高中数学立体几何【体积表面积】重难点讲解

1、、空间几何体的表面积问题1 :有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A出发，沿着圆柱侧面爬行一周，到达上底面圆周上一点B （线段 AB是圆柱的一条母线），问蚂蚁爬行的最短路线是多长？平面展开图：沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形，这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。（一）棱柱、棱锥、棱台的侧面积1、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 S直棱柱侧=ch其中c为棱柱的底面周长， h直棱柱的高。2、正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，这样 的棱锥叫做正棱锥。性质：（1）正棱锥的侧棱长相等

2、。（2）侧棱和底面所成的角相等。棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。 S正棱锥侧=3、正棱台恻面展开(c + c ') h 'S正棱台侧=h'为各个等腰梯形的高，即棱台的斜高）。定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台。 侧面展开图是由各个侧面组成的。（其中c为棱锥底面周长，h'为侧面等腰三角形底边上的高一一斜（其中c, c'为棱台上下底面的周长,（二）、圆柱、圆锥、圆台的侧面积把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就 是它们的侧面积。1、圆柱的侧面积如果圆柱底面半径是r,周长是 c,侧面母线长

3、是 1,那么它的侧面积是s圆柱侧2ti： rl2、圆锥的侧面积强台侧=9c + J"=并（/+ /）/J锥恻=不。二""的侧面积是、柱锥台的体积公式长方体的体积公式是什么？如：某长方体的长宽高分别是7cm,5cm , 4cm ,其体积为多少，即为多少个正方体?如果圆锥底面半径是r,周长是 c,侧面母线长是1,那么它的侧面积是3、圆台的侧面积如果圆台的上、下面半径是周长分别是侧面母线长是上，那么它长万体怵积公式二V .足=疝Inbc分别为长万体的长、宽.高）或V1、祖的I原理两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。2、柱体的体积公

4、式V S#=sll3、锥体的体积公式1 .:= = sit4、台体的体积计算公式嚷评=-柱体，锥体，台体之间的关系：%伴= 宓仿+而；5为5、球体的体积公式与表面积公式4 71%二-我!1 1 )利用祖咂原理可得(2 )利用极限的思想推导出球的表面积公式：S球面=4冗R2典型例题例1.有一根长为 5 cm ,底面半径为 1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘解：由题意知：BC=5 cm , AB = 8 ，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段 AC的长度即为铁丝的最短长度。AC = Mcm ）试计算这个奖杯的体积（精确到0.01cm 3）。V长方体=6例3. 一个圆柱形的锅炉，底面直径个有效数字）。8.7V= V正四棱台+ V长方体+ V球=864解：V正四棱台=V球=解：底面半径r =起=印=2.3S侧面积=cl = 2d = 1m ,高h = 2.3m 。求锅炉的表面积（保留 2S 表面积=S侧面积+ S底面积=2.3+例2.如图是一个奖杯的三视图，（单位:例4. 一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和6cm ,高是2 cm ,求三棱台的侧面积。0汾别是上下底面的中心，则7三解：如图工。连接 AO 并延长交 BC于D,