第一方阵的特征值与特征向量ppt课件

1、第一节第一节 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量特征值问题与二次型特征值问题与二次型的概念的概念一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量的性质的性质三、特征值与特征向量三、特征值与特征向量的求法的求法二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量四、小节、思考题四、小节、思考题阐明阐明: :., 0. 1言言的的特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而特特征征向向量量 x .0,0,. 2 的的特特征征值值都都是是矩矩阵阵的的即即满满足足方方程程值值有有非非零零解解的的就就是是使使齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特征征值值阶阶方方阵阵AIAxIAAn ., , 1的特征向量的特征向量的对

2、应于特征值的对应于特征值称为称为量量非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立使关系式使关系式维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是是设设定义定义 AxAxAxxnnA 0. 3 IA 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa次次方方程程为为未未知知数数的的一一元元称称以以n 0 IA . 的的为为A特征方程特征方程,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 IAf 称其称其. 的的为为方方阵阵A特征多项式特征多项式 则则有有的的特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设,. 4 21nijaAn .)2(21An )1(证：证：)()(2

3、1nAI 由由nnnnnnaaaaaaaaa 212222111211；nnnaaa 221121)1( 项的系数，知项的系数，知比较第二个等号两端比较第二个等号两端1 n )(2211nnaaa 项的系数为项的系数为右端右端1 n 义义，知知而而根根据据行行列列式式的的展展开开定定的的系系数数为为等等号号左左端端1 n )(21n ，知成立，知成立由同次项系数应该相等由同次项系数应该相等;)1(221121nnnaaa )2(证：证：，由由)()(21 nIA以以的任意取值都成立，故的任意取值都成立，故既然是等式，即对既然是等式，即对 代入上式，即得代入上式，即得0 .)2(21An 例例1

4、 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多项式为的特征多项式为A 31131)3(2 )2)(4(682 . 4, 221 的的特特征征值值为为即即得得A IA 0 IA 解解特特征征方方程程解解 00231123,2211xx对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足时时当当 . 0, 0 2121xxxx即即,21xx 解解得得. 0,11 1 ccp取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由时时当当 . 0,11p ,221 ccxx取取为为所所以以对对应应的的特特征征向向量量可可解解得得例例

5、.201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解解,)2(201034011 )1 (2 IAA的的特特征征多多项项式式为为. 1, 2321 的的特特征征值值为为所所以以A由由解解方方程程时时当当. 0)2(,21 xIA 0000100010010140132IA,100 1 p得基础解系得基础解系.2)0(11的全部特征向量的全部特征向量是对应于是对应于所以所以 kkp,000210101101024012 IA由由解解方方程程时时当当. 0)(,132 xIA ,1212 p 得得基基础础解解系系的的全全部部特特征征是是对对应应于于所所以以1)0(322 kk

6、p.向向量量例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量 314020112IA 22)1( ，令令02)1(2 . 2, 1321 的特征值为的特征值为得得A解解 由由解解方方程程时时当当. 0,11 xIA ,000010101414030111 IA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0( 1 kpk 由由解方程解方程时时当当. 02,232 xIA ,0000001141140001142 IA得根底解系为：得根底解系为：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对

7、对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 例例 证明：假设证明：假设 是矩阵是矩阵A A的特征值，的特征值， 是是A A的属于的属于的特征向量，那么的特征向量，那么 x .)1(是任意正整数是任意正整数的特征值的特征值是是mAmm .,)2(11的的特特征征值值是是可可逆逆时时当当 AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征征向向量量的的特特对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故mmmmAxA 可可得得再再由由xAx xAxAAxA111 xxA11 ,2可可逆逆

8、时时当当A., 1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA，知知由由021 An 则则有有的的特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设,. 1 21nijaAn .)2(121Aniin nnnaaa 221121)1( 的的则则对应的特征向量为对应的特征向量为的特征值的特征值设设AxA,. 2 多项式多项式mmAaAaIaA 10)( ,)(10mmaaa 有特征值有特征值对应的特征对应的特征.x向向量量仍仍为为)(Atr nii1 即即向量却向量却的特征值相同，但特征的特征值相同，但特征与与方阵方阵TAA. 3.未未必必一一样样0)( IAIAIATT

9、 由由,0010 A但若取但若取证证：的的特特征征值值相相同同；与与即即知知TAA，的的特特征征值值均均为为与与则则明明显显，021 TAA不过，不过，的的特特征征向向量量为为A)0( ,01 ccx的特征向量却为的特征向量却为而而TA)0( ,10 ccx可可逆逆，则则且且设设AxAx,. 4 ;1)1(1xxA .)2(xAxA ）：证证（2可可得得再再由由xAx xAxAAxA xAxA ,0,时时即即可可逆逆时时当当 AA，知知由由021 An IxAxA ._._332:51*12的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值则则是是非非奇奇异异阵阵

10、例例 AAAA 3/42/3 ._,211121112116 kAkT则则特征向量特征向量的逆阵的的逆阵的为为已知已知例例 .22 ,3111121112111211kkkkkAA 即即-2or1证证:使使设有常数设有常数mxxx,2102211 mmpxpxpx那么那么 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 类推之，有类推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk.,., 21212121线线性性无无关关则则各各不不相相等等如如果果向向量量依依次次是是与与之之对对应应的的特特征征个个特特征征值值的的是是方方阵阵设设mmm

11、mppppppmA . 5把上列各式合写成矩阵方式，得把上列各式合写成矩阵方式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆从从而而该该矩矩阵阵该该行行列列式式不不等等于于不不相相等等时时当当各各式式列列阵阵的的行行列列式式为为范范德德蒙蒙行行上上式式等等号号左左端端第第二二个个矩矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21线线性性无无关关所所以以向向量量组组mppp留意：留意：.属于不同特征值的特征向量是线性无关属于不同特征

12、值的特征向量是线性无关的的.属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值对应的特征向量不独一；值而言的，一个特征值对应的特征向量不独一；但一个特征向量却只能属于一个确定的特征值但一个特征向量却只能属于一个确定的特征值 即有即有的特征向量的特征向量的的的属于特征值的属于特征值同时是同时是如果设如果设因为因为, 2121 AxxAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由由于于, 0 x则则.与特征向量的定义

13、矛盾与特征向量的定义矛盾求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：; . 1IAA 的特征多项式的特征多项式计算计算;,0 . 2 21的的全全部部特特征征值值就就是是的的全全部部根根求求特特征征方方程程AIAn .,0 , . 3 的特征向量的特征向量就是对应于就是对应于的非零解的非零解求齐次方程组求齐次方程组对于特征值对于特征值iiixIA .,0,2,03 :4 的的一一个个特特征征值值求求满满足足条条件件阶阶方方阵阵设设 AAIAAAIAT知知由由可可逆逆故故因因为为03 ., 0 AIAA解解,3的的一一个个特特征征值值是是A .31 1值值的一个特征的一个特征是是

14、从而从而A 即即得得又由又由,162AA 2 AA TT II, 4, 0, 4,162 AAAA因因此此但但于于是是.34 AA有一个特征值为有一个特征值为故故征向量有什么征向量有什么的属于不同特征值的特的属于不同特征值的特与与TAA关系？关系？.征向量两两正交征向量两两正交的属于不同特征值的特的属于不同特征值的特与与TAA证证：，其其中中设设jijjjTiiiyyAxAx ,得得则由则由,iiixAx TiiTTixAx )1(即即得得左左乘乘减减去去右右乘乘用用,)2()1(Tijxy若记若记jjjTyyA )2(jTijiyx)(0 . 0 jTiyx故故特征值问题与二次型特征值问题与

15、二次型第二节第二节 类似矩阵类似矩阵换的概念换的概念一、相似矩阵与相似变一、相似矩阵与相似变换的性质换的性质二、相似矩阵与相似变二、相似矩阵与相似变阵对角化阵对角化三、利用相似变换将方三、利用相似变换将方四、小结、思考题四、小结、思考题.,., , 111的相似变换矩阵的相似变换矩阵变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵进行相似变换进行相似变换称为对称为对行运算行运算进进对对相似相似与与或说矩阵或说矩阵的相似矩阵的相似矩阵是是则称则称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶矩阵阶矩阵都是都是设设定义定义BAPAAPPABAABBAPPPnBA 1. 等价关系等价关系 . 22111211PAPPAPPAA

16、P , . 3为为正正整整数数相相似似与与则则相相似似与与若若mBABAmm.本身相似本身相似与与AA.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA.,相相似似与与则则相相似似与与相相似似与与若若CACBBA反身性反身性)1()2(对称性对称性传递性传递性)3()(1AIIA ),(1111ABPPAPPB ）则则（若若.相似相似与与TTBA证明证明相似相似与与BA PIPAPPIB 11 PIAP 1PIAP 1.IA BAPPP 1,使使得得可可逆逆阵阵., . 411相相似似与与则则相相似似与与若若可可逆逆阵阵 BABA., 的特征值亦相同的特征值亦相同与与从而从而式相同式相同的特征多项的

17、特征多项与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若BABABAn.5则则相相似似于于若若推推论论,1BA);()()1(BtrAtr .)2(BA 说明说明中中的的两两个个结结论论只只是是及及其其推推论论性性质质15.件件两两个个矩矩阵阵相相似似的的必必要要条条.1011,1001 BA例例如如，容容易易算算出出的的特特征征多多项项式式均均为为与与BA有有的的可可逆逆阵阵是是一一个个单单位位阵阵，对对任任给给但但,PAIPPIPPAPP 1112)1( 推论推论2 假设假设 阶方阵阶方阵 与对角阵与对角阵n n 21.,21个个特特征征值值的的即即是是则则相相似似nAn A而现在而现在必是单位阵必是

18、单位阵相似，则相似，则与与因此，若因此，若.BAB.不不是是单单位位阵阵B利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式,1PPBA 若若PIPaPBPaPPBaPPBannnn11111110 Ak的的多多项项式式AIAAaaAaAannnn 1110)( .)(1PBP .1PBPk 则则11110)( PIaBaPnnnnBaBaPPB1 PPB1 PPB1 PPB1 k个个)1()2(,1为为对对角角矩矩阵阵使使若若可可逆逆矩矩阵阵特特别别地地 APPP, 1PPAkk 则则.)()(1PPA 有有对于对角矩阵对于对角矩阵, ,21 knkkk,)()()()(111 利用上利用

19、上述结论可以述结论可以很方便地计很方便地计算矩阵算矩阵A 的的多项式多项式 .)(A .)(,)(OAfAf 则则的的特特征征多多项项式式是是矩矩阵阵设设 定理定理证明证明.与对角矩阵相似的情形与对角矩阵相似的情形只证明只证明A使使则则有有可可逆逆矩矩阵阵与与对对角角矩矩阵阵相相似似若若,PA),(11 ndiagAPP . 0)(, iifA的的特特征征值值为为其其中中有有由由,1PPA )(Af.1OPPO PPf1)( PffPn11)()( 凯凯莱莱定定理理）（哈哈密密尔尔顿顿 证明证明,1为为对对角角阵阵使使假假设设存存在在可可逆逆阵阵 APPP .,21npppPP 用用其其列列向

20、向量量表表示示为为将将.)( 1个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有的充分必要条件是的充分必要条件是能对角化能对角化即即与对角矩阵相似与对角矩阵相似阶矩阵阶矩阵定理定理nAAAn这就称为这就称为为对角阵为对角阵使使若可找到可逆矩阵若可找到可逆矩阵阶方阵阶方阵对对, 1 APPPAn.可可对对角角化化方方阵阵A nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于是有于是有 nppp ,211 ,1 PAPAPP得得由由., 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的

21、的特特征征值值是是可可见见iiiApPA .,21线线性性无无关关所所以以可可逆逆又又由由于于npppP命题得证命题得证., PAPPnnnA使使阵阵个个特特征征向向量量即即可可构构成成矩矩这这个个特特征征向向量量得得并并可可对对应应地地求求个个特特征征值值恰恰好好有有由由于于反反之之 假设假设 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，那么那么 与对角阵类似与对角阵类似推论推论1nAAn数等于几何重数，即对数等于几何重数，即对其每一特征值的代数重其每一特征值的代数重件是件是可对角化的充分必要条可对角化的充分必要条阶矩阵阶矩阵推论推论An 2. m，有，有每个每个也可描述为也可描

22、述为推论推论2.1: m 结结论论. ,)( , , 2线性无关的特征向量线性无关的特征向量个个恰有恰有从而对应特征值从而对应特征值的秩的秩则矩阵则矩阵重根重根的特征方程的的特征方程的是是若若可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是阶矩阵阶矩阵设设推论推论rrnIArIArAAn 阐明阐明分分条条件件；只只是是矩矩阵阵可可对对角角化化的的充充推推论论1)1(AAnnA假设假设 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但假设能找到对角化，但假设能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征

23、向量， 还是能对角化还是能对角化)2(例例1 1 判别以下实矩阵能否化为对角阵？判别以下实矩阵能否化为对角阵？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解IA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得 得得方方程程组组代代入入将将, 02121 xIA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得根底解系解之得根底解系.110,10221 , 0, 73 xIA 由由对对求得根底解系求得根底解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由由于于.,321线线性性无无关关所所以以 .,3 化化可可对对角角因因而而个个线线性性

24、无无关关的的特特征征向向量量有有即即AA,同理同理 201335212IA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值为的特征值为所以所以A , 01 xIA 代代入入把把解之得根底解系解之得根底解系 ,1, 1, 1T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A，由于由于3111 m 解解 163053064A设设A能否对角化？假设能对角能否对角化？假设能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064IA 212 . 2, 1321 的的全全部部特特征征值值为为所所以以A 得得方方程程组组代代入入将将0121 xIA 063

25、063063212121xxxxxx解之得根底解系解之得根底解系,0121 1002 212xx 即即,2312cxcx 令令 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 02 3 xIA 1 ,1 ,13 T .,321线线性性无无关关由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A留意留意 , ,213 P若若令令111 012 100. 1 APP则则有有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应PyxyxA与与可对角化，求可对角化，求

26、设设 00111003例例.应应满满足足的的关关系系式式解解2)1(011100 yxIA由由. 01321 ，得得，123)(11 IAr ，必必有有的的由由定定理理推论推论2,000001011010101 yxyxIA而而. yx 故必有故必有4例例相似，其中相似，其中与与已知矩阵已知矩阵BA,00010002 aA,32020002 bB;,)2(,)1(1ABPPPba 使使求求可可逆逆阵阵的的值值；求求.)3(nB求求解解特征值及特征值及由相似矩阵具有相同的由相似矩阵具有相同的)1(BAniin 121, )()(BtrAtr nii1 解解之之得得得得),43(22; 3212

27、baba. 3, 5 ba解方程解方程，的特征值为的特征值为由由, 512)2(321 B0)( xIBi 为为得得对对应应的的特特征征向向量量分分别别,0011 ,1102 ,1103 .,1321成成立立则则令令ABPPP ,)3(1 PAPB因因,)(11 PPAPAPBnnn所所以以 2121021210001,1101100011PP可可解解得得由由于是于是 215215021521500021nnnnnnnPPAB4例例 11111qqppA设设相似，相似，与与 200010000B.A试试求求矩矩阵阵解解即即有有由由相相似似矩矩阵阵的的性性质质，知知, 0 BA021111111

28、12 pqqpp0)(111112 pqqqppA. qp IBIA 再再由由.0qp 说明说明元元素素时时，建建议议先先用用性性质质解解矩矩阵阵中中未未知知在在利利用用相相似似矩矩阵阵性性质质求求);()()1(BtrAtr .)2(BA ,IBIA .的的特特征征方方程程的的特特征征根根满满足足 AB；若若只只有有重重根根时时，需需回回代代检检验验用用能能得得到到一一个个方方程程时时，再再);det()det(,)1(BABA 则则相相似似与与;,)2( 为为常常数数相相似似与与则则相相似似与与kkBkABA.)()(,)(,)3( 相相似似与与则则是是一一多多项项式式而而相相似似与与若若

29、BfAfxfBA 类似矩阵类似矩阵 类似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好类似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内引见的以外，还有：的性质，除了课堂内引见的以外，还有：类似变换与类似变换矩阵类似变换与类似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先经过类似变换，将矩阵变成与运算，其方法是先经过类似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进展运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进展运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算类似变换是对方阵

30、进展的一种运算，它把类似变换是对方阵进展的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进展这一变换的称为进展这一变换的类似变换矩阵类似变换矩阵APP1 P,111111111 A.00100100 nB.,是是否否相相似似判判断断下下列列两两矩矩阵阵BA. 0,)( 211)( nnnAnIA的特征值为的特征值为因因解解使使得得故故存存在在可可逆逆矩矩阵阵的的特特征征向向量量个个线线性性无无关关可可以以找找到到, 1Pn),0 , 0 ,(111ndiagPAP ,)( )(1 nnIB还可求得还可求得.有相同的特征值有相同的特征值与与即即AB,1, 02特特征征向向量量个个线线性性

31、无无关关的的有有对对应应特特征征值值 nBn 使使得得故故存存在在可可逆逆矩矩阵阵,2P, 212 PBP, 212111PBPPAP 从从而而, 121112BPPAPP 即即.相似相似与与故故BA特征值问题与二次型特征值问题与二次型第三节第三节 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的性质一、实对称矩阵的性质对角化的方法对角化的方法对称矩阵对称矩阵二、利用正交矩阵将实二、利用正交矩阵将实三、小结、思考题三、小结、思考题性质性质1 1实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数. .证明证明, 对对应应的的特特征征向向量量为为复复向向量量的的特特征征值值为为对对称称矩矩阵阵设

32、设复复数数xA . 0, xxAx 即即, 的的表表示示用用 共共轭轭复复数数xAxA 则则 .xxAx 阐明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说阐明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵明，均指实对称矩阵, 的的表表示示xx共共轭轭复复向向量量于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 两式相减，得两式相减，得 0 xxT , 0 x但因为但因为 , 0 , 即即.是实数是实数由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所所以以性质性质1 1的意义的意义.,0,0)( , 以取实向量以取实向量从而对应的特

33、征向量可从而对应的特征向量可系系知必有实的基础解知必有实的基础解由由是实系数方程组是实系数方程组线性方程组线性方程组所以齐次所以齐次为实数为实数的特征值的特征值由于对称矩阵由于对称矩阵 IAxIAAiii 性质性质2 2，都有，都有的每一个特征值的每一个特征值阶实对称矩阵阶实对称矩阵 An. m，即即代代数数重重数数等等于于几几何何重重数数. ,)( , , 2个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量恰有恰有对应特征值对应特征值从而从而的秩的秩则矩阵则矩阵重根重根的特征方程的的特征方程的是是阶对称矩阵阶对称矩阵为为设设性质性质rrnIArIArAnA 也可描述为也可描述为., 32121212

34、1正交正交与与则则若若是对应的特征向量是对应的特征向量的两个特征值的两个特征值是对称矩阵是对称矩阵设设性质性质ppppA 证明证明,21222111 AppApp,AAAT 对对称称 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交与与即即pp. 021 ppT. , 41素素的的对对角角矩矩阵阵个个特特征征值值为为对对角角元元的的是是以以其其中中使使则则必必有有正正交交矩矩阵阵阶阶对对称称矩矩阵阵为为设设性性质质nAAPPPnA 证明证明,21s 它们的重数依次为它们的重数依次为s

35、rrr,21).(21nrrrs 根据性质根据性质1对称矩阵的特征值为实数和性对称矩阵的特征值为实数和性质质2可得：可得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为A,21知知由由nrrrs 由性质由性质3知对应于不同特征值的特征向量正交，知对应于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 单位正交的特征向量单位正交的特征向量个个即得即得把它们正交化并单位化把它们正交化并单位化关的实特征向量关的实特征向量个线性无个线性无恰有恰有对应特征值对应特征值rriiisi PPAPP11.,11个个特特征征值值的的是是恰恰个个个个的的对对角角元元素素含含其其中中对对角角矩矩阵阵nArrss

36、这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.n故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，那么，那么P根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其详细步骤为：为对角矩阵，其详细步骤为：将特征向量正交化将特征向量正交化(假设有重根的话假设有重根的话);3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2. ;, 0的的特特征征向向量量求求出出由由AxIAi 1.;的特征值的特征值求求A解解 20212022IA 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A

37、310130004)2(A例例1 1 对以下各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对以下各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵. .APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值AP，求相似变换阵，求相似变换阵（一）、已知具体矩阵（一）、已知具体矩阵 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxIAi, 0 得得由由对对, 04, 41 xIA 04202320223232121xxxxxxx解之得根底解系解之得根底解系 .1221 得得由由对对, 0, 12 xIA 0202202323121xxxxxx解之得根底解系解之得根底解系.2122 得得由由对对, 02, 2

38、3 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得根底解系解之得根底解系.2213 第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化.,3, 321321故故它它们们必必两两两两正正交交的的特特征征向向量量个个不不同同特特征征值值的的是是属属于于由由于于 A第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP则则 310130004)2(A 310130004IA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得基础

39、解系得基础解系由由对对, 02, 21 xIA 1101 得得基基础础解解系系由由对对, 04, 432 xIA .110,00132 ,32恰好正交恰好正交与与 .,321两两正交两两正交所以所以 得得令令单位化单位化再将再将3 , 2 , 1,321 iiii ,212101 ,0012 .212103 于是得正交阵于是得正交阵 2102121021010,321 P.400040002 1 APP则则.A征征性性质质，反反过过来来求求矩矩阵阵（二二）、已已知知矩矩阵阵的的特特2例例, 2, 43,21 的的特特征征值值为为设设实实对对称称矩矩阵阵A.,1, 2, 111AT求求的的特特征

40、征向向量量为为且且对对应应于于 解法一解法一232 ，对应于，对应于由实对称矩阵的性质知由实对称矩阵的性质知 1 征征向向量量，且且它它们们都都与与必必有有两两个个线线性性无无关关的的特特其其基基础础亦亦即即正正交交，即即满满足足, 01, 2, 1, 01 xxT 解解系系是是,1012 ,2103 .2向向量量的的两两个个线线性性无无关关的的特特征征此此即即对对应应于于特特征征值值 进行正交化，得进行正交化，得，对对32 11110122210,222233322 再再进进行行单单位位化化，得得，对对321 ,616261111 ,210212 3131313 为为正正交交阵阵，且且有有，

41、则则令令PP321, ，即即于于是是TPPPPAAPP 11, 121222121224TPPA解法二解法二 ，则则也也可可直直接接令令321, P,3131316131656131611 P也可求得也可求得由由1 PPA 121222121A解法三解法三 ,321 PA正交矩阵正交矩阵是实对称矩阵知，可设是实对称矩阵知，可设由由其其中中使使,2, 2, 41 diagAPPAPPT于是于是则则,0, 0, 6)2(diagPIAPT TTTTTTIA32113213210 , 0,6006,2 ,616261111 121242121故故 A 1212221212I 121242121 61

42、,62,616162616611 T 1.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质： (1) (1)特征值为实数；特征值为实数； (2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等； (4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特

43、征向将特征向量单位化；量单位化；(4)最后正交化最后正交化.2, 2的的值值试试求求行行列列式式的的秩秩为为且且满满足足阶阶实实对对称称矩矩阵阵设设AIrAAAAn 使使得得故故存存在在可可逆逆阵阵且且秩秩为为是是实实对对称称阵阵又又或或的的特特征征值值为为即即得得由由, 01, 0PrAAx .,000 1阶单位阵阶单位阵是是其中其中rAPIIPrr 解解,xAxA ，且有，且有的特征值为的特征值为设设则由则由，知，知AA 2xAxxA 2 x2 0)(2 x .2rn 1122 PPPPAI从从而而rnrIOOIIPIP 22)2(1特征值问题与二次型特征值问题与二次型第四节第四节 二次型

44、及其规范形二次型及其规范形的的概概念念一一、二二次次型型及及其其标标准准形形二二、二二次次型型的的表表示示方方法法三三、二二次次型型的的矩矩阵阵及及秩秩的的正正交交变变换换法法四四、化化二二次次型型为为标标准准形形六六、小小结结、思思考考题题的配方法的配方法五、化二次型为标准形五、化二次型为标准形 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 称为二次型称为二次型. .的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有定定义义nxxxn, 121; , 称称为为是是复复数数时时当当faij复二次型复二次型. , 称称为为是是实实数数

45、时时当当faij实二次型实二次型 本书只考虑实二次型本书只考虑实二次型说明说明只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2222211nnykykykf 称为二次型的规范形称为二次型的规范形例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都为二次型；而都为二次型；而 23222132144,xxxxxxf 为二次型的规范形为二次型的规范形. . 323121321,xxxxxxxxxf 1 1用和号表示用和号表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 对二次型对二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxai

46、jjijiijjiij 则则于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 2 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(., 为为实实对对称称矩矩阵阵

47、其其中中则则二二次次型型可可记记作作AAxxfT ,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA若若记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就独一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就独一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可独一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可独一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系; 的的矩矩阵阵叫叫做做二二次次型型实实对对称称矩矩阵阵fA; 的二次型的

48、二次型叫做实对称矩阵叫做实对称矩阵 Af. 的的秩秩的的秩秩叫叫做做二二次次型型实实对对称称矩矩阵阵fA解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例2例例试写出二次型试写出二次型3122214321423),(xxxxxxxxf .A的矩阵的矩阵解解阵阵应应为为依依题题意意，该该二二次次型型的的矩矩 0000000200200203A三三个个不不同同变变量量，但但虽虽然然实实际际表表达达式式中中只只有有说明说明不不过过一一般般不不量量个个数

49、数为为准准必必需需按按记记号号中中出出现现的的变变.际出现的不同变量数为际出现的不同变量数为特别指明的话，总以实特别指明的话，总以实.其其矩矩阵阵的的维维数数3例例试写出二次型试写出二次型 321321020511132,xxxxxxf.A的矩阵的矩阵解解实实对对称称矩矩阵阵，故故由由于于二二次次型型的的矩矩阵阵必必是是而有而有 022520122512312012312A 0272127112112 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,设有可逆设有可逆线性变换线性变换对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论

50、的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为规范形可逆的线性变换，将二次型化为规范形),(cijC 若记矩阵若记矩阵记记作作则则上上述述可可逆逆线线性性变变换换可可 Cyx AxxfT 证明证明于于是是即即有有为为对对称称矩矩阵阵,TAAA TTTACCB 有有将将其其代代入入, AxxfT . yACCyTT CyACyT ., 0ArBrBAACCBCT 且且也也为为对对称称矩矩阵阵则则矩矩阵阵为为对对称称如如果果令令任任给给可可逆逆矩矩阵阵定定理理CACTT ,BACCT ,ACCBT ,ArACrBr , 11 BCCAT又又 .1BrBCrAr .BrAr 即即 为对称矩阵为对称矩

51、阵.B阐明阐明2222211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二二次次型型, 2 Cyxf. ,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT; ,1 ACCBAfCyx. T 变变为为的的矩矩阵阵由由但但其其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换2定定义义,PnBAn阶阶满满秩秩阵阵若若存存在在和和阶阶方方针针对对使成立使成立APPBT BA与与则称则称.合同合同合同这种关系的性质：合同这种关系的性质：）同同与与合合则则合合同同于于合合同同与与（即即若若传传递递性性）则

52、则对对称称性性；（即即若若）自自反反性性；（即即CACBBABPPAAPPBAIIATTT,.)3()(,)2()1(11 形形的的问问题题就就转转变变成成如如何何于于是是，化化二二次次型型为为标标准准.对角矩阵的问题对角矩阵的问题使实对称矩阵合同于实使实对称矩阵合同于实即有即有用于二次型用于二次型因此把这个结论应因此把这个结论应即即使使总有正交矩阵总有正交矩阵阵阵由于对任意的实对称矩由于对任意的实对称矩,., 1 APAPPAPPT 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次型型fPyxaaxxafjiijnjijiij, 1, ,2222211nnyyyf .,21的

53、的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中中ijnaAf 1定定理理.1的的特特征征值值系系数数一一定定是是准准形形经经过过正正交交变变换换化化成成的的标标、AAxxfT 阐明阐明时，必有时，必有在在持向量的长度不变，即持向量的长度不变，即而言，正交变换将保而言，正交变换将保、对正交变换、对正交变换QyxQyx 222yx 事事实实上上，)()(,2QyQyQyQyxxxT 2,yyyyyQyQyTTT 用正交变换化二次型为规范形的详细步骤用正交变换化二次型为规范形的详细步骤;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出

54、;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A 144241422217IA 9182 什么曲面？什么曲面？表示表示化成标准形，并问化成标准形，并问通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型2,844141417 323121232221 fPyxxxxxxxxxxf例例4 4解解从而得特征值从而得特征

55、值.18, 9321 得得基基础础解解系系代代入入将将, 091 xIA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将, 01832 xIA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取) 1, 1, 21 (1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,) 1, 1, 21 (1T ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所

56、所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxxyyf 且且有有即即,Pyx 表示椭球面。表示椭球面。此时，容易看出此时，容易看出2 f解解.22 2222 , 434232413121化化为为标标准准形形把把二二次次型型求求一一个个正正交交变变换换xxxxxxxxxxxxfPyx 例例5 5二次型的矩阵为二次型的矩阵为,0111101111011110 A它的特征多项式为它的特征多项式为.111111111111 IA有有四列都加到第一列

57、上四列都加到第一列上三三把二把二计算特征多项式计算特征多项式,:,1111111111111)1( IA有有四行分别减去第一行四行分别减去第一行三三把二把二,1000212022101111)1( IA1221)1(2 .)1( )3()32()1(322 . 1, 34321 的的特特征征值值为为于于是是A, 0)3(,31 xIA解方程解方程时时当当 ,11111 得基础解系得基础解系.1111211 p单位化即得单位化即得, 0)(,1432 xIA解解方方程程时时当当 ,1111,1100,0011232 可得正交的基础解系可得正交的基础解系单位化即得单位化即得 21212121,21

58、2100,002121432ppp于于是是正正交交变变换换为为 yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且且有有6例例AxxfAT 阶阶实实对对称称矩矩阵阵，二二次次型型为为已已知知3 .,1, 1, 131,43321232221QyxQyyyQyxT 所所作作的的正正交交变变换换试试求求，且且中中矩矩阵阵其其化化为为标标准准形形经经正正交交变变换换 解解两两正交，且由两两正交，且由，正交知，正交知，由由321 Q知知则则由由的的特特征征向向量量为为对对应应特特征征值值征征向向量量，设设的的特特是是对对应应于于，

59、的的特特征征值值为为题题设设知知0,144113213 xxxxxAATT 0321 xxx的的线线性性无无关关特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值由由此此可可得得1ATT1, 0, 1,0, 1, 121 经经正正交交化化、单单位位化化，得得TT2, 1, 161,0, 1, 12121 为为因因此此，正正交交变变换换Qyx 323321232113162316121316121yyxyyyxyyyx用正交变换化二次型为规范形，其特点是保用正交变换化二次型为规范形，其特点是保持几何外形不变持几何外形不变问题有没有其它方法，也可以把二次型化问题有没有其它方法，也可以把二次型化为规范形？

60、为规范形？问题的回答是一定的。下面引见一种行之有问题的回答是一定的。下面引见一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法1.假设二次型含有假设二次型含有 的平方项，那么先把含有的平方项，那么先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其他的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其他的变量同样进展，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进展，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到规范形性变换，就得到规范形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.假设二次型中不含有平方项，但是假设二次型中不含有平方项，但是 那