年加菲尔德与卢克丽霞·鲁道夫结婚。卢克丽霞是一位农场主的女儿，与加菲尔德同龄。他们生有五子二女。 1859年选入俄亥俄州议会。南北战争期间参加联邦军，为反对奴隶制，投笔从戎，32岁时即晋升为陆军少将。后被林肯赏识，弃军从政，1860年进入国会。同时，在1862年，俄亥俄州人推选他进入国会。林肯总统说服他辞去委员会工作。在1880共和党人大会上，加菲尔德不能为他的朋友约翰·舍曼赢得总统提名。最后，在第36张选举票上，加菲尔德成为"黑马"被提名，当选为第二十任总统。执政后，加菲尔德面临激烈的党争，弄得焦头烂额。他明知“政党分肥”

12、的弊端，但又缺乏改革的信心，只好在分配文官职务时尽量照顾平衡，这样做后各派又均不满意。他自己成为这一做法的牺牲品。1881年7月2日晨，他被一个谋官未成者枪杀，昏迷79天后，死于感染和内出血。是美国第二位被暗杀的总统。 伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为 “总统”证法。达芬奇列奥纳多·达·芬奇，意大利文艺复兴三杰之一，也是整个欧洲文艺复兴时期最完美的代表。他是一位思想深邃，学识渊博，多才多艺的画家、寓言家、雕塑家、发明家、哲学家、音乐家、医学家、生物学家、地理学家、建筑工程师和军事工程师。他是一位天才，他

13、一面热心于艺术创作和理论研究，研究如何用线条与立体造型去表现形体的各种问题；另一方面他也同时研究自然科学，为了真实感人的艺术形象，他广泛地研究与绘画有关的光学、数学、地质学、生物学等多种学科。他的艺术实践和科学探索精神对后代产生了重大而深远的影响。活动组织方式教师提出活动任务，并适当引导、启发；学生先独立思考，动手实践，完成探究任务，再和组内的同学进行交流；全班交流、总结，师生共同提炼探究结果活动评价方式学生根据过程性学习评价表和结果性评价测试对自己的探究过程和结果进行自评；教师根据学生课堂上的探究情况，参考学生的自评结果对学生进行评价所需学习资源毕达哥拉斯.doc毕达哥拉斯.jpg毕达哥拉斯

14、证明方法.swf美国总统伽菲尔德.jpg总统证法.swf达·芬奇.jpg达·芬奇证法.swf拼图证明方法.swf所需学习时间10分钟学习评价分过程性评价和效果性评价两种.“拼图与勾股定理”过程性学习评价表  评价内容是/否1通过这次拼图活动，我们再次感受到勾股定理所揭示的直角三角形的三边关系的内在美； 2我们小组发现了利用拼图证明勾股定理的过程中，拼出正方形非常重要； 3我们小组在研究的过程中能够不断总结经验和教训，解决问题的过程越来越顺利； 4我们小组在研究过程中分工有效，在汇报时能够有条理的陈述自己的观点，别的小组发言时我们也在认

15、真倾听； 5我们小组对自己的探究过程进行了合理性分析与评价，对自己得到的结论比较有信心 拼图与勾股定理班级 学号 姓名 得分 一、相信你一定能选对！ 1. 三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为( )A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 8 2. 下面几组数:7，8，9；12，9，15；m2 + n2， m2n2， 2mn（m，n均为正整数，mn）；，.其中能组成直角三角形的三边长的是( )A. B. C. D. 3. 三角形的三边长为，则这个三角形是( )A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形4. 已知RtABC中，C=

16、90°，若a+b=14 cm，c=10 cm，则RtABC的面积是（）A. 24 cm2B. 36 cm2 C. 48 cm2 D. 60 cm2 5放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分到家，小颖20分到家，小红和小颖家的直线距离为（ ） A600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定二、你能填得又快又对吗？6如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 7如图，一根树在离地面

17、9米处折断，树的顶部落在离底部12米处树折断之前有_米8如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B'，那么 BB'的值： 等于1米；大于1米5；小于1米.其中正确结论的序号是 9. 利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论的数学表达式是 三、认真解答，一定要细心哟！10. 右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段AB41.524.50.511如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4 km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再折回向北走到4.5 km处往东一拐，仅走0.5 km就找到宝藏。问登陆