2019年高考全国Ⅰ卷理科数学真题(含答案)

1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合 M x4 x 2,N xx2 x 6 0,则 MIN =A. x 4 x 3 B. x 4 x 2 C. x 2 x 2

2、 D. x 2 x 32 .设复数z满足z i =1, z在复平面内对应的点为(x, y),则22222222A. (x+1) y 1 B. (x 1) y 1 C. x (y 1)1 D. x (y+1)1. _0.20.33 .已知 a log2 0.2, b 2 , c 0.2 ，则A. abcB. acbC. cabD. bca4 .古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是近(近-0.618 ,22称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚、一、,5144,，工，脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比

3、例，且腿长为105 cm ,头顶至脖子下端的2长度为26 cm ,则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cmsinx x 一 一5.函数f(x)=2在,的图像大致为6个爻组成，爻分为”和阴爻“一”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一 “重卦”由从下到上排列的的概率是5A.11611 B.32C.32D.11167.已知非零向量 ab 满足 |a| 2|b|,且（a b）b,则a与b的夹角为C.D.B.-3的程序框图，图中空白框中应填入1011121A. A=2 A记Sn为等差

4、数列A. an 2n 5B A=2 7C.A=，1 2A/1D, A= 1 - 2Aan的前n项和.已知S40, a5 5 ,则B. an3n 102_C. Sn 2n 8nD. Sn - n222n.已知椭圆C的焦点为Fi( 1,0)| AB | | BFi |,则C的方程为2x 2A. y 122 x B.3,F2(1,0),过F2的直线与C交于A, B两点.若|AF2| 2|F2B|,2 x C.42 x D.5.关于函数f(x) sin|x| | sin x|有下述四个结论:f(x)是偶函数f(x)在区间)单调递增f(x)在,有4个零点其中所有正确结论的编号是A.B.已知三棱锥P-AB

5、C的四个顶点在球分别是PA, AB的中点，/ CEF=90f(x)的最大值为C.O的球面上，PA= PB= PC,则球O的体积为D.小BC是边长为2的正三角形，E, FA. 8.6B. 4、，6C. 2、6、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .曲线y 3(x2 x)ex在点(0,0)处的切线方程为14 .记Sn为等比数列an的前n项和.若a-，a4a6 ,则S5=3.根据前15 .甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜,期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互

6、独立，则甲队以 4 ： 1获胜的I率是 16 .已知双曲线C：三、1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1, F2,过F1的直线与C的两条渐近线umruurumr uuuu分别交于A, B两点.若F1A AB, F1B F2B 0,则C的离心率为 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。17 . (12 分) 2. 2ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,设(sin B sinC) sin A sinBsinC .(1)求 A

7、;(2)若 J2a b 2c ,求 sinC.18 . (12 分)如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4 , AB=2 , ZBAD =60 ° ,E, M , N分别是BC,BB1, A1D的中点.(1)证明：MN /平面 CiDE;(2)求二面角 A- MAi- N的正弦值.19 . (12 分)已知抛物线C： y2=3x的焦点为F,斜率为3的直线l与C的交点为A, B,与x轴的交点为P. 2(1)若 |AF|+| BF|=4 ,求 l 的方程；uuu uuu(2)若 AP 3PB,求 |AB|.20 . (12 分)已知函数f(x) sin x l

8、n(1 x), f (x)为f (x)的导数.证明：(1) f (x)在区间(1,一)存在唯一极大值点；2(2) f (x)有且仅有2个零点.(21) . (12 分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 1分；若

9、施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和3, 一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4分，Pi(i 0,1,L ,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认 为甲药比乙药更有效”的概率，则P00 ,P81 ,Piapi1bPicpi1 (i 1,2,L ,7),其中a P(X 1) , b P(X 0) , c P(X 1).假设 0.5,0.8.(i)证明：PiiPi (i 0,1,2,L ,7)为等比数列;(ii)求P4,并根据P4的值解释这种试验方案

10、的合理性.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 .选彳4 4:坐标系与参数方程(10分)1 t2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2，1 t24t1 t2(t为参数)以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 cos33 sin 11 0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.23 .选彳4 5:不等式选讲(10分)已知a, b, c为正数，且满足 abc=1 .证明:(1)112,22一一 a b c - b c333_(2) (a b)3 (b c)3 (c a)

11、3 24 .2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学？参考答案、选择题1 . C 2, C 3. B 4.B 5.D 6. A 7. B 8. A 9. A 10 . B 11 . C 12. D、填空题13 . y=3 x12114. 315 . 0.18三、解答题2217 .解：(1)由已知得sin B sin C.22sin A sinBsinC,故由正弦定理得 b22,c a bc.222由余弦定理得cos A b一c2bc因为0A 180所以(2)由120C ,由题设及正弦定理得、,2sinA sin 120 C2sin C ,由于0sin Csin后cosC2C 1201 .

12、 sin 22sin C可得cos C60,所以sinsin C 60 60C 60 cos60 cos6060sin 6018 .解：(1)连结 B1C, ME.因为M, E分另J为BB1, BC的中点,所以 ME /BiC,且 ME= 2 BiC.又因为N为A1D的中点，所以ND 二1-AiD.2由题设知A1B1 P DC,可得B1cp AiD,故ME p ND因此四边形MNDE为平行四边形， MN /ED.又MN 平面EDCi,所以MN /平面CiDE.(2)由已知可得DE，DA.D- xyz,则以D为坐标原点，Duu的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A(2,0,0) ,

13、A1(2, 0, 4)NJ C4M (1j3, 2)N(1,0,2)uuurAA (0,0, 4)uuuur_，A1M( 1,V3, 2),uuuuAN(x, y,z)为平面AiMA的法向量，则uuLur AM uuur AAuuur _(1,0, 2) , MN (0,73,0).所以x 、. 3y 2z 0,一可取 m (V3,1,0).4z 0.所以n(p, q,r)为平面A1MN的法向量，则 n. 3qp 2rcos m, n所以二面角A解：设直线l:0可取n 0.(2,0, 1).| milMAin|2 32 ;5:155 ，N的正弦值为105t,A Xi,% ,B X2,y2uuu

14、u MN uuuuA1N0,0.3x2 ,由题设可得x125x223(1)由题设得 F ,0，故 | AF | |BF |43.y x t由 2 ，可得y2 3x9x2_212(t 1)x 4t2则 XiX212(t 1)""912(t 1) 5从而 -, 923所以l的方程为y -x2uuu(2)由 APuuu3PB可得yi3 y x 由 2 y2 3xt 2,可得 y2 2y 2t 0 .所以yiy2 .从而 3 y2 y 2 ,故 y2i,yi3.代入C的方程得Xi3，x23故 | AB|4 13320 .解:(1)设 g(x)f '(X),则 g(x)1 c

15、osx ,1 xg'(x)sin x(1 x)2.1,2 时，g'(x)单调递减,而g'(0)0,g'(-) 0,可得 g'(x)在i- 有唯一零点,设为则当 x ( 1,)时，g'(x) 0；当 x，一时，g'(x) 0.2所以g(x)在(1,)单调递增，在 ，一单调递减，故g(x)在1,一存在唯一极大值点,22即f(x)在1,2存在唯一极大值点(2) f(x)的定义域为(1,).当x ( 1,0时，由(1)知，f'(x)在(1,0)单调递增，而f'(0) 0,所以当x (1,0)又f(0)=0 ,从而x 0是£

16、;3在(1,0的唯时，f'(x) 0,故£(刈在(1,0)单调递减，令点.(ii)当 x 0,-时，由(1)知，f'(x)在(0, 2f' 0 ,所以存在 ，,使得f()22时，f'(x) 0.故f(x)在(0,)单调递增，在又 f (0)=0 , f 1 ln 1 -0 ,所以当22)单调递增，在，单调递减，而f'(0)=02，0,且当 x (0,)时，f'(x) 0;当 x -2,-单调递减.0-时，f(x) 0.从而，f(x)在 0,22没有零点.单调递减.而匚°, f( ) °,(x 2,时，f'(x

17、) o,所以f(x)在万,所以f(x)在-,有唯一零点.2)没有零点.(iv)当 x (,)时，ln(x 1) 1 ,所以 f (x) <0 ,从而 f 他)在(综上，f(x)有且仅有2个零点.21 .解：X的所有可能取值为1,0,1 .P(X 1) (1),P(X 0)(1)(1),P(X 1)(1),所以X的分布列为(I a)。(2)由(1)得 a 0.4, b 0.5,因此Pi=0.4R 1+0.5 Pi+0.1 Pi 1,故 0.1Pi 1Pi4 PiPiP0 P10,所以Pi1Pi(ii)i）可得P8P8P7P7P6LP1P0由于P8=1 ,故 P1348P4P4P3P3 P2

18、P2P1P4表示最终认为甲药更有效的概率,Pi 1(iP00.1 .P1Pi0.4 PiPi 1 ,即0,1,2,L ,7）为公比为4,首项为 6的等比数歹U.P8 P7P7441P0 二-P1由计算结果可以看出,P6 LP1P01257在甲药治愈率为48 1-vP1.0.5,乙药治11|7愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为1P40.0039 ,此时得出错误结论的概率非 257常小，说明这种试验方案合理“1 t2 y22 .解：(1)因为 1 r 1,且 x -1 t2一22 1 ,所以C的直角坐标方程为1 t21 t2 22x2 y 1(x1).4l的直角坐标方程为2x 73y 11 0.x cos（2）由（1）可设C的参数方程为y 2sin（ 为参数，冗 冗）12cos 2 3sinC上的点到l的距离为J产4cos-113二 7g时，