第一章 第一节 Lagrange插值公式

1、第一节第一节 Lagrange插值公式插值公式 一、插值问题的提法一、插值问题的提法四、四、 次插值次插值 n二、线性插值二、线性插值 五、插值多项式的余项五、插值多项式的余项六、小结六、小结三、二次插值三、二次插值 在生产和科研中在生产和科研中,经常会遇到这样的问题经常会遇到这样的问题:由试验或观测得由试验或观测得到了某一函数关系到了某一函数关系 在一系列点在一系列点 处的值处的值 ,需要构造一个简单函数需要构造一个简单函数 ,使使且满足条件且满足条件 这类函数逼近问题即为这类函数逼近问题即为插值问题插值问题.)(xfy 01,nxxx01,nyyy x yf xx ,0,1,.iiyxin

2、一、插值问题的提法一、插值问题的提法 称为称为 的的插值函数插值函数, 称为称为插值节点插值节点, 称为称为插值条件插值条件. x)(xfix ,0,1,.iiyxin设设 F x在在1n+个不同点个不同点ix处的函数值处的函数值1,2,iY I n 为已知，为已知，要求构造一个次数不超过要求构造一个次数不超过 n的代数多项式的代数多项式 2012nnnP xaax a xa x+1.1使使 nP x在在节节点点ix处处满满足足 niiP xy1,2, .in1.2这个问题称为这个问题称为n次代数插值问题次代数插值问题。 nP x称为称为 F x的的插值函插值函数数，ix称为称为插值节点插值节

3、点，式（，式（ 1.2）称为）称为插值条件插值条件。 可可以以证证明明，插插值值问问题题 1.11.2、的的解解是是存存在在且且唯唯一一的的。为为了了得得到到 Lagrange 公公式式的的一一般般形形式式，我我们们先先从从最最简简单单的的一一次次插插值值入入手手。 xy0 x0y1x1y已知：已知：求求一一个个一一次次多多项项式式1( )P x，使使满满足足 1( ),0,1.iiP xy i即即求求过过点点0011,xyx y的的一一次次曲曲线线 011010110( )xxxxyP xyyxxxx+二、线性插值二、线性插值若记若记01010110( ), ( )xxxxlxl xxxxx

4、则有则有10 01 10( )( )( )j jjyy lxy l xy lx+显然显然1,( )0,jiijijl xij,0,1i j 三、二次插值三、二次插值已知已知xy0 x1x2x0y1y2y要求构造一个不超过二次的代数多项式要求构造一个不超过二次的代数多项式22210( )P xa xa xa+使满足使满足2( )( ),0,1,2iiiP xf xy i不妨令不妨令2120201( )()()()()()()P xA xxxxB xxxxC xxxx+由由条条件件2()(0,1,2)iiP xyi， 得得 001021101222021/()()/()()/()()AyxxxxB

5、yxxxxCyxxxx于是得到于是得到二次插值（或抛物插值）函数二次插值（或抛物插值）函数1202201010210120222021( )x xx xx xx xP xyyxxxxxxxxx xx xyxxxx+(1.3)1200102( )xxxxlxxxxx0211012( )xxxxlxxxxx0122021( )xxxxlxxxxx若记若记或统一写成或统一写成20( ),0,1,2ijijiijxxlxjxx则（则（1.3）成为）成为220 01 12 202200( )( )( )( )( )()j jjijjijiijP xy lxy l xy lxy lxxxyxx+此式成为抛

6、物插值的 Lagrange 形式。其中( )jlx具有如下性质： 1,( )0,jiijijl xij,0,1,2i j四、四、n次代数插值次代数插值已知已知xy0 x0y1x1ynynx求求作作一一个个不不超超过过 n次次的的代代数数多多项项式式( )nP x使使满满足足 ()(),0,1,niiP xf xin不妨令不妨令 1nnjjjP xl x y1.4 1nnjjjP xlx y1.4其其中中， jlx为为 n次次多多项项式式，称称为为插插值值基基函函数数，它它满满足足条条件件 1,0,jiijijlxij1.5这这样样，问问题题 1.11.2、转转化化为为：在在条条件件1.5下下，

7、构构造造一一个个形形如如1.4的的代代数数多多项项式式。 依依条条件件1.5，容容易易得得到到 0111( )()()()()()jjjnlxA xxxxxxxxxx+0111/()()()()()jjjjjjjjnAyxxxxxxxxxx+或写为或写为 101nnijijijnjijxxxlxxxxxx+1.6其其中中 10nniixxx+。 于于是是得得到到 Langrange 插插值值多多项项式式为为 10001nnnninjjjjijijnjijxxxP xyyxxxxx+1.7由由1.6式可见， 插值多项式式可见， 插值多项式 nP x只与插值节点有关， 而与被只与插值节点有关， 而

8、与被插值函数插值函数 f x无关。无关。 01110111jjnjjjjjjjjnxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxx+从而从而五、插值多项式的余项五、插值多项式的余项 将被插值函数将被插值函数 F x与插值多项式与插值多项式 nP x之差之差 nnRxf xPx称称为为插插值值多多项项式式的的余余项项。 当当0,1,2,ixx in时时， 0niRx，所所以以 nRx至至少少有有1n+个个零零点点，因因此此， nRx具具有有如如下下的的形形式式 1,nnRxKxxxa b+ 1.8 其其中中 K x为为待待定定函函数数。为为确确定定它它，引引进进辅辅助助函函数数： ， 1nnF tf

9、 tP tK xt+ 此此处处视视 x为为异异于于节节点点的的一一固固定定点点，这这样样， F t 至至少少有有 2n+个个互互异异的的零零点点01.,nx x xx，假假定定 f t在在 , a b上上 1n+次次可可微微， 则 F t在, a b上也1n +次可微。依 Rolle 定理， F t在, a b内至少有1n +个不同的零点； Ft在, a b内至少有n个不同的零点；, 1nFt+于, a b内至少有一个零点 ，注意到 10,nnPt+ 则得 111 !0nnFfnK x+ 于于是是 1/1 !nK xfn+ 将将它它代代入入3.1式式，便便有有如如下下定定理理： 定理定理 1.

10、1 1.1 假设假设 f x在在 , a b上有上有 1n+阶导数，阶导数，0,1,ix in是是, a b上互异的点，则对上互异的点，则对 ,xa b ，存在与，存在与 x有关的有关的 , a b，使使 111 !nnnnfRxf xPxxn+ 1.9 记记 11maxnna x bMfx+ ，于是由，于是由1.9式可得式可得 111 !nnnMRxxn+， 1.10 或者或者 11maxmax1 !nnna x ba x bMRxxn+ + Lagrange Lagrange余项定理在理论上有重要价值，它刻画了余项定理在理论上有重要价值，它刻画了LagrangeLagrange插值的某些基

11、本特征。插值的某些基本特征。 注注1 1 余项中含有因子余项中含有因子 10nniixxx+，如果插值点，如果插值点 x偏离插偏离插值节点值节点ix比较远， 插值效果可能不理想。 如何选择节点比较远， 插值效果可能不理想。 如何选择节点ix，使使 1maxna x bx+ 尽可能地小？这一问题实质上是最小零偏尽可能地小？这一问题实质上是最小零偏差问题。差问题。 注注2 2 称插值节点所界定的范围称插值节点所界定的范围00min,maxiii ni nxx 为插值区间， 如果为插值区间， 如果插值点插值点 x位于插值区间内，这种插值过程称为内插，否位于插值区间内，这种插值过程称为内插，否则称为外

12、推。余项定理表明，外推是不可靠的。则称为外推。余项定理表明，外推是不可靠的。 注注 3 3 余余项项中中含含有有高高阶阶导导数数 1nf+，这这就就要要求求 f x是是足足够够光光滑滑的的。 如如果果所所逼逼近近的的函函数数 f x光光滑滑性性差差，则则代代数数插插值值不不一一定定能能奏奏效效。因因为为代代数数多多项项式式是是任任意意光光滑滑的的，所所以以原原则则上上只只适适用用于于逼逼近近光光滑滑性性好好的的函函数数。 注注4 Lagrange 插值与插值与 Taylor 插值之比较：插值之比较：Taylor 插值问题是插值问题是 求做一个求做一个 n次多项式次多项式 nP x，使满足条件，

13、使满足条件 00,0,1,kknPxfxkn 对于给定的对于给定的 f x，若导数值，若导数值 0kfx已知，则已知，则 Taylor插值问题的解为插值问题的解为 200000002!nnnfxP xf xfxxxxxfxxxn+其余项为其余项为 1101 !nnnff xPxxxn+ 由此可以看出，由此可以看出， nP x在点在点0 x邻近会很好地逼近邻近会很好地逼近 f x， 但， 但 TaylorTaylor 插值要求提供插值要求提供 f x在点在点0 x处的各阶导处的各阶导数值，这项要求很苛刻，函数数值，这项要求很苛刻，函数 f x的表达式必须相当的表达式必须相当简单才行。如果仅仅给出

14、了一系列节点上的函数值简单才行。如果仅仅给出了一系列节点上的函数值 ,0,1,2,iif xy in，则应采用，则应采用 Lagrange Lagrange 插值。插值。 如如果果只只提提供供了了 f x的的一一些些离离散散值值，并并没没给给出出具具体体的的分分析析式式 子子， 就就无无法法利利用用公公式式1.9估估计计误误差差了了。下下面面介介绍绍另另一一种种误误差差 分分析析方方法法，即即误误差差的的事事后后估估计计。 考察三个节点考察三个节点012,x x x对于插值点对于插值点x，用，用01,x x作线性插值，作线性插值，求出求出 yf x的一个近似值，记为的一个近似值，记为1y；再用

15、；再用02,x x作线性插值求作线性插值求得另一个近似值得另一个近似值2y，依余项定理，依余项定理 11012202,2.2fyyxxxxfyyxxxx12, a b 设设 fx在在, a b内内改改变变不不大大，则则 21121221xxxxyyyxxxx+故有故有 112121,xxyyyyxx1.11 1.11式表明， 插值结果式表明， 插值结果1y的误差的误差1yy可以通过两个结果可以通过两个结果 的偏差的偏差21yy来估计。来估计。 这种直接用计算结果估计误差的方法称为事后估计法这种直接用计算结果估计误差的方法称为事后估计法 112211( )2(1)()2 ()4 (1)22P x

16、xxx xex xe+0111( )max(1)()0.00862xR xx xx 例例 2 （1）用用 100，121 的的平平方方值值求求115y （2）再再用用 100，121，144 的的平平方方值值求求115y （3）考考察察（1）的的误误差差 解（解（1 1） 令令x=115,x=115,得得 y=10.71428y=10.71428解（解（2 2） 令令y=10.7228,(y=10.7228,(精确值为精确值为10.723805)10.723805)例例1 1 取节点取节点01210,1,2xxx，对，对xye建立建立 LagrangeLagrange公式，并估计误差公式，并估

17、计误差 。解解3 3 考察例（考察例（1 1）的误差）的误差 设再取02100,144xx作为节点，用线性插值可得另一个结果 210.68182y 由估计式 112121(),xxyyyyxx有 1115 121(10.68182 10.71428)0.00847144 121yy用这个误差值来修正结果用这个误差值来修正结果 ，得到新的近似值，得到新的近似值1y10.714280.084710.7228y + 通过这一途径获得近似值要通过这一途径获得近似值要y=10.7228y=10.7228与例（与例（2 2）抛物插值的）抛物插值的结果相同。这仅是偶尔的巧合吗？请同学扪思考。结果相同。这仅是