高中数学同构函数精讲讲义

1、同构函数高中数学中的同构构造第一讲在数学的解题活动中,经常会碰到一些不等式(或等式)左右两边找(结构相同，或苕礴到两个结构 完全相同的方程，这时我们就会根榭它们相同的特征，抽象出一个函数、数列或苕方程来解决问题，这就 是同构构镇。我们可以先就这初中数学举个例子：例题1：如果实数("6)汹足a2 -13a-14 = 0, b2 -136-14 = 0,则 +色的值为多少？a b这个题目相信大家应该很熟悉了吧,这也自然可以看作是一个同构，我们可以把这两个相同的结构视 作个函数，是这个方程的两个解，那这个问题就变成了：变：己知实数qb是/-13x-l4 = 0的两个根,求白+色的值为多少？

2、a b那么这个问题就变得筒单的多/,因为更好理解了!上面的这个过程呢就是同构中构造方程的过程,我们一起来看一下例题！例题2：已知函数/(x) = L-1(a>0,x>0),若/(x)在认可上的值域是求的取值范 Cl A围.例题3:若函数/(X)= JE+？在区间可匕的值域为9>021),则实数机的取值范国是高中数学中的同构构造第二讲复习：什么叫做同构构造？什么叫做同构式？同构式有哪些应用？例题1:已知函数旷=优(41)的定义域为见可，值域为卜.,则实数的取值范围例题2：已知实数0。力，旦则实数。的取值范围例题3：己知函数/(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶的数，且对任总实

3、数x都有xf(x + l) = (.r+l)/(x).则/2015的值足例题4:若0为X? V1 ,则（A. er- - eT| > lnx2 - InxB. eT - ex： > ln.r2 - nx C. x2e'1 > xxeX2 D. x2eXl < 町. In r例题L已知人O,e“N-对于恒成立，求大的取值范围.例题2：尝试对log?一人2k20进行同构变形并写出相应的同构函数运用上面的知识解决卜列问题：1、对于任意的；r>0,不等式/>1咀工（。>0,且办1）恒成立，则。的取值范围是2、设实数 i>0,若对任意的xNe,若不

4、等式X，In.v-zne，20恒成立，则 i的最大值为20.(本小题满分16分)一 一一 1已知函数 f(x) alnx(a R).x(1)当a= 1时，求函数f (x)的单调减区间；(2)若不等式f (x) x对x (0, 1恒成立，求实数a的取值范围；(3)当aw 2时，试问过点P(0, 2)可作y f (x)的几条切线？并说明理由.20.锦：(l)a = 1 时/'(4=- + - =寸，令/'O) <O,pijx (0/).所以/(才)的单 X X X谑减区间为(0,1). 2分(2)令g(x) =/(«) T = ainx + - - x.gf(x)=

5、0 - 1 - 1 = 工.产;. xft xx令夕名)=-#' + cm - 1 .丁 M。)= - 1 <0,乂夕(】)=0-2,当aW。时*C) <0,8<G在(0,1上恒成立，,在(0J上单调递减/W a 8=0成立；当 0 VaV2 时, =/-4 vO.rO) < 0,(x> V0.，gG)在(0/上单调递成,g(x) Ng =0成立；当。>2时MD )o.2GO在型(0.1)上方啜一写点.记为，0.且爪力)在(。,%)上递减在(3/) 上递增，A当# e (xt9l)时常(外< <(I) =。不成立.综上:a W 2. S分

6、<3)设过R0,2)的切线的切点为(看,力)，则由/'(*) =-±，£知，切线方程为r - ( + al叫)=(-+义)(4-Xj),'父I/ I 苞 町,又切线过?(0,2).得2 - (J alnxj =( -占+ 扑-力2即 aliM) g - 2 = 0. * 7 分寿1令 A(x) = anx + - - a - 2(x > 0) tAr(x) = -="三”XxX1当a«0时"W vO,A(£)在(0,：b)上递减,由W1) = -aO.A(e)=十-20,所以A(x) =0只有一解卸切线只有

7、一条；9分当0<aw2时,令/=0,“；由山)在(0,：)上单调递减，在(：，+ 8)递增，又乂1)= -a«0,所以人信卜0, 11分2一方面八(£)=alnr * - -2 - a >nlnx - 2 - a t xA(c*) >0f X 0 va w2,.,.->0f A 上7 > 1 , a,H")在(1 ,c宁)上有零点; 13分另方面:由(2)知工*21nxx对3e (0恒成立” -2lru对了 e (0恒成立. XX己当工(】时，有 2h(x) =fllnx +；-2 afllru + 2a -41nx - 2- o&g

8、t;(a-4)lru-2-at.,/(田> >0,又0<aW2 时，巧 <0.二0<二 v 儿a -4/(x)在(/牝1)上和零点,故伏工)有两个零点,即切线有两条. 15分综上.当a W0时,切线有一条； 当0<QW2时.切线有两薪16分19.已知函数 f(x)= Inx + 1 x- 22+1 + a. X N X X当a=0时,求函数f(x)在x=1处的切线方程；(2)若函数f(x)在定义域上单调增，求a的取值范围；若函数f(x)在定义域上不单调,试判定f(x)的零点个数，并给出证明过程.19.解：(1)当 a 。时，f(x)ln x1 ln x，则f

9、 (x)xx在x 1处的切点为(1,0),切线斜率为f所以函数f(x)在x1处的切线方程为y1.In x x 2a 1(2)因为 f(x)a(a R).x 2 2x2ln x 2a 32，x2所以f(x)的定义域为(0,)； f (x) x又因为函数f(x)在定义域上为单递增函数,所以f (x) x-21nl 2a 3 0在x 0时恒成立, x即x2 21n x 2a 3 0在x 0时恒成立,设 g(x) x2 21n x 2a 3(x 0),则 g (x)2x2 2当0 x 1时，g (x) 0 ,则g(x)在0,1上为减函数,当x 1时，g (x) 0 ,则g(x)在1, 上为增函数,2x

10、 21n x 2a 3 0在x 0时恒成立g(x)min g(1) 4 2a 0,(3)因为 f (x)所以f (ea)即f(x)在定义域上不可能始终都为减函数,10分所以a 2.9分2x 21n x 2a 32，xe2a 3旷0 ,则f (x) 0不可能对x 0恒成立,2e2a，-,由(2)知函数f(x)为增函数a 2 ,所以若函数f (x)在定义域上不是单调函数a 2 又因为f(1) 0,所以x 1是函数f(x) 0 一个零点 令 f(x) 0 ,得 21nx x2 2ax 2a 1 0设h(x) 21n x x2 2ax 2a 1 ,则f (x)与h(x)有相同的零点， 22(x ax 1)2令 h (x) 0 ,得 x ax 1 0 ,x因为a 2 ,所以a2 4 0,所以x2ax 1 0有两个不相等实数解 x,x2,因为xx21,xx2a 2,所以不妨设0x11x2 , 12分当 x (0,x)时，h (x) 0, h(x)在(0,x)为增函数当x (xx)时，h (x) 0 , h(x)在(0, X)为减函数当x (x ,)时，h (x) 0 , h(x)在(0,x)为增函数则 h(x) h(1) 0,h(x2) h(1) 0 14分又因为a 2时，0 ea 1 , 2a