曲线的参数方程

1、曲线的参数方程教学目标：1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。2.分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。3.会进行参数方程和普通方程的互化。教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。参数方程 和普通方程的互化。教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。参数方程和普通方程的 等价互化。教学过程一.参数方程的概念1.探究：如图，一架救援飞机在离灾区地面 500m 的高处以 100m/s 的速度作水平直线飞行，为使投 放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时

2、机呢？（1）平抛运动：一、 方程组有 3 个变量，其中的 x,y 表示点的坐标，变量 t 叫做参变量，而且 x,y 分别是 t 的函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间 t 唯一决定，从数学角度看，这就是点 M 的坐标 x,y 由 t 唯一确定，这样当 t 在允许值范围内连续变化时，x,y 的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。三、 平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。练习：斜抛运动:y汀参数方程为(B 为参数V=VO2 参数方程的概念夕一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 x,y都是某个变数 t 的函数 并且对于 t

3、 的每一个允许值，由方程组(2)所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上，那么方程 (2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数 t 叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。说明：(1)一般来说，参数的变化范围是有限制的。(2)参数是联系变量 x，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。x = 3t例 1 已知曲线 C 的参数方程是2(t 为参数)y = 2t+1(1)判断点 M1(0,1)M2(5,4)与曲线 C 的位置关系；(2)已知点 M3(6a)在曲线 C 上，求 a 的值。A、一个定点B、一个椭圆C、一条抛物线D、一条直线三参数

4、方程和普通方程的互化例 1、已知圆方程 x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0 化为标准方程，练习：斜抛运动:y汀参数方程为(B 为参数(x+1) 2+ (y-3) 2=1，例 2 如图，圆 0 的半径为 2, P 是圆上的动点，Q（6,0）是 x 轴上的定点，M 是 PQ 的中点, 当点 P 绕 0 作匀速圆周运动时，求点 M 的轨迹的参数方程。明确参数方程和普通方程的互化的方法。注意，在参数方程和普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致 四课堂练习 巩固与提高 1 与普通方程 xy=1 表示相同曲线的参数方程（t为参数）是（D）x

5、=sin tB.丿y =csct2 .下列哪个点在曲线x=sin r （汹参数）上（C）jy二cos2*3 .曲线严=1+罗2日（甘为参数）的轨迹是（D）y =sin日4.方程/x=2（6 为参数）表示的曲线是（D）y =cos日（7 为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（B.丄C. 1D.226 .方程x2y4tx -2ty5t2-0（t 为参数）所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ）A .一个定点B .一个椭圆C. 一条抛物线D .一条直线7.直线厂tcos：a 为参数）与圆*=4+2耸少（码参数）相切，那么直线的倾斜角为（A）J =tsin日J y =2sin A .二或匹B.二或空

6、C.二或三D .二或-壬664433668.曲线x2+y2=2y的一个参数方程为x罗日（日为参数）。=1 +sin oC.x =tantD.丿y =cottA. (2,7)C.(J,2)D. (1,0)A.一条直线B .一条射线C. 一个圆D .一条线段A .余弦曲线B .与 x 轴平行的线段C.直线D .与 y 轴平行的线段5.曲线|x =cosy =sin Jx =t29.曲线Xi（t 为参数）的普通方程为x2_y2,。2 SN 为参数），则.（x 一 5）2 （y 4）2的最大值是 6。y =sin日 -11.设飞机以匀速 v=150m/s 作水平飞行， 若在飞行高度 h=588m 处投

7、弹 （设投弹的初速度 等于飞机的速度，且不计空气阻力）（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程;（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标 解：（1）X50t2（t 为参数）。“ =588 4.9t（2） 1643m12.火炮以为发射角，vo为初速度发射，求炮弹的轨迹方程。X =voCOS。t解：丿12（t 为参数）。y =ysin a t -評13.动点M从起点 M（1,2）出发作等速直线运动，它在 x 轴与 y 轴方向上的分速度分别为 6 和 8，求点 M 的轨迹的参数方程。x 1解：丿（t 为时间参数）。y =2 +8tr14.求直线/曰“（t 为参数）与圆x2+y2=4的交点坐标

8、。y =1 _t解：把直线的参数方程代入圆的方程，得（1+t）2+（1-t）2=4，得 t= 1,分别代入直线方程 得交点为（0, 2）和（2, 0）圆的参数方程的应用教学目标：知识与技能：利用圆的几何性质求最值（数形结合）过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程教学重点：会用圆的参数方程求最值。教学难点：选择圆的参数方程求最值问题教学过程：10.已知 J一、 最值问题1. 已知 P(x,y )圆 C: x2+y2 6x 4y+12=0 上的点。y(1)求的最小值与最大值(2)求 x y 的最大值与最小值X2. 圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y-25=0 的距离最小值是_;2/

9、.圆(x-1)2+(y+2)2=4 上的点到直线 2x-y+仁 0 的最短距离是_;3. 过点(2,1)的直线中,被圆 x2+y2-2x+4y=0 截得的弦：为最长的直线方程是_;为最短的直线方程是_;4._若实数 x,y 满足x2+y2-2x+4y=0 ,则 x-2y 的最大值为_;二、 参数法求轨迹1) 一动点在圆 x2+ y2=1 上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程2) 已知点 A(2,0),P 是 x2+y2=1 上任一点， AOP的平分线交 PA 于 Q 点，求 Q 点的轨迹C.参数法解题思想：将要求点的坐标 x,y 分别用同一个参数来表示例题：1)点 P(m,n)在圆

10、 x +y =1 上运动，求点 Q(m+n,2mn 的轨迹方程2)方程 x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m)y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆，求 m 的取值 范围和圆心的轨迹方程。圆锥曲线的参数方程教学目的：知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、 态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点： 圆锥曲线参数方程的定义及方法教学难点： 选择适当的参数写出曲线的参数方程授课类型： 新授课教学模式： 启发、诱导发现教学教学过程:、复习引入:1 写出圆方程的标准式和对应的参数方程。1、关于参数几点说

11、明:(1)参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义(2) 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样(1)圆 X2+y2=r2参数方程丿X = r cos日y = r sin 日（2）圆（x-Xo）2（y yo）2二 r2参数方程为:lxo+COs9（。为参数）= y0+ r sin 日2 写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。3 能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗?、讲解新课:2 21椭圆的推导：椭圆务召a b二 1 参数方程x = a c o S亠口（日为参数）2.双曲线的参数方程：双曲线2 2于計参数方程X=aseC（日为参数）=bta n3.抛物

12、线的参数方程：抛物线y2=2Px 参数方程x = 2Pt2X 2Pt（t 为参数）（3）在实际问题中要确定参数的取值范围2、 参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两 个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是 一个方程组，其中 x， y 分别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。3、 参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点 P 坐标为（x, y）（2）选取适当的参数（3） 根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程4、 关于参数方程

13、中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间 t 做参数与旋转的有关问题选取角 北故参数或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。二、典型例题：例 1 设炮弹发射角为，发射速度为 Vo，（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）（2）若 V。=100m/s，当炮弹发出 2 秒时，61求炮弹高度2求出炮弹的射程 例 2.求椭圆的参数方程（见教材 P.4C）2 2乂vx=acolS椭圆 笃+存=1 参数方程 丿（日为参数）a by = bs i nx = 3 cos 日变式训练 1.已知椭圆丿（8 为参数）y =2si nd求

14、（1）时对应的点 P 的坐标6（2）直线 OP 的倾斜角变式训练 2 A 点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点 P,使/ OPA=90,其中 O 为 椭圆中心，求椭圆离心率 e 的取值范围。例 3.把圆 x2y2-6x =0 化为参数方程（1） 用圆上任一点过原点的弦和 x 轴正半轴夹角二为参数（2） 用圆中过原点的弦长 t 为参数三、 巩固与练习四、 小结：本节课学习了以下内容：1. 选择适当的参数表示曲线的方程的方法；2. 体会参数的意义五、 课后作业：教材 P34 习题 2.2圆锥曲线参数方程的应用教学目的：知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题过程与方法：选

15、择适当的参数方程求最值。情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：选择适当的参数方程求最值。教学难点：正确使用参数式来求解最值问题 授课类型：新授课教学模式：讲练结合教学过程：一、 复习引入：通过参数二简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。二、 讲解新课：例 1 求椭圆的内接矩形面积的最大值变式训练 12 2椭圆yX21T=1( a b 0 )与 x 轴正向交于点 A，若这个椭圆上存在点 P,使 0Pa b丄 AP, (O 为原点)，求离心率 e 的范围。2 2例 2.

16、AB 为过椭圆- 1 中心的弦，Fi，F2为焦点，求 ABFi面积的最大值。2516例 3.抛物线 y2=4x 的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。例 4、过 P (0，1)到双曲线 x2-y2=1最小距离变式训练 2：2设 P 为等轴双曲线 X2-y2=1 上的一点，F1，F2为两个焦点，证明|F1P，F2P = 0P例 5，在抛物线 y2=4ax(a 0)的顶点，引两互相垂直的两条弦 OA，OB，求顶点 O 在AB 上射影 H 的轨迹方程。三、 巩固与练习四、 小结：本节课学习了以下内容：适当使用参数表示已知曲线上的点用以求最值问题五、 课后作业：直线

17、的参数方程教学目的：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学一、复习引入：1 写出圆方程的标准式和对应的参数方程。圆 x2+y2=r2参数方程丿 cos（日为参数）y = r sin 廿（2）圆（x-x）2+（y y。）2=r2参数方程为：丿X Xor co弓（日为参数） = y0+ r sin。2写出椭圆参数方程.3复习方向向量的概念提出

18、问题：已知直线的一个点和倾斜角，如何表示直线的参数方程？、讲解新课：1、教师引导学生推导直线的参数方程:过定点 P（Xo,y。）倾斜角为的直线的参数方程X = x0+tc OS y = y0+ts i n2、辨析直线的参数方程:T 的几何意义是指它表示点 PP 的长,带符号三、直线的参数方程应用：课本例题 ,此略.四、小结：（1）直线参数方程求法（2）直线参数方程的特点（ 3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义五、作业：课本 P39 习题 2.3参数方程与普通方程互化教学目的：知识与技能 ：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法过程与方法 ：选取适当的参数化普通方程为参数方程情感、态度

19、与价值观 ：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识 教学重点 ：参数方程与普通方程的互化 教学难点 ：参数方程与普通方程的等价性授课类型 ：新授课教学模式 ：启发、诱导发现教学 .教学过程 ：（t 为参数）一、 复习引入：（1）圆的参数方程（2）椭圆的参数方程二、 讲解新课：1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数 t,然后代入消去参数 (2)三角法：利用三角恒等式消去参数(3)整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。化参数方程为普通方程为 F(x, y)=0 :在消参过程中注意变量 x、y 取值范围的一致必须根据参

20、数的取值范围，确定f(t)和 g(t)值域得 x、y 的取值范围。(6)过定点 P(xo,yo)倾斜角为的直线的参数方程X = X0+tc OE，厶(t 为参数)y =y0+ts i n典型例题1、将下列参数方程化为普通方程 = si n 日 + cos9y =sin 20变式训练 1性,2、常见曲线的参数方程(1)圆 x2+y2=r2参数方程丿X = r cos日y =rsin 日(2)圆(x-Xo)2(y y)2=r2参数方程为:X0+co前(。为参数)y = y0+ r si n 日(3)(4)双曲线2X2a2殳“参数方程x=aseC(日为参数)= bt a n(5)抛物线= 2Px 参

21、数方程乂如2(t 为参数).y =2Ptx =t2-2t2(3)t 1t 22tt 2x =(4)y =21 t22t1 t2x = 2(t(5)y =3(ty=2求厶 F1F2的重心 G 的轨迹的普通方程当点 P 绕 O 作匀速圆周运动时，求点 M 的轨迹的参数方程。变式训练 3：已知 P(x,y)为圆(x-1)2(y-1)2=4 上任意一点，求 x y 的最大值和最小值。三、巩固与练习四、小结：本节课学习了以下内容:熟练记忆把参数方程化为普通方程的几种方法。2、(1)方程*x1表示的曲线A、一条直线B、两条射线C、一条线段D、抛物线的一部分(2)下列方程中，当方程y2= x表示同一曲线的点

22、广丄厂2x =tx =sin t2B、丿1 - xos2t x =-D、1 + cos2t例 2 化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线(1)(t 是参数)(2)x = 2co s y= c o s&(二是参数)1 -2t21 2t2(t 是参数)变式训练 2。P 是双曲线x=4sin 日j =3ta n 日(t 是参数)上任一点，F1，F2是该焦点:例 3、已知圆 0 半径为 1，P 是圆上动点,Q(4，0)是 x 轴上的定点，M 是 PQ 的中点,x一1 2t2五、课后作业：见教材 53 页 2.345圆的渐开线与摆线教学目的:知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程，了解摆线的生成过程及它的参数方程 过程与方