【2020】高中数学模块综合质量检测北师大版选修4-5

1、1 / 11教学资料范本【2020】最新高中数学模块综合质量检测北师大版选修编辑：_时间：_4-52 / 11模块综合质量检测（时间：120 分钟 满分：150 分）、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）c d1 已知 a, b, c, d 为实数，ab0, v则下列不等式成立的是（a bA. bcvadB. bcadC.c d解析：将-av-b 两边同乘正数ab，得-bcv-ad.所以bcad.答案：B答案：Cx+13.-设 p，q 是两个命题，p：0， q：|2x + 1|1，则 p 是 4 的（-）xA.充分非必要

2、条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件解析：由题意，得 p：K x0，q：lx 二的解集为(x 1A.x|x2 或 xv 1C. x|x2 221x- -，解析：|x|- ?x1x1)B.x| 1x2D. x|1x2XV 产，或1 x解得 x2.x 1)时结论正确，再推当 n= k+ 2 时结论正确解析：因为 n 为正奇数，根据数学归纳法的证明步骤，第二步应先假设当n=2k 1 时结论正确，再推当 n=2k + 1 时结论正确.答案：B5.若 x，y，z (0，+*)，且 x+ y+ z= 30，则 Ig x + Ig y + Igz 的取值范围是()A. (，3B. (

3、，10C. 3，+x)D. 10，+x)解析：因为 x+ y + z3扳石，即 xyzw103，3所以 Ig xyzw|g 10 = 3，即 lg x+lg y+lg z=lg xyzw3，当且仅当 x = y = z = 10 时等号成立.答案：A6.函数 y=3x 5+46x 的最大值为（）A.5B.5C. 7D. 11解析：函数的定义域为5,6，且 y0,y= 3x5+4,6xw32+42 一，“.x52+6x2= 5,所以 ymax=5.答案：B7.不等式 |2x log2x|2x +|log2X| 的解集为（）当且仅当px53=6x4，即 x13425时取等号.5 / 11A. x|

4、1x2B. x|0 x1D. x|x2解析：根据对数的意义，可得 x0.则不等式|2 x log2x|0.由 x0,可得原不等式等价于 log2X0. 解得 x1.答案：C8. 若 0aiva2,0vbivb2,且 ai+ a2= bi+ b2= 1,则下列代数式的值最大的是()A. ab + a2b2B. a1a2+ bb2C. a1b2+ a2b11D 2解析：由 0aia2,0bilogb3，且 a+ b=1,那么()A. 0ab1B. 0ba1C. 1abD. 1ba/ 0a1,0 b0.log3b log3a0, logsblog3a. ba. 0ablogb3?1 1 log3al

5、og3b 0?log3b log3alog3alog3b0.7 / 1113C.最小值 2 和最大值 4D.最小值 11 解析：因为 x2y20,(x2+ y2)( y2+ x2) (xy + yx)2，即 4x2y2w1,故 x2y2w4,当且仅当 x2= y2= 2时等号成立.所以 x2y2 0, 4 .答案：B11.若函数 f(x) = |x + 1| + |2x + a|的最小值为 3,则实数 a 的值为()A. 5 或 8B. 1 或5C. 1 或4D. 4 或8a解析：当 a2,即一 2 1 时，a3x a 1, x2,ax+ a 1,2x 1,3x + a+ 1, x一 1,结合

6、其图像，可知函数 f(X)min= f 2 = 3,(a-一 a 1 = 3.解得 a = 8.I2丿a当 a 1 时,3x a 1, x 1,f(x)二即一3x a+ 1f(x)=1x；,结合其图像，可知函数 f(x)min= f 2 = 3,(a) 即3 7+ a+ 1 = 3.解得 a= 4.I 2 丿当 a=2 时，函数 f (x) = 3| x + 1|的最小值为 0,不符合题意.9 / 11因此，所求实数 a 的值为 8 或一 4.答案：D112. 已知函数 f(x) =2|x，若存在 x R,使得关于x的不等式2f(x)+ f ,2X2|x|+ 2jxp.因为丨 x| 0,所以2

7、仁 1. 令2|x|= t，则 t 1,关于 x 的不等式化为 k2t + 容易判断函数 (t)=2t +1在区间1 , + )上为增函数.若存在 X，使不等式成立，则只需 k (t)min,k(1).解得 k 3.故实数 k 的最小值为 3.答案：A二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上)x2+813. 函数 y = 1(x1)的值域是X 1x2+ 8x21+ 999解析：y =1= x +1 += x 1 +xlx1x1x1+ 22寸 Ll x9?+ 2= 8,9当且仅当 x 1 = ，即 x = 4 时等号成立，函数的值域是8 , +).x 1

8、答案：8 , +)114. 若关于 x 的不等式 x+ x | a 5| + 1 对一切非零实数 x 均成立，则实数 a 入的取值范围是_ .11/ r解析：x+ x =|x| + x2丫|x| jxp = 2,故应有 2|a 5| + 1 即 | a-5|1.所以 4a2 成立，当且仅当 aM0；3a1 2 3+ b2+ c2 b c,由顺序和乱序和，得a2+ b2+ c2 ab+ bc + ca.答案：16. 给出下列四个命题：1a+b2ab;42sin2x+的最小值是 4；sin 2x193设 x, y 都是正数，若- + - = 1,则 x + y 的最小值是 12；xy4若|x 2|

9、 & , |y 2| &，贝 U|x y|0 时取等号.4正确，| x y| =| x 2+ 2 y| | x 2| +12 y| a.(1) 当 a= 1 时，解这个不等式；(2) 当实数 a 为何值时，这个不等式的解集为 R?解：(1)当 a= 1 时，原不等式可变形为丨 x + 3| + | x 7|10 ,易求得其解集为 x|x7.(2)I|x + 3| + | x 7|x + 3 (x 7)| = 10 对任意 x R 都成立, lg(| x + 3| + |x 7|) lg 10 = 1 对任意 x F 都成立.若 lg(| x + 3| + | x 7|) a 对

10、任意 x R 都成立，则 a| A(xo X1) + B(yo y1)| Ax0 + By()+ C (Ax1 + By1 + C)|.由，得/A2+ B2PF|Ax0+ By+ C| ，|Ax0 + By0+ C|即 | RP| .A2+ B2当且仅当(y y1)： (X。一 X1) B：A,即RP丄 l 时，式取等号.故点到直 线的距离公式为p_|Ax0+ By0+C|旧VA2+B2 .19. (本小题满分 12 分)已知正数 x，y，z 满足 x2+ y2+ z2 6.(1)求 x + 2y + z 的最大值；12 / 11若不等式| a+1|-2ax + 2y+ z 对满足条件的 x,

11、 y, z 恒成立，求实数 a 的取值范围.解：(1)由柯西不等式，得(x2+y2+z2)(12+22+1) (x+2y+z)2,即(x + 2y+ z)2 36.又 x, y, z 是正数，所以 x+2y + z6.解得 a8x3若 x R,不等式(x+ 1)( x + 1)( x3+ 1) 8 x3是否仍然成立？如果成立， 请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值.(1) 证明：已知 x 是正数，由平均值不等式，知x+12x,1+x22x,x3+12x3.故(x+1)( x2+1)( x3+1)2 ；x 2x 2x3=8x3,当且仅当 x 二 1 时等号成立.(2) 解：若

12、x R,不等式(x + 1)( x2+ 1)( x3+ 1) 8x3仍然成立.证明如下：由(1)，知当 x0 时，不等式成立；当 xw0 时，8X3W0,(x+ 1)( x2+ 1)( x3+ 1)=(x + 1)2(x2+ 1)( x2 x+ 1)所以a+ 10,1a6或a+1 6.13 / 11此时不等式仍然成立.综上，当 x R 时，不等式仍成立.21. (本小题满分 12 分)设不等式2| x1| |x+ 2|0 的解集为集合 M a ,b M1 1 1求证：3a +6b4；(2)比较|1 4ab|与 2| a b|的大小.证明：记 f (x) = | x 1| | x + 2| =3

13、,xW 5 6 1，2x 1, 2x1,3, x1,1 1由一 22x 10,得一2x2,5 1 1111W3|a|+6|b|3X2+6X2 二6121解：由(1)，得a4,b0,所以 |1 4ab| 4| a b|，即 |1 4ab|2| a b|.22. (本小题满分 12 分)设数列 an满足 an+i= a2nan+ 1, n= 1,2,3，.(1)当 a1= 2 时，求 a2, as,色，并由此猜想出数列 an的一个通项公式;当 a&3 时，求证：不等式 an n + 2 对所有 n1 成立；2 2- - -z z2 2故M=1 12, 2 -3 3 4 414 / 11所以

14、1 13a+6b不等式1 11 + a1+1 + a2+11 + an1 1 + 2= 3,不等式成立.假设当 n = k(k 2)时，不等式成立，即 akk + 2, 则当 n= k+ 1 时，ak+i= akkak+ 1 = ak(ak k) + 1(k+ 2)( k+ 2 k) + 1 = 2( k + 2) + 1k + 3=( k + 1) + 2.也就是说，当 n= k+ 1 时，ak+i(k + 1) + 2.综上，对所有的 n1,有 an n+ 2.由an+1=an(ann) + 1 及，可知当k2 时，有ak= aki( aki k + 1) + 1ak-1(k 1 + 2 k + 1) + 1 =2aki+ 12(2 ak2+1)2+ 1 =2ak2+ 2+