第六章 IIR数字滤波器设计1

1、第六章第六章 IIRIIR数字滤波器设计数字滤波器设计2数字滤波数字滤波： 对输入信号进行数值运算，让输入信号中的有用频率成分以较高的保真度通过，滤除（阻止）某些无用的频率成分，实现对输入信号的选频处理。分类分类：无限长单位脉冲响应数字滤波器IIR（本章介绍）（本章介绍） 有限长单位脉冲响应数字滤波器FIR优点优点： 处理精度高，稳定性好，体积小，实现方法灵活，不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。3理想滤波器的特点特点： 在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中幅度为零；幅度为零； 具有线性相位；具有线性相位； 单位脉冲

2、响应是非因果无限长序列单位脉冲响应是非因果无限长序列。理想滤波器的传输函数传输函数：012,0,jnjCeH eCn其它式中，和 是常数。理想数字滤波器的特点理想数字滤波器的特点 ( (5.2.1 ) )4幅度放大了C倍时间延迟 幅频特性为：相频特性为：群时延为： 则信号 通过滤波器输出的频率响应为： 其时域表达式： 输入信号 输出信号， 表示输出信号相对输入信号没有发生失真。CjHe 0n 0gdnd 012,jnjjjjYeXeHeCXee 0y nCx nn0n x n5假设低通滤波器的频率响应频率响应为式中， 是一个正整数，称为通带截止频率。其幅频特性和相频特性图形如下：0,0,jnc

3、jceH e0nc c O )(j H1O c c 6滤波器的单位脉冲响应单位脉冲响应为：举例：假设 由此图看出此理想低通物理不可实现由此图看出此理想低通物理不可实现 00012sin12ccjj ncj nj nh nH eednneednn05,4cn-50050-0.200.20.4nx(n)7IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 间接设计法间接设计法p 根据设计指标设计相应的过渡模拟滤波器p 将过渡模拟滤波器转换成数字滤波器。 直接设计法直接设计法 在时域或频域直接设计数字滤波器。8p 间接设计法得到广泛应用 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波

4、器供选择。 这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。 p 典型滤波器 巴特沃斯（Butterworth）滤波 切比雪夫（Chebyshev）滤波器 贝塞尔（Bessel）滤波器 椭圆（Ellipse）滤波器96.1 6.1 模拟滤波器设计模拟滤波器设计模拟滤波器（AF）的一般设计过程：（1） 根据信号处理要求确定设计指标（选频）（2） 选择滤波器类型（3） 计算滤波器阶数（4） 通过查表或计算确定滤波器系统函数（5） 综合实现并调试幅频特性体现了各频率成分幅度的衰减,而相频特性体现的是不同成分在时间的的延时。选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。对输出波形有要

5、求时，则需考虑线性相位问题。()()|() |jHjHje( )aHs106.1.1 6.1.1 模拟滤波器设计指标模拟滤波器设计指标 图6.1.1 典型模拟低通滤波器幅频特性及其指标描述：通带波纹幅度参数A： 阻带波纹幅度参数3dBpsc通带边界频率 阻带边界频率 截止频率11 系统通带的误差要求 阻带s, 幅度以最大误差1/A逼近于零，即要求 2a11(j)1Hp a( j)1/HAs 12损耗函数损耗函数（或称为衰减函数）()来描述滤波器的幅频响应特性。即当 时的边界频率称为3dB3dB截止频率截止频率，通常用 c表示2aa()20lg(j)10lg(j)HH ( )3 dB ()aHj

6、损耗函数的优点是对幅频响应的取值非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带幅频特性的变化情况。下图左边所示幅频响应函数完全看不清阻带内取值较小的波纹，下图右边所示损耗函数则能很清楚地显示出阻带波纹变化曲线。13用 表示通带最大衰减通带最大衰减 用 表示阻带最小衰减阻带最小衰减p2p2120 lg 10 lg(1) dB1 s12 0 lg2 0 lg d BAA p/ 1 01 01s/ 2 01 0As以上两式求解14,ppspssps通带内衰减要小于常数，阻带内衰减要大于常数，但对通带和阻带频响曲线的形状没有具体要求。我们把这种特性要求称为，片段指通带和阻带，常数指通带最大衰减

7、和阻带最小衰减。对低通滤波器而言，其技术指标完全由和四个常数确定。应当注意，对给定的设计指标，滤波器的设计结果不是唯一的。例如后面要讨论的巴特沃斯、切比雪夫和椭圆滤波器等都可以满足片段常数片段常数指标要特性要求求，所以要根据其他附加要求选择滤波器类型。滤波器技术指标特点15两个附加参数：两个附加参数： a.过渡比过渡比或选择性参数,通常用k表示 n 反应过渡带的性能，过渡带越窄，k值趋近于1n 低通滤波器 b.偏离参数偏离参数，用k1表示 n 越小，通带、阻带的纹波越小psk121kA1k 1k166.1.2 6.1.2 巴特沃思模拟低通滤波器设计巴特沃思模拟低通滤波器设计N 阶巴特沃思模拟低

8、通滤波器的幅度平方函数为N为滤波器的阶次， 为3dB截频。2a2c1(j)1(/)NH c17特点：特点： 在 点， 的n(n2N)阶导数等于零，因此滤波器在 点具有最大平坦幅度 滤波器幅频响应随 的增大而单调下降，因为幅度平方函数的导数小于零 阶数N越大，滤波器幅频响应特性越逼近理想低通特性。损耗函数0 0 2()aHj21| )(|jHacN=8N=80 0N=4N=4N=2N=21 122( )20lg()110lg()10lg 1aaNcHjHj 2a2c1(j)1(/)NH 18滤波器的特性由3dB截止频率和阶数N确定2( )10lg 1 ()Nc 2()10lg 1()10lg23

9、cccNdB21| )(|jHacN=8N=80 0N=4N=4N=2N=21 119截止频率与阶数如何确定？截止频率与阶数如何确定？滤波器幅频响应随频率的增大而单调下降 于是22211()1(/)1ppaNcHj22211()1 (/)aNcssHjA2()1NspA21lg1lglglg()psAkNk1lgNlgkNk（ 取满足这一条件的最小整数）1pcN 满足通带指标，阻带指标有富裕 满足阻带指标，通带指标有富裕122(1)scNA 阶数截止频率20滤波器的给定指标为通带最大衰减阻带最小衰减先求确定截止频率与阶数21lg1lglglg()psAkNk22120lg10log(1)1p

10、/2010sA120lg()20lgsAdBA /10101p1pcN 122(1)scNA 21巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数：巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数： （由 3dB 截止频率 和阶数N 确定） 式中，分母 称为N 阶巴特沃思多项式。cca( )( )NNHsDsND (s)三种形式:10( )( )NNkNNkkDsBssb s21122()1( )(),kNNjNckkkDssppe/22101( )( ),( )NNkkkkkDsB sB ssb sb( )NDs22归一化讨论：对于得：由于N较大时，计算量太大，为了方便， 归一化的N阶巴特沃思多项式系数 已制成表格供查阅：

11、1( )()NNckkDssp 11( )( )()NcaNNkkccHssDspsp令 , p称为归一化复变量111( )()( )()acNNkkG pHpDpppc( )NDp23242526 低通巴特沃斯滤波器设计步骤：低通巴特沃斯滤波器设计步骤： 由 ，求滤波器阶次N 由N查表，求出归一化极点 和归一化系统函数G(p) 令 代入G(p) ，得实际滤波器传输函数Ha(s) 。（去归一）ppss、csp/kp27 例例6.1.16.1.1： 设计模拟低通滤波器。要求幅频特性单调下降，通带边界频率fp=1 kHz，通带最大衰减p=1 dB，阻带边界频率fs=5 kHz，阻带最小衰减s=40

12、 dB。 解: :（1）根据幅频特性单调下降要求，应选择巴特沃思滤波器。 （2）计算阶数N和3 dB截止频率c。首先求出波纹幅度参数为 再求出过渡比和偏离参数 从而得到 取整数N=4 p/101/101011010.508847s/2010100Ap12s0.508850.2, 0.0050887599991kkA1lg3.2811lgkNkssc21 21 82 9934.7125/(1)9999Nfrad sA满足阻带指标，通带指标有富裕28（3）求系统函数。查表6.1.1得到归一化4阶巴特沃思多项式为 将 和c代入，得到系统函数224( )(0.76541)(1.84781)Dppppp

13、4( )Dp4ca2222ccccc152372471( )/(0.7654)(1.8478)9.7414 10 (7.6040 109.8699 10 )(1.8357 109.8699 10 )NHsDsssssssss296.1.3 6.1.3 切比雪夫滤波器设计切比雪夫滤波器设计两种类型的区别：两种类型的区别： 切比雪夫型滤波器的幅频特性在通带为等波纹，在阻带为单调下降。 切比雪夫型的幅频特性在阻带为等波纹，在通带为单调下降。 301.1.切比雪夫切比雪夫型滤波器型滤波器 N 阶切比雪夫型模拟低通滤波器Ha(s)的幅度平方函数为 为小于1的正数，表示通带波纹幅度参数。 CN()是N 阶

14、切比雪夫多项式 2a22p1(j)1(/)NHC c o s (a r c c o s) ,1()c o s h (c o s h) ,1NNxxCxN a rxx31 图6.1.4 典型切比雪夫型低通滤波器的幅频响应特性曲线 322 2切比雪夫切比雪夫型逼近型逼近 切比雪夫型模拟低通滤波器的幅频响应在通带呈现单调下降特性，而且在 =0点具有最大平坦响应，在阻带呈现等波纹特性。其幅度平方函数为2a2sp2s1(j)()1()NNHCC 33图6.1.5 典型切比雪夫型低通滤波器的幅频响应特性曲线346.1.4 6.1.4 椭圆滤波器椭圆滤波器(a) p =1dB, s =20dB, N=3,4

15、,6 (b) N =4, p =1,0.1,0.05 dB, s =10,20,40dB 图6.1.6 椭圆滤波器幅频响应特性曲线35椭圆滤波器特点：椭圆滤波器特点： 幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的。 对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。 通带和阻带内波纹固定时，阶数越高，过渡带越窄； 阶数固定，通带和阻带纹波越小，过渡带越宽；366.1.5 6.1.5 贝塞尔（贝塞尔（BesselBessel）滤波器设计）滤波器设计 (a) 幅频响应特性 (b) 相频响应特性图6.1.7 典型贝塞尔低通滤波器的频响特性曲线37贝塞尔低通滤波器特点贝塞尔低通滤波器特点 贝塞尔滤波器在通带内逼近线性相位特性。是 巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波 器滤波器所没有的。 贝塞尔滤波器的过渡带较宽，在阶数N N相同时 选择性比巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、 椭圆滤波器差。386.1.7 6.1.7 五种类型模拟滤波器的比较五种类型模拟滤波器的比较 在相同阶数N，相同通带最大衰减、阻带最小衰减要求下，巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带比两种切比雪夫滤波器、椭圆滤波器宽。 两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，介于巴特沃思滤波器和椭圆滤波器之间。切比雪夫滤波器通带内等波纹幅频特性