第二节估计量的评价标准ppt课件

1、第二节第二节 对于同一个参数,用不同的方法可以得到不同的估计量. 如今的问题是,当同一参数出现多个估计量时,终究哪一个更好呢? 这就涉及到用什么规范来评价估计量的问题. 确定估计量好坏的规范必需是整体性的,说得明确一点就是,必需在大量察看的根底上从统计的意义上来评价估计量的好坏.也就是说,估计的好坏取决于估计量的统计性质.普通以为,一个“好的估计量应该具有如下的条件: 估计量是随机变量估计量是随机变量, 对于不同的样本对于不同的样本值就会得到不同的估计值值就会得到不同的估计值, 希望估计值在希望估计值在未知参数真值左右彷徨未知参数真值左右彷徨, 最好它的数学期最好它的数学期望等于未知参数的真值

2、望等于未知参数的真值, 这就导致了无偏这就导致了无偏性这个规范。性这个规范。定义定义设设),(1nXX 是是总总体体X的的 一一个个样样本本, ,),(1nXX 是是未未知知参参数数 的的估估计计量量, ,如如果果有有 ， )(E则则称称 为为 的的无无偏偏估估计计量量。 一、无偏性一、无偏性无偏估计量的含义是：无偏估计量的含义是： 作为样本的函数作为样本的函数是一个随机变量， 它在是一个随机变量， 它在 的真值附近波动，但其的真值附近波动，但其平均值恰好是平均值恰好是 的真值。比如用一台秤去称物的真值。比如用一台秤去称物品， 误差有两个来源： 一是秤本身制作结构上的品， 误差有两个来源： 一

3、是秤本身制作结构上的问题， 这属于系统误差； 另一种是操作上或其它问题， 这属于系统误差； 另一种是操作上或其它随机因素的干扰， 这属于随机误差。随机因素的干扰， 这属于随机误差。 无偏性即要无偏性即要求没有系统误差。求没有系统误差。 ， )(E设设),(1nXX 为为取取自自总总体体X的的样样本本， ，)(E)(EXX 说说明明X是是总总体体均均值值)(E X的的无无偏偏估估计计； 样本方差样本方差， niiXXnS122)(11，)(D)(E2XS 说说明明2S是是总总体体方方差差)(D X的的无无偏偏估估计计. . ，二阶中心矩二阶中心矩 niiXXnB122)(1 ，)(D1)(E2X

4、nnB 说说明明2B是是)(D X的的有有偏偏估估计计. . 设设0)(D X, , )(E X, ,试试问问 2X是是否否为为 2 的的无无偏偏估估计计？ 设设总总体体X服服从从均均匀匀分分布布), 0( U，试试证证 的的矩矩法法估估计计量量X2 是是 的的无无偏偏估估计计量量。 例例1 1证证)2(E)(EX )(E2X )(E2X .22 例例2 222)(E)(D)(EXXX 2)(D1 Xn,2 证证故故2X不不是是2 的的无无偏偏估估计计。 二、有效性二、有效性普通来说普通来说,一个参数往往有多个无偏估计量一个参数往往有多个无偏估计量.假设假设 有两个无偏估计量有两个无偏估计量:

5、 21, , 那那么么21 ba 当当a+b=1时也是时也是 的无偏估计量。的无偏估计量。 估计量的无偏性只保证了估计量的取值在参数真值周围动摇,但是动摇的幅度有多大呢?自然的, 我们希望估计量动摇的幅度越小越好,幅度越小,那么估计量取值与参数真值有较大偏向的能够性越小,而衡量随机变量动摇幅度的量就是方差.这样就有了我们下面要引见的有效性的概念. 设设),(321XXX为为取取自自总总体体X的的样样本本, , 试试证证明明下下列列三三个个统统计计量量均均为为EX的的无无偏偏估估计计量量，并并比比较较有有效效性性. . 设设总总体体有有一一未未知知参参数数 , ,样样本本),(1nXX ，21,

6、 均均为为 的的无无偏偏估估计计，如如果果 定义定义)(D)(D21 则则称称1 比比2 有有效效。 例例3 3,21103513211XXX ,6121323212XXX .3131313213XXX ,21103513211XXX ,6121323212XXX .3131313213XXX 证证)2110351(E)(E3211XXX ,EE)612132()(E2XX ,EE)313131()(E3XX ,EE)2110351(XX 所所 以以321, 均均为为EX的的无无偏偏估估计计量量。 ,21103513211XXX ,6121323212XXX .3131313213XXX 证证

7、所所以以3 最最为为有有效效。 )2110351(D)(D3211XXX ,D72. 0D)3614194()(D2XX .D33. 0D)919191()(D3XX ,D38. 0D)411009251(XX 从从正正态态总总体体),(2 NX中中分分别别抽抽取取容容量量为为1n和和2n的的两两个个相相互互独独立立的的样样本本， 其其样样本本方方差差分分别别为为21S和和22S，它它们们都都是是2 的的无无偏偏估估计计。当当21nn 时时，有有 )(D)(D2221SS 。 定理定理此定理阐明此定理阐明, ,添加样本容量可提高估计量的有效性。添加样本容量可提高估计量的有效性。 有效性概念阐明

8、,在无偏估计量中,方差越小越有效,那末,方差能否有下界呢？Rao-Cramer不等式不等式2);(lnE1D Xfn取取到到等等号号时时, , 称称为为 的的有有效效估估计计量量. . 三、相合性三、相合性定义定义如如果果对对0 , ,有有 ，0Plim nn则则称称n 是是 的的相相合合估估计计量量。 时时,),(21nXXX n. 即当即当依概率收敛于依概率收敛于直观上看直观上看,当当n增大时增大时,样本信息增多样本信息增多,当然希望估计当然希望估计量越来越接近真值的概率也越来越大量越来越接近真值的概率也越来越大, 这种想法就这种想法就引出了上面的一致性概念引出了上面的一致性概念. 一致估计量普通地是当一致估计量普通地是当样本容量很大时样本容量很大时,才干显示其优点才干显示其优点.由由切切比比雪雪夫夫大大数数定定律律, ,对对0