镇海中学数学奥林匹克中级训练题(004)_第1页
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1、镇海中学数学奥林匹克中级训练题(004)1. 已知数列 满足：a1，an+1=（n1）证明：（1）， （2）数列收敛2. 设M，N是直角ABC（ACB=900）连AC、BC上的点，ANBM=L证明：顶点C，AML和BNL的垂心三点共线。3. 已知数列，满足证明：中不存在立方数。镇海中学数学奥林匹克中级训练题(004)解答1. 已知数列 满足：a1，an+1=（n1）证明：（1）， （2）数列收敛解答：用数学归纳法，对n=1，有成立。假设，那么=<（2）令=，则因为0<<所以是单调递增且有界的。即收敛点评：本题用归纳法是比较自然，证明与数列有关的不等式常常可以考虑归纳法。2.

2、设M，N是直角ABC（ACB=900）连AC、BC上的点，ANBM=L证明：顶点C，AML和BNL的垂心三点共线。解答：设H1，H2分别为AML和BNL的垂心，H1A与LM的延长线交于点E，H1L与AC交于点R，H2L与BC交于点S，H2B与LN的延长线交于点F。易知：A、B、F、C、E五点共圆 记为 C、R、L、S四点共圆 记为 A、L、R、E四点共圆 （1） L、B、F、S四点共圆 （2）而H1对的幂为H1L·H1A，对的幂为H1R·H1L由（1）知H1E·H1A=H1R·H1L,故H1在与两圆的根轴上。同样H2对的幂为H2F·H2B，对的

3、幂为H2S·H2L，由（2）知H2F·H2B=H2S·H2L。故H2也在与两圆的根轴上。而与相交于一点C，从而H1H2过点C，命题得证点评：由于题中的共圆的点十分之多，从而利用根轴来做是比较好的选择。事实上，当时，四个三角形（AML、BNL、ACN和BCM）的垂心也是共线的，同样用根轴可以给出证明（本题是CAN与BCM的垂心重合为C的特殊情况）3. 已知数列，满足证明：中不存在立方数。解答：注意故我们只需证明不定方程均无正整数解.假设有正整数解.则y 为偶数，令.则有原方程化为，其中，且为奇数，由于的差为2，则一定有一项不是3的倍数.当3不整除时，由于利用可得，其中或及 为偶，所以无论或2，均存在t的因数使.但，矛盾.当3不整除时，同理可得当时，矛盾.假设有正整数解.则为偶数，令则原方程化为.

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