八年级同步第14讲：正比例函数的图像及性质-教师版

1、八年级暑假班3 / 20内容分析正比例函数的图像及性质正比例函数的图像及性质是八年级数学上学期第三章第二节内容，主要对正比例函数的图像及性质进行讲解，重点是对正比例函数的性质的理解，难点是正 比例函数表达式的归纳总结.通过这节课的学习为我们后期学习正比例函数的应 用提供依据.知识结构模块一：正比例函数的图像知识精讲、正比例函数的图像1、一般地，正比例函数 y kx（ k是常数，k 0）的图象是经过（0,0）, （1, k）这两点 的一条直线，我们把正比例函数y kx的图象叫做直线y kx ;2、图像画法：列表、描点、连线.【例1】已知正比例函数y 2x.列表：取自变量X的一些值，根据正比例函数

2、的解析式，填写下表.x21.5-10.500.511.52y 2x-4-3-2-101234描点：分别以所取 x的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点.连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接.【难度】【答案】见表格；见图.【例2】在同一直角坐标平面内画出下列函数图像.(1) y(2) y(3) y32x；(4) y14X；3一x .2【答案】见图.【解析】考查正比例函数图像的画法.【解析】考查正比例函数图像的画法.1【例3】函数y1X的图像是经过点、的5【难度】1【答案】0,0 ,1, 1 , 一条直线.5【解析】考查正比例函数图像的特点.【例4】 (

3、1)正比例函数y kx的图像是 ，它一定经过点 和.1(2)函数y kx (k 0)的图像经过点 A -,5),写出函数解析式，并说明函数图像经过哪几个象限？【难度】【答案】(1) 一条直线，0,0 , 1, k ;(2) y 10x ,经过二、四象限.【解析】考查正比例函数解析式的解法和图像性质.【例5】 已知y 2与x成正比例，且 x=2时，y=4;(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若点(m, 2m+7),在这个函数的图象上，求 m的值.【难度】【答案】(1) y x 2 ; (2) 5【解析】(1)设y 2 kx,将x=2时，y=4代入其中可得：k 1,则y x 2;(2)点(m,

4、2m+7)在这个函数的图象上，则 2m 7 m 2 ,解得：m 5 .【总结】本题一方面考查利用待定系数法求函数解析式，另一方面考查根据函数解析式求函数值或者是自变量的值.【例6】 已知正比例函数图像上的一点到 x轴距离与到y轴距离之比为1:2,则此正比例函 数的解析式是.【难度】【答案】y x或y x . 22【解析】由题意可知，该点的横坐标的绝对值是纵坐标绝对值的两倍，然后再求解析式.【总结】注意距离需要分正负.八年级暑假班【例7】 如果正比例函数的图像经过点(2, 4),说明(4,16)是否在这个图像上，并作出该正比例函数的图像.【难度】【答案】y 2x, ( 4,16)不在这个图像上，

5、图像略.【解析】设正比例函数解析式为y kx(k 0),将点(2, 4)代入，可得：k 2,所以该正比例函数的解析式为 y 2x.当x 4时，y 2 ( 4) 8 16 ,所以点(4,16)不在 该函数的图像上.【总结】考查正比例函数解析式的求法、图像的画法.【例8】 已知函数y (t2 2)x 2t 1,当t为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析式是什么？【难度】一17【答案】t1；y7x.2421【解析】函数y (t 2)x 2t 1经过原点，则2t 1 0,解得：t -.代入表达式中可得，函数解析式为：y -x.4【总结】本题主要考查正比例函数的概念.【例9】一个正比例函数的图像经过点

6、A ( 1,3), B( a , a 1),求a的值.【难度】【答案】a -. 4【解析】设正比例函数的解析式为y kx(k 0),图像经过点A( 1，3),k 3,则 k 3.图像经过点B( a，a 1),1 a 1 3a,则 a -.4【总结】本题一方面考查利用待定系数法求正比例函数的解析式，另一方面考查利用解析式求图像上点的坐标.【例10】已知y是x的正比例函数，且当 x 6时，y 2.(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P (a, 4)在这个函数的图像上，求 a的值；(4)试问点A( 6,2)关于原点对称的点 B是否也在这个图像上？【难度】

7、1【答案】(1) y x； (2)图略；(3) a 12； (4)在.31 【解析】(1)设正比例函数解析式为 y kx(k 0),当x 6时，y 2 ,代入可得：k -.31 所以这个函数的解析式为 y - x ；3(2)图略；公1，一(3)将(a, 4)代入 y x 中，得：a 12；31(4)易得点B坐标为(6 , 2),将x 6代入y - x ,得y 2 ,所以点B也在这个3函数的图像上.【总结】考查正比例函数图像上的点坐标需要满足函数解析式.【例11】已知点A( 6, 0),并且点B(1, m)在直线y 3x上，求 OAB的面积.【难度】【答案】9.【解析】,一点B(1, m)在直线

8、y 3x上，1. m 3 . c1 八 c cS»A OAB 6 3 9 2【总结】考查正比例函数图像上的点坐标和解析式的关系，注意点坐标与线段长度之间的转换.【例12】正比例函数的图像经过点（-2, 5）,过图像上一点 A作y轴的垂线，垂足 B的坐标是（0, -3）,求点A的坐标与 AOB的面积.【难度】【答案】9 .5【解析】.正比例函数的图像经过点（-2, 5）,正比例函数的解析式为y 5x.2,过图像上一点 A作y轴的垂线，垂足 B的坐标是（0, -3）,.A点的纵坐标为-3,A 3 .5S>A OAB【解析】考查正比例函数图像上的点坐标和解析式的关系，注意点坐标与线段

9、长度之间的转 换.1【例13】已知直线y kx过点（一，3）, A是直线y kx上一点，右过点 A向x轴引垂线，垂 2足为B,且S AOB的坐标.9 / 20【难度】15【答案】=，0 ,31【解析】直线y kx过点（，3）, 21 . C-k 3, k 6, y 6x.2,A是直线y 6x上一点,可设 A m,6m ,12 m 6m 5.,151515B点坐标为 二，0，1，033【总结】注意点坐标与线段长之间的转换.【例14如图，长方形 OABC的边BC = 6, AB = 3,(1)直线y kx交边AB于点P,求k的取值范围;(2)直线y kx把矩形OABC的面积分成两部分，靠近关于k的

10、解析式.【难度】【答案】(1)当直线y kx经过点B 6,3时,x轴的一部分记作S,试写出S(2)由图可知：P 6,6k ,一1-1S-OAPA-6 6k 18k22模块二：正比例函数的性质【解析】注意点坐标与线段长度之间的转换.知识精讲二、正比例函数 y kx(k是常数，k 0)的性质：(1)当k 0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大.(2)当k 0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小.【例15】直线y (2 m)x经过一、三象限，则 m【难度】【答案】m 2 .【解析】考查y kxk 0的图像经过

11、一、三象限.【例16】已知正比例函数y 5 2k x的图像经过第二、四象限，求k的取值范围.【难度】,5【答案】k 5. 25【解析】由题意，可得： 5 2k 0,解得：k 5.2【总结】考查y kxk 0的图像经过二、四象限.【例17】若正比例函数y (m 3)x , y的值随x的增大而减小，则 m【难度】【答案】m 3.【解析】由题意，可得： m 3 0,解得：m 3.【总结】考查y kxk 0的图像性质y的值随x的增大而减小.【例18】y ( 3)x图像经过 象限，y的值随x的值增大而 【难度】【答案】一、三；增大.【解析】由题意，可得： 3 0,所以图像过一、三象限.【总结】考查y k

12、xk 0的图像y的值随x的增大而增大.【例19当2=时，y (a 3)x (a2 9)是正比例函数，图像经过第 象限.【难度】【答案】3;二、四.a2 9 0【解析】因为正比例函数，所以 a 9 0,解得：a 3,所以图像过二、四象限.a 3 0【总结】考查y kxk 0的图像y的值随x的增大而减小.【例2。】已知点(x1, y1 ),( x2,y2)在正比仞函数y k 2 x的图像上，当x1 x2时，y1 y2 ,那么k的取值范围是多少？【难度】【答案】k 2 .【解析】当xi 4时，Vi 丫2,可以理解成y的值随x的增大而减小.【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质.一一， 一 、 ，一

13、- . 一 一，.、一，r 2 r U【例21】已知正比例函数y (m 3)xm m5,那么它的图像经过 象限.【难度】【答案】一、三.【解析】: m2 m 5 1 , m 3 或 m 2 ,又 m 3 0 , m 2 .图像过一、三象限.【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质.【例22】正比例函数y mxm【难度】【答案】亘. 2【解析】由题意，可得：m22,正比例函数y mxm mn. 5 1m 0 , m .2的图像经过第一、三象限，求m 1,则 m 2的图像经过第一、三象限,m的值.【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质.八年级暑假班【例23】已知mn 0 ,那么函

14、数y mx经过 象限，y的值随x的值增大而 .n【难度】【答案】二、四；减小.【解析】mn 0, . m 0,所以图像过二、四象限，并且 y的值随x的值增大而减小. n【总结】考查y kxk 0的图像y的值随x的增大而减小.【例24如果正比例函数y kx (k 0)的自变量增加5,函数值减少2,那么当x 3时，y【难度】【答案】-.5【解析】,正比例函数 y kx (k正比例函数解析式为 yt 2当 x 3时，y - 350)的自变量增加5,函数值减少2,二. k -52一x .565【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质.【例25(1)已知y ax是经过第二、四象限的直线，且 7a

15、3在实数范围内有意义,求a的取值范围;(2)已知函数y 2m 1 x的值随自变量x的值增大而增大，且函数 y 3m 1 x的值随自变量x的增大而减小，求 m的取值范围.【难度】11【答案】(1)3 a 0; (2)- m 1.23.,r a 0【解析】(1)由题意，可得：，所以3 a 0;a 3 012m 1 0 ，口m 2 (2)由题意，可得：，解得：2，所以3m 1 01m -3【总结】考查正比例函数图像的性质.【例26】正比例函数y 4m 1 x的图像经过点A(x1,y1)和B(x2, y2),且该图像经过第四象限.(1)求m的取值范围；(2)当天 X2时，比较yi与y2的大小，并说明理

16、由.【难度】1【答案】(1) m ； (2)yi y2,正比例函数y的值随着x的增大而减小. 4【解析】考查正比例函数图像的变化情况.【例27】已知函数y2x,自变量x的取值范围是45 ,x 一,求y的取值氾围.56【难度】【答案】5 y 8.3545855【解析】4x382x5,52x56533y的取值范围.【例28已知在正比例函数 f x 2m2 m2 7 ,3 x 中,y随x的值减小而减小.【总结】本题还可以画出正比例的函数图像，利用图像求15/20(1)求m的值；,、2(2)求 f 一3x取何值时，y 2?(3)在直角坐标平面内画出函数图像，并根据图像说明，当【难度】2 -一【答案】(

17、1)2; (2) W ; (3)图略；x 2.3【解析】(1)由题意，得：2m2 7 1,则m 2.,y随x的值减小而减小， 2m 3 0 , m 2;, 一122(2)由(1)可得：y x, f -；33(3) y x 2 , . x 2 .【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质.【例29】已知正比例函数过 A(2, 4),点P在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面内另有一点B (0, 4),且Sabp 8,求：点P的坐标.【难度】【答案】2,4或6, 12 .【解析】因为正比例函数过A(2 , 4),则正比例函数解析式为y 2x .设P的坐标为m, 2m , , c11.1.八C

18、当P在OA反向延长线上时，则 SAABPSA BOPSA BOA二4m 二428 ,22m 2, P 的坐标为 2,4 ；, 八八八1.1.八c当P在OA延长线上时，则SA ABP SA BOP SA BOA 二 4 m 二 4 2 8 , 22m 6 ,P 的坐标为 6, 12 .P的坐标为2,4或6, 12 .【总结】本题综合性较强，主要考查面积与函数的关系，主要两种情况的分类讨论.【例30】两个正比例函数y1 k1x与y2 kzx,当x 2时，y1 y2 2,当x 我时,X y2 = 5 应.(1)求这两个函数的解析式；(2)当x = 3时，求y； y22的值.【难度】【答案】(1) y

19、1 2x , y23x ； (2) 45.【解析】(1)由题意，可知:2k1 2k2 2k1 26kl "2k2 5五'''k23这两个函数的解析式为:V1 2x 与 y23x ；(2)当 x = 3 时，y1 2xy23x22 _ 2_ 2_，y； y； 62945.【总结】本题主要考查复合函数的运用，注意对题目条件的准确理解.13 / 20八年级暑假班随堂检测【解析】将x 1代入y 72x,得y22 ,所以点P的坐标是1, 22 .【总结】本题主要考查函数图像上的点与函数解析式间的关系.【难度】【答案】图像略.【解析】考查正比例函数图像的画法.【习题2】若

20、点P在直线yJ2x上，且点P的横坐标为1,那么点P的坐标是【难度】【难度】【答案】y 3x .【总结】本题主要考查利用待定系数法求正比例函数的解析式.【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质.鹏,则y1与V2的大小关D.以上都有可能B.【习题1】 在同一直角坐标系内画出下列函数的图像：y 3x与y1x .31, V2 .【习题3】若正比例函数的图像经过（【解析】设正比例函数解析式为：ykx（k 0）,将（-1, 3）代入，得：k 3.所以此正比例函数的解析式为:y 3x .【习题41 已知（x1, y1）和（x2, y2）是直线y4x上的两点，且x1).B.3 V2C -y1y2B【解析】因为

21、比例系数为4 0 ,所以y随x的增大而减小.故选-1,3）,则正比例函数的解析式是不AtsA.【习题5】 正比例函数y kx(k 0)的图像经过一、三象限，且经过点 (k 2 , 2k 1),则k .【难度】【答案】1.【解析】设正比例函数解析式为：y kx(k 0),经过点(k 2, 2k 1)贝U k k 2 2k 1 ,贝U k 1,正比例函数y kx(k 0)的图像经过一、三象限，. k 0,k 1.【解析】考查正比例函数图像的性质.【习题6】如果正比例函数 y kx(k 0)的自变量取值增加1,函数值相应地减少 4,则k =.【难度】【答案】4 .【解析】考查正比例函数的变化情况.【

22、习题7】 已知y是x的正比例函数，且当 x 72时，y=2,求y与x之间的比例系数，写出函数解析式，并求当 y 4点时，x的值.【难度】【答案】四，y 72x, x 2灰.【解析】设正比例函数解析式为：y kx(k 0),将x J2,y=2代入，得：k J2 .故函数解析式为：y 42x,当y 4向时，衣x 4百，解得：x 2而.【总结】本题主要考查正比例函数解析式的求法.17/ 20八年级暑假班【习题8】 已知2y 3与4x 5成正比例，且当 x=1时，y=15,求y与x的函数关系式.【难度】【答案】y 6x 9.【解析】设2y 3 k 4x 5 (k 0),当 x=1 时，y=15,贝U

23、2 15 3k 4 1 5 ,解得：k 3. 2y 3 3 4x 5 ,y 6x 9.【总结】本题主要考查利用待定系数法确定函数关系式.【习题9】 如图，在同一直角坐标系内，已知函数y k1x中，y随x的增大而减小，函数y k2x,满足k1k2 0,则y k1x与y k2x的图像大致为().25 / 20【难度】【答案】Bki 0,且此函数经过二、四象限【解析】,一函数y kx中，y随x的增大而减小,0,此函数经过一、三象限.【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质.【习题10已知正比例函数的图像经过点（2, 8）,经过图像上一点 A作x轴的垂线，垂足为点B（0, 6）,求：（1）点A的坐标；

24、（2） AOB的面积.【难度】39【答案】（1） A ,6 ； （2）. 22【解析】（1）由题意，可得：正比例函数的解析式为 y 4x.经过图像上一点 A作x轴的垂线，垂足为点 B （0 , 6）,.A点的纵坐标为6, A -,62(2) S>A AOB16 3 922 2【总结】本题主要考查利用待定系数法求正比例函数的解析式以及利用点的坐标确定三角形 的面积.【习题11已知平面直角坐标系内一点P（2a , 3a）,过点P作y轴的垂线，垂足为点 H ,如果 Spoh 15.求：（1）点P的坐标； （2）直线OP的解析式.【难度】【答案】（1） 2而,3而，2而，3后；（2） yx. 2

25、【解析】（1） SAPOH 1 |2a |3a 15,，a 括.点P的坐标为26,3石，2而，3dM ;3（2）将2忐，3%/5 ,245, 3。5随便一个点代入y kx中可得：y -x.【总结】本题主要考查函数与面积的关系，注意距离与坐标间的关系转化.【习题12如图，已知长方形 ABCD的长AB = 4cm,宽BC = 3cm,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为xcm, AABP的面积为y cm2 ,当动点P在BC上运动时，求y关于x的解析式及其定义域;(2)当动点P在DC上运动时，怎样表示 y?并求x的取值范围;2当x取何值时， ABP的面积为2 cm

26、?(2)CPB(3)【解析】1或9.(3)那BP的面积为2cm2,GABP的高为1,则x 1或9.【总结】本题主要考查动点与函数关系式的结合，注意观察动点的运动轨迹.课后作业【作业1】在同一直角坐标系内画出下列函数的图像:【答案】如图.【解析】考查正比例函数图像的画法.y 4x 与 y x .2【作业2】已知点A (m, -3)在直线y 黎x上，那么m=【难度】【答案】<3 .【解析】考查正比例函数图像上的点坐标与解析式之间的关系.【作业3】已知正比例函数 y (6 4k)x的图像经过第二、四象限，求k的取值范围.【难度】【答案】k 3.23【解析】.正比例函数 y (6 4k)x的图像

27、经过第二、四象限，6 4k 0,即k 3.2【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质.2【作业4】已知函数y (m 1* 是正比例函数， m =；函数的图象经过 象限；y随x的减少而.【难度】【答案】-1;二、四；增大.【解析】考查正比例函数图像的性质.【作业5】已知y与x成正比例，且x = 2 时 y = -6 ,贝 U y = 9 时 x =【难度】【答案】3.【解析】设y kx(k 0),将x = 2, y = -6代入，可得：k 3 ,所以y 3x .当y = 9时，3x 9 ,所以x 3.【总结】考查正比例函数解析式的求法.【作业6】点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长 21cm的蜡烛，点燃6分钟 后，缩短3.6 cm.设蜡烛点燃