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湖州师范学院高等数学（微积分）竞赛试题答案（数学专业）一、 计算题（每小题15分，满分60分）1. 计算：。 解： 。 又 ， 故 2设，试求的值。 解：= ， 显然由条件知，而 因此有且，故3. 求积分 解：=+ 令，有 = 所以= 4计算二重积分，其中。 解：令，得知直线y=x将D划分为两个区域： 。 于是，原式= =。 二、 （本题满分20分）设曲线与交于A点，过坐标原点O和A点的直线与曲线围成一平面图形。问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得旋转体积最大？最大体积是多少？解：当时，由解得故直线OA的方程为旋转体的体积令 并由得唯一的驻点a=4.。故a=4时旋转体的体积最大，且最大体积为 三、（本题满分20分）计算曲线积分，其中AMO为由点A(a,0)至点O(0,0)的上半圆周。解：在Ox轴上连结O(0,0)与点A(a,0), 这样，便构成了封闭的半圆形AmOA,且在线段OA上。 从而 另一方面，利用格林公式可得 于是 四、（本题满分20分）设函数在0，1上可导，且，试证明存在，使得。 证明：令， 则有 其中， 在上用罗尔定理知，使得， 即， 所以。五、（本题满分15分）设函数在a，b上连续，且f(a)=0，试证明：证明：因为 （柯西不等式） 所以。六、（本题满分15分）判别级数收敛的条件并证明，其中p>0。 解：因为= 所以， 因为，所以的敛散

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