八年级几何添加辅助线方法

1、精锐教育学科教师辅导讲义 年 级：初二 辅导科目：数学 学科教师： 陈佳辉课 题几何添加辅助线方法教学目的初步掌握演绎推理的规则和规范表达的格式；知道基本的逻辑术语，理解命题、定理、证明的意义；懂得推理过程中的因果关联，知道证明的步骤。教学内容1.定义：能界定某个对象含义的句子。例：（1）能够被2整除的数叫做偶数。（2）有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形（3）有六条边的多边形，叫做六边形2.命题：判断一件事情的句子。（1）判断为正确的命题，叫做真命题； 判断为错误的命题，叫做假命题。例：判断下列命题为真命题还是假命题 （1）对顶角相等； （2）三角形内角和180°； （3）同位角

2、相等，两直线平行； （4）同角的余角相等； （5）互为补角的两个角都是锐角； （6）两直线相交，有且只有一个交点； （7）两点之间线段最短。 （2）命题特征：许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。这样的命题常可以写成“如果那么”的形式。用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。例如，在“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”这个命题中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果那么”的形式。就可以分清它的题设与结论。例如，“直角都相等”可以写成“如果两个角是直

3、角，那么这两个角相等”。例：把下列命题改写成“如果那么”的形式，并指出这个命题的题设和结论.（1）对顶角相等； （2）同位角相等，两直线平行； （3）同角的余角相等. （4）两条高相等的三角形是等腰三角形 3.公理：有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的命题叫做公理。例：我们已经知道下列命题是真命题：（1）两点之间线段最短。 （2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。（3）全等三角形的对应边、对应角分别相等。在本书中我们将这些真命题均作为公理。4.定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真假的

4、依据的真命题。例：（1）“两点之间线段最短”可以推导出“三角形的任何两边之和大于第三边”，而“三角形的任何两边之和大于第三边”是判断其他一些命题真假的常用依据，所以是定理。（2）“三角形的内角和等于180°”可以推导出“直角三角形的两个锐角互余”。 此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理。定理的作用不仅在于它提示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。【课堂练习】1下列语句中，属于命题的是（ ） （A）直线AB和CD垂直吗 （B）过线段AB的中点C画AB的垂线 （C）同旁内角不互补，两直线不平行 （D）连结A，B两点2下列四个命题中，

5、属于真命题的是（ ） （A）互补的两角必有一条公共边 （B）同旁内角互补 （C）同位角不相等，两直线不平行 （D）一个角的补角大于这个角3若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为（ ） （A）4：3：2 （B）3：2：4 （C）5：3：1 （D）3：1：54如图1，点D，E分别是AB，AC上的点，连结BE，CD若B=C，则AEB与ADC的大小关系是（ ）（A）AEB>ADC （B）AEB=ADC;（C）AEB<ADC （D）不能确定 (1) (2) (3)5如图2，在锐角ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若A=50

6、°，则BPC的度数是（ ）（A）150° （B）130° （C）120° （D）100°6如图3，如果ABCD，那么角，之间的关系式为（ ）（A）+=360° （B）-+=180°（C）+=180° （D）+-=180°7命题“直角都相等”的题设是_，结论是_8如图4，AD，AE分别是ABC的角平分线和高，B=50°，C=70°，则EAD=_ (4) (5) (6)9如图5，已知BDC=142°，B=34°，C=28°，则A=_10如图6，已知DB平分AD

7、E，DEAB，CDE=82°，则EDB=_，A=_二常见辅助线添置方法训练【例1】如图1，已知ABCD，求证：BEDBD A B E C 图1 D分析：题中有平行条件，由此联想到平行线的性质，想到它所对应的图形经对照发现，图中没有截AB、CD的线，所以我们要添置辅助线方法1：延长BE交CD于F，如图2所示方法2：延长DE交AB于F，如图3所示方法3：连结BD，如图4所示方法4：过E点任作一线交AB于M、交CD于N，如图5所示方法5：以EB为一边在BED内部作BEFB，或过E点作EFAB，如图6所示有些几何题目条件比较分散，条件与结论难于联系，这时往往需要巧妙地添置辅助线，将条件加以集

8、中，便于利用倍长中线法：【例2】已知：在ABC中，AD是中线，BE交AD于点F，AE=EF.求证：AC=BF “截长补短”法：截长：在线段上截取一段等于另两条线段中的一条，再证余下的部分等于另一条线段补短：延长两条线段中的一条，使其等于两条线段之和【例3】已知：ABC中，AD是BAC的角平分线，B=2C， 求证：ABBD=AC 方法1：截长法：在AC上截取AF=AB联结DF方法2：补短法： 延长AB至E，使AE=AC，联结DE【课堂练习】己知：ABC中，AB=AC，CDAB，垂足为D，P是BC上任一点，PEAB，PFAC垂足分别为E、F，求证： 当点P在边BC上，PE+PF=CD； 当点P在边

9、BC的延长线上，PE P F=CD.FEDCABGPFEDCABGP1 如果一个三角形的两边长分别是7和9，问第三边中线的取值范围。2 如图所示，已知：AD是ABC的中线，且BA=BD，BE=ED。 求证：AC=2AE3 证明直角三角形斜边的中线等于斜边的一半4 如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合）， 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。FEDCABGH求证： BCGDCE BHDE5 已知D为EC的中点，EFAB，且EF=AC，求证：AD平分BAC.ABCD6 已知：如图在ABC中，A=90°，AB=AC，

10、BD是ABC的平分线，求证：BC=AB+AD7 如图所示，已知中，AD=DB，求证：ADBC12 8 已知CE、AD是ABC的角平分线，B=60°，求证：AC=AE+CDAEBDC五回家作业：A1 如图，ABCD，AE、DE分别平分BAD各ADE，求证：AD=AB+CD。ABECD2 如图，AC平分BAD，CEAB，且B+D=180°，求证：AE=AD+BE。DAECB3 已知ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，联结CE，DE求证：CE=DE4 已知：如图示，中，平分，过作于点，交的延长线于点，联结；求证：。5 已知中，AB=2AC,AD平分AD=

11、BD,求证： 6已知：如图，在ABC中，CD是ABC的角平分线，BC=AC+AD.，求证：A=2B.回家作业B一.填空题1.把命题“两个角对应相等的两个三角形相似”改写成“如果那么”的形式 .2.把命题“同角的余角相等”改写成“如果那么”的形式_ _.3.把命题：“等腰三角形的两个底角相等”改写为“如果-那么-” .4.判断命题的真假：命题“同位角相等”是_命题. 5.判断下列命题的真假(1) 合数一定是偶数 (2) 三个连续自然数的和是的倍数 (3) 如果，那么 (4) 如果，那么 (5) 如果，那么 (6) 如果，那么 (7) 若ab，则a2b2； (8) 如果a2ab，则ab； 6、如图

12、所示，已知AB/CD，AD和BC相交于点O，若，则_。7、如图所示，_。8. 如图所示，_。9 如图所示，AB/CD，_。10如图1所示，若，则二.选择题 1.下列命题中，真命题的个数是（ ）.（1）等角对等边 （2）有两边及一角对应相等的两个三角形全等 （3）两锐角之和是锐角 （4）钝角减去锐角得锐角 （5）钝角大于它的补角 （6）锐角小于它的余角A、1个； B、2个； C、3个； D、4个.2.若 1 和 2 是同旁内角，有 130°，则 2 为（）A、30°B、150°C、30°或 150°D、无法确定3下列命题中，是真命题的有（）A、内

13、错角相等 B、平行四边形不是中心对称图形C、相等的圆心角所对的弧相等 D、平行于同一条直线的两直线平行4、下列语句不是命题的是（ ）A、两点之间，线段最短 B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗 D、对顶角不相等。5.下列命题中是真命题的是： A. 同位角都相等 B. 内错角都相等 C. 同旁内角都互补 D. 凡直角都相等6.下列命题正确的是： A. 等边三角形都相似. B.直角三角形都相似. C.等腰梯形都相似. D. 矩形都相似. 7已知的三个内角度数比为234，则这个三角形是（）A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形8如图5，下列条件中，不能判定直线的是（）A

14、 B C D 9如图6，则，的关系为（）A B CD10、如图7所示，那么与相等的角有（ ） A. 1个B. 2个 C. 3个D. 4个 图7 图811、如图8所示，B=C，则ADC与AEB的大小关系是（ ） A. B. C. D. 大小关系不能确定12. 如图，若直线ab，且分别交直线c于点A、B，170°，则2（ ） A. 70°B. 20°C. 110°D. 40°  13. 如图，已知直线a，b与直线c相交，下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（ ） A. 23180° B. 15180° C. 47

15、D. 1814. 如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是（ ） A. 同位角相等两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 内错角相等两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行三判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例。1、两条直线相交，有且只有一个公共点。 2、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。 3、正数和负数的和是正数。 4、一对对顶角的平分线构成一条直线。 5、两个锐角的和是锐角。 6、凡是能被5整除的数，个位数字一定是5。 四、完成以下证明，并在括号内填写理由（1）如右图，已知ABCD，MN与AB、CD分别相交于E、F，PQ与AB、CD分别相交于E、G，PEM27°，DGQ63°。求证：MNCD。证明：ABCD（ ） _63°（ ） 又GEFPEM27°（ ） BEFBEGGEF63°27°90°， _AB（ ） _CD（ ）（2）如图，在RtABC中，CD是斜边AB的高，求证：B