第五章：有限字长运算对数字滤波器的影响第三节ppt课件

1、5.3 5.3 有限字长运算对数字滤波器的影响有限字长运算对数字滤波器的影响 DF的实现，涉及到两种运算：相乘、求和。 定点制运算中，每一次乘法运算之后都要作一次舍入截尾处置，因此引入了非线性，采用统计分析的方法，将舍入误差作为独立噪声e(n)迭加在信号上，因而仍可用线性流图表示定点相乘。 定点相乘运算统计分析的流图表示 对舍入噪声e(n)作如下的假设：1.e(n) 为平稳随机噪声序列； 2. e(n) 与输入序列 x(n) 不相关，各噪声之间也互不相关。3. e(n) 为白色噪声；4.在量化间隔上均匀分布即每个噪声都是均匀等概率分布）。 有了这些条件，整个系统就可作为线性系统处理。每一个噪声

2、可用第一章所讲的线性离散系统的理论求出其输出噪声，所有输出噪声经线性迭加得到总的噪声输出。 下面分析三种情况下的有限字长效应： IIR滤波器 FIR滤波器 FFT计算计算输出的量化噪声方差 5.3.1 IIR 的有限字长效应的有限字长效应 以一阶以一阶IIR滤波器为例，其输入与输出关系可用差分方程滤波器为例，其输入与输出关系可用差分方程表示为：表示为： 乘积项将引入一个舍入噪声，如图乘积项将引入一个舍入噪声，如图 上述一阶系统的单位脉冲响应为上述一阶系统的单位脉冲响应为 系统函数为系统函数为 由于由于 是迭加在输入端的，故由是迭加在输入端的，故由 造成的输出误差为：造成的输出误差为： )()

3、1()(nxnayny1, 0an)()(nuanhnazzzH)()(ne)(ne)(*)()(*)(nuanenhneenf1 输出噪声方差 或 由上两式均可求得 可见字长 越大，输出噪声越小，同样的方法可分析其它高阶DF的输出噪声。 0022222)(mmmeefamhcefzdzzHzHj)()(2122)1 (122)1 (1212222222aaqabefb例4：一个二阶IIR低通数字滤波器，系统函数为 采用定点制算法，尾数作舍入处理，分别计算其直接型、级联型、并联型三种结构的舍入误差。 解：直接型 )8 .01)(9 .01 (04.0)(11zzzH)(04.072.07 .1

4、104.0)(21zBzzzH直接型结构流图如图)(0ne)(nx)()(nenyf)(2ne)(1ne1z1z04. 07 . 172. 01211111( )1 1.70.72(10.9)(10.8)B zzzzz 图中 、 、 分别为系数0.04、1.7 、-0.72相乘后引入的舍入噪声。采用线性迭加的方法，从图上可看出输出噪声 这三个舍入噪声通过网络 形成的，如图5.28b，因此 是H0(z)的单位脉冲响应,输出噪声的方差为：)(0ne)(1ne)(2ne)(1)(0zBzH)(*)()()()(0210nhnenenenef)(0nh)(nefcefzdzzBzBj)()(12131

5、22输出噪声的方差为： 将 代入，利用留数定理得：1222qe2111132(10.9)(10.8)(10.9 )(10.8 )ecdzjzzzzz220.90.82223(0.8)(1 0.9 )(1 0.8 )(0.9)(1 0.9 )(1 0.8 )42.27619.8422.4fezzzzzzzzzzqqq 级联型 将H(z)分解 结构流图为 图5.29 IIR级联型的舍入噪声分析 )(1)(04. 08 . 0119 . 0104. 0)(2111zBzBzzzH)(0ne)(nx)()(nenyf)(2ne)(1ne1z1z9 . 08 . 004. 0由图中可见，噪声 、 经过

6、网络， 噪声 只通过网络 ， 即 )(0ne)(1ne)(1zH101211( )( )( )( )( )HzHzBz BzB z)(2ne)(2zH)(1)(22zBzH)(*)()(*)()()(22110nhnenhnenenef)(1nh)(2nh和 分别是H1(z)和H2(z)的单位脉冲响应,因此： 将 代入，得：（思索：如果将H1(z)和H2(z)次序颠倒，结果会怎样） cecefzdzzBzBjzdzzBzBzBzBj)()(12)()()()(12212221211212212,8 . 01)(,9 . 01)(221211qzzBzzBe2222222.40.2315.23f

7、qqq因此： 将 代入，得：221112122111212( )( )()()12( )()efcecdzjB z B z B zB zzdzjB z B zz12,8 . 01)(,9 . 01)(221211qzzBzzBe22215.3715.2fqq2222222.40.4415.373fqqq220.810.4412 (10.9 )zqqz1z1z0.80.904. 0 并联型 将H(z)分解为部分分式 其结构如图： 0.36 0.9 -0.32 0.8图 IIR并联型的舍入噪声分析 )(32.0)(36.08 .0132.09 .0136.0)(2111zBzBzzzH)(0ne)

8、(nx)()(nenyf)(2ne)(1ne1z1z)(3ne 并联型结构有4个系数，有4个舍入噪声，其中 只通过 网络， 经过 网络。 输出噪声方差为： 代入B1(z)和B2(z)及 的值，得： cecefzdzzBzBjzdzzBzBj)()(122)()(1221222111222e2222 (0.440.23)1.34fqq)()(10nene)(11zB)()(32nene)(12ZB比较三种结构的误差大小，可知 直接型 级联型 并联型缘由： l直接型结构的所有舍入误差都经过全部网络的反馈环节，反馈过程中误差积累，输出误差很大。 l级联型结构，每个舍入误差只通过其后面的反馈环节，而不

9、通过它前面的反馈环节，误差小于直接型。 l并联型 ：每个并联网络的舍入误差只通过本身的反馈环节，与其它并联网络无关，积累作用最小，误差最小。该结论对IIR DF有普遍意义。因此，从有限字长效应看，直接型（、型结构最差，运算误差最大，高阶时避免采用。级联型结构较好。并联型结构最好，运算误差最小。结论：IIR滤波器的有限字长效应与它的结构有关。5.3.2 FIR的有限字长效应的有限字长效应 IIR的分析方法同样适用于的分析方法同样适用于FIR滤波器，滤波器，FIR滤波器滤波器无反馈环节频率采样型结构除外），不会造成舍入无反馈环节频率采样型结构除外），不会造成舍入误差的积累，舍入误差的影响比同阶误差

10、的积累，舍入误差的影响比同阶IIR滤波器小，不滤波器小，不会产生非线性振荡。会产生非线性振荡。 以横截型结构为例分析以横截型结构为例分析FIR的有限字长效应。的有限字长效应。 舍入噪声舍入噪声 N 阶阶FIR的系统函数为：的系统函数为： 无限精度下，直接型结构的差分方程为：无限精度下，直接型结构的差分方程为： 有限精度运算时，有限精度运算时， 10)()(NmmzmhzH10)()()(Nmmnxmhny10)()()()()( NmRfmnxmhnenyny每一次相乘后产生一个舍入噪声 故 输出噪声为： 如图。 )()()()()(nemnxmhmnxmhmR1010)()()()()(Nm

11、Nmmfnemnxmhneny10)()(Nmmfnene图中可见，所有舍入噪声都直接加在输出端，因此输出噪声是这些噪声的简单和。 于是， 输出噪声方差与字长有关，与阶数有关，N越高，运算误差越大，或者，在运算精度相同的情况下，阶数越高的滤波器需要的字长越长。12222NqNef例：FIR滤波器，N=10，b=17时N=1024时， 因此，滤波器输出中，小数点后只有4位数字是有效的。 )103(1085. 41234210121122dbNqf)83(1097. 412342102412922dbNqf-410*0.705f 动态范围：动态范围： 定点运算时，动态范围的限制，常导致定点运算时，

12、动态范围的限制，常导致FIR的输出的输出结果发生溢出。利用比例因子，压缩信号的动态范围结果发生溢出。利用比例因子，压缩信号的动态范围，可避免溢出。，可避免溢出。FIR输出：输出：10max10)()()()()(NmNmmhxnymnxmhny定点数不产生溢出的条件：为使结果不溢出，对 采用标度因子A，使由此确定A。1)(ny)(nx10max10max)(11)(NmNmmhxAmhAx对于窄带信号略显保守5.3.3 FFT计算中的有限字长效应计算中的有限字长效应 按时间抽取的按时间抽取的8点点FFTM级、N/2个蝶形结1、输出噪声的方差：)()()()()()(1111nxWmxnxnxW

13、mxmxlpNlllpNllxl-1(m)e(l,n)xl(m)xl-1(n)PNW蝶形运算的量化误差-1xl(n),()()(ImReIm)(ReIm)(ImRe)(Re)(1413121111nleWnxenxWeWnxjeWnxeWnxWnxpNllpNpNlpNlpNlRpNl 相乘所引入的舍入误差源是复数，每个复乘包括4个实乘，每个定点实乘产生一个舍入误差源，因此产生四个误差源e1，e2，e3和e4，即 )()(),(4321eejeenle2223EBqnle），（当误差源e(l,n)通过后级蝶形结时，加、减运算是不会影响方差的，而通过乘系数 后，对方差的影响为： pNW2222)

14、,(E),(E),(EnlenleWWnlepNpN e(l,n)通过所有蝶形结时，加、减和乘的运算对方差均无影响。这样，计算FFT的最后输出误差，只需知道输出结点共连接多少个蝶形结即可。 N=8时连接到X(0)的各蝶形结08W08W08W08W08W08W08W0Xx(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)-1-1-1-1-1-1-1连接到X(k)末端的误差源总数为 112222112NMM222) 1(BkkNeEX(k)上叠加的输出噪声 的均方值(即为方差，因均值为零)为:ke3222NqNBk蝶形结输出的最大模值小于等于输入最大模值的两倍 )(, )(max2)(

15、, )(max)(, )(max1111nxmxnxmxnxmxllllll因此，FFT最后输出最大值有可能等于输入值的 倍，即NM2)(max)(max2)(maxnxNnxkXM因而要求 10 ,1)(NnNnx2、输出的信噪比这意味着为了防止溢出，可以在输入端一次性乘上比例因子1/N。如果假设x(n)在区间内 是均匀等概分布的，因而x(n)的方差为 NN1,122231)(NnxExNNWnxEkXExnkNNn31)()(221022而 因此 22222213)(E)SNR(qNNkXBk从而得到在这种防止溢出方法下输出的信噪比。第二种方法：引入了1/2的比例因子避免输出信噪比过小问题

16、 加比例因子的蝶形运算WNp/21/2e(l,m)xl-1(m)e(l,n)xl(m)xl-1(n)xl(n)-1一个蝶形结乘1/2后所形成的总的误差方差为 22222),(),(BBnleEmleE但每往前一级，其引入误差的方差要降低到1/4倍。参照图蝶形结的联接，则可求出总的输出噪声方差为 2222122122221112424441142241312MkBBBBMMBBBq)3/(1)(2NkXE22221412)(E)SNR(NqNkXBk考虑到输出信号的方差仍为则可得到 蝶形结个数此时信噪比值不再和N平方成反比，而是和N成反比，信噪比大大提高，这显然比把1/N的比例因子全放在输入端的情况要好得多。 还有一种防止溢出的方法是采用成组浮点运算。 基本思想是对FFT蝶形运算的每一级输出的N个数共用一个阶码。计算按定点运算进行，开始时对于所有的输