现代控制理论中的数学知识

1、Chapter0数学知识a100A 00 ;00 anWord文档0.1复数的指数形式如下图，复平面上的一个单位矢量,其长度为1,其方向与x轴的夹角为9 ,该矢量可以用指数形式ej来表示。由此可以得到Euler 公式： ej cos j sin实部和虚部分别为：x cos y sinej e jej e jcos sin 22j著名的Euler公式将“实函数”与“虚函数”联系起来。帑角公式例1 :利用Euler公式可以简便的得到三角函数的 (ej )2 (cos jsin )2 ,左边二(ej )2 ej2cos2j sin2 , 右边(cos2sin2) j2sin cos,比较两边“实部”

2、和“虚部”得cos2 cos2sin2sin 2 2sin cossinh xx x e e 定义：双曲余弦函数 coshx ，双曲正弦函数2得至U关系式：cosh x cos jx , sinh x j sin jx0.2矩阵知识 0.2.1矩阵形式单位矩阵1 0 000 ,纯量矩阵0 0 1100A aI a 00001a 0 000 ；0 0a对角矩阵aj 0, i j±(T)三角矩阵：a。0, ； j,A上aii.ain0；A下00ann加000ani.ann&1, a。a ji对(反)称矩阵：,A对称a。a jiamanaii；A反称ainannain.ann任一矩

3、阵都可分解为对称矩阵与反称矩阵之和:AAT对称矩阵AAT工反称矩阵A、B可交换(ABBA )的充要条件是AB为反称矩阵。矩阵指数定义:At ek4I AA2t2k 0 k!2!i k kA t k!(DAt eLi(sIA) i频域求法或叫Laplace变换法;(2)I ； (3)At A A(t )At、e e e ; (e )At(5)若矩阵A、B满足交换律AB BA,则有eAtBt ee(A B)t ;(6)/ At、k kAt /d At * At At /(e ) e ;e Ae e A;dt(8)设P是与A同阶的非奇异矩阵，则有eP i APtAtP；(9)传递性:对任意满足t2t

4、it0 ，有 eA(t2ti)eA(ti e%)A(t2 t。)e o例2:当AA2.AkeAtk 包k!k!tkk!ki ki tk!k. k nt0 k!e 1t即A为纯量矩阵,At eWord文档例3:当InInA1 ，0A1A2nAnA1n0100,特征值全部为0,故Ai次幕零矩阵。0.2.2矩阵操作卜列操作不改变矩阵秩数:交换行列次序； 某行乘纯量倍加到其他行去;“列矩阵”的转置等于分别转置后的“行矩阵”；利用矩阵的转置运算可将“列矩阵”表达为“行矩阵”形式。某行乘(0)纯量倍；矩阵转置。代数余子式 将去掉矩阵A的第i行，第j列后产生的(n 1)阶子矩阵的行列式记作(i,j),则A(

5、aj)的代数余子式可表为A ( )i j (i,j);矩阵转置AT满足ait a/，i 1,2,.,n; j 1,2,.,m ;称为转置矩阵。TBTC T T T TC 八八(AB)T BTAT; (B AB)T;(C A C )；为(C AC)TB Av/M这就是说：“行矩阵”的转置等于分别转置后的“列矩阵”矩阵共腕 A* ai*,矩阵元实部不变符号，虚部变符号; .一一.一*丁丁 *共腕转置矩阵A (A )T (AT) , A A, AB BA,.一一 . 一 、 、” 一一 、一 -厄米(Hermite)矩阵：称？两足关系式A A为Hermite矩阵，由止义可知Hermite矩阵A一定是

6、方阵，且对角线上元素均为实数。由定义可知，实对称矩阵是Hermite 矩阵;al na11矩阵的迹 Tr : TrA Tran . annan1 . ann对于同阶方阵 A、B, Tr(A B) Tr(A) Tr(B) , Tr(AB) Tr(BA);矩阵“行”、“列”、“元”的提取：定义:第i个元素为1,其他元素均为0的行向量hi, hiP Pi ,即用 1的行向量hi左乘矩阵P,可将矩阵P的第i行“提取”出来；定义：第j个元素为1,其他元素均为0的列向量lj, Plj Pj,即用j 1”的 列向量lj右乘矩阵P,可将矩阵P的第j列“提取”出来；hi、lj同时作用可提取P矩阵的Pj元：hi

7、Plj pj。0.2.3矩阵的代数运算矩阵加法、减法 对各矩阵元进行ana1nb11b1na11bna1 nb1nan1a nn bn1bnnan1bn1annbnn矩阵乘法 ABCm n n p m p结合律成立(AB)C A(BC)分配律成立A(BC)ABAC交换律不成立 首先，AB存在,BA不一定存在，即A Bn p p mB A不成立。即使p m n pBA存在，也不一定有BAAB ,故矩阵乘积不满足交换律。anA 1 B AB Ian1矩阵除法矩阵除法按“1”幕进行定义若AB I ,则B A 1称为A的逆矩阵，当方阵A存在逆A 1时，就说A是非奇异的。当方阵A存在逆A1时 A 0。

8、(AC) 1 C 1A 1a1nbl1.b1n10000annbn1 bnn001逆矩阵A 1、矩阵的求逆 将欲求逆的矩阵A与单位矩阵I放在一起变形，当矩阵A处变为单位矩阵I时,AX单位矩阵I处就变为A 1 了，即 AI变形I A 或者 I X特别地Ajb一AAjb称为伴随矩阵,detA为矩阵的行列式。fi fi e he a da dcfc fbD “矩阵元”矩阵的求逆运算当矩阵的“矩阵元”仍为矩阵时,其矩阵求逆运算仍和“矩阵元”为“数”时的情况AB.AB相似，设：pCppDkCDk p k k这表明A、D必定是方阵，有可能存在逆，而C、B不一定是方阵，谈不上求逆。AA BC I (1ABB

9、DCA DC 0CBDD当存在A 1时：由得A A 1(IBC ),代入得 C (CA 1B D) 1CA 1 ；再代回上式得 A A 1I B(CA 1B D) 1CA 1同理，由B A1BD ;代入得D_1 _1(D CA B);再代回上式得_1 _ _1 _1B A B(CA B D)A 1 I B(CA 1B D) 1CA 1 A 1B(CA 1B D) 1(CA 1B D) 1CA 1(D CA 1B) 1同理，当存在D 1时，可求出:(A BD 1C) 1(BD 1C A) 1 BD 1_1_ 1_1 _11_1 1特例:A 1BD 1D 1D C(BD C A) D I C(BD

10、 C A) BD A 10D 1CA 1 D 1 特例b“矩阵元”矩阵行列式的求法（只有方阵才存在行列式）A B detC Ddet A det Bp p k kdet(CD); detk kA detC0 detA detDD矩阵行列式detAa)1a1nD为同阶方阵时:det(AD) det A det D ;an1幕零矩阵存在某正整数m,满足Am0,称n阶方阵A为幕零矩阵，A为幕零矩阵的充要条件是A的所有特征值为零AX A, i 0 i 1,2, , n正交矩阵若P为正交矩阵PTP I ,正规矩阵称满足AA 一 .一 一 .一 .一 .一AA的A矩阵为正规矩阵。Hermite矩阵（A A

11、）、酉矩阵U (UUI ）都是正规矩阵;ann 0.2.4矩阵的微积分运算da11da1ndA. dt.dta11.a1ndtdan1dannan1anndtdta11dt.a1ndtA(aij)dtA(aij dt)an1 dt.anndt矩阵微分对各矩阵元进行矩阵积分对各矩阵元进行0.2.5矩阵的一些性质 . 酉矩阵方阵U满足UU I ,即矩阵转置取共腕后与自己相乘后等于单位矩阵,* 一4-、 dUkiUkjij时称为酉矩阵。酉矩阵有如下特征：方阵U为酉矩阵U U1；k 1 一 、- - 一 - - - 方阵U为酉矩阵 U也是酉矩阵；Ui、U2为酉矩阵时，U1U2仍为酉矩阵；酉矩阵U行列式

12、绝对值为1,即detU| 1 ;实酉矩阵U 正交矩阵，因为 。U (U*)T U U为实矩阵(U)T U I正交矩阵，而正交矩阵的行列式值为detU 1。特征化(A I)x 0,存在x 0解的充要条件是det( I A) I A 0, 称为A的特征值。求A的特征值 就是解| I A 0, n阶方阵A有n个特征值。det A 00,即A的行列式为零时，其特征值也为零 0; 若A的特征值为，则A 1的特征值为1 (互为倒数)；矩阵对角化 对于方阵A,存在非奇异矩阵P ,使P 1AP化成三角矩阵，此时对角线上的元 素即为A的特征值；进一步，若A的特征值全部相异，则存在非奇异矩阵P ,使P 1AP化为

13、对角矩阵，且对角线上的元素即为 A的特征值； 对于方阵A ,存在非奇异矩阵P ,使P 1AP成为Jordom矩阵：Jk1( 1)00i 001 P AP 00 ，其中 Jki( i)0000 Jkr( r)00 i等价：若存在非奇异矩阵P、Q ,使PAQ B或者P AP B ,或者PAP B ,则称A、B等价A B;相似：若对于方阵A、B,存在非奇异矩阵P,使得P 1AP B,则称A、B相似;0.4 Taylor 级数一个函数是否能由幕级数 f (x)an(x Xo)n表示？如果能展开，如何确定an?展开式是否唯一?定理1.如果函数f(x)在U (Xo)内具有任意阶导数，且在 U (%)内能展

14、开成(x Xo)的幕级数，即f (x)an (x Xo)n ,则其系数 ann 01(n)/f(xo), n0,1,2,.,n!其展开式是唯一的。证明： f(x)在U (Xo)内能展开成(X Xo)的幕级数,f(x) ao2/”(x Xo) a?(x Xo). an(xXo)n逐项求导任意次：f (x)a1 2a2(x Xo) . nan(x x°)nf (X)n!an(n 1)n.3 2an 1(x x0)令x %即得Taylor系数:anf- f (n)(x0) ,n!f (x) f (n)(xo)(x Xo)nn o n!Taylor系数是唯一的，所以展开式也是唯一的。若在Xo

15、0处展开,f(x)an1(n)一 Tn!(0),称为 Maclaurin 级数。1 n一 Xn!几个常用幕级数:1 2X X2!sin x1 3X 3!1x 5!.(1)n2n 1X(2n 1)!cosx1 2一 X2!1 4-X4!.(1)2nn_X_(2n)!(1 x)(2!1)X21).(n!1)ln(1 x)1)x ( 1,11,1)_1_1 x2-X 161,1)0.5 Fourier 级数最简单的波是谐波(正弦波)，它是形如Asin( t )的波，其中A是振幅，是角 频率，是初相位。其他的波如矩形波，锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表 示出来。这就是说，设f(t)是一个周期为T

16、的波,在一定条件下可以把它写成f tA0An sin(n t n) A0(ancosn t bn sin n t)n 1n 12其中：AnSin(n t n) ancosn t bn sin n t是n阶谐波，称上式右环的级数是由f (t)所确定的Fourier级数。三角函数的正交性设c是任意实数，c,c 2 是长度为2的区间，由于三角函数sin kx,coskx是周 期为2的函数，经过简单计算，有 c 22c 22coskxdx coskxdx 0 ; sin kxdx sin kxdx 0 (k 12.) c0' c0利用积化和差的三角公式容易证明 c 2 sinkxcoslxdx

17、 c c 2 sinkxsinlxdx c c 2 coskxcoslxdx c考察三角函数系 1;cosx,sin x;cos2x,sin 2x;,cosnx,sin nx;，每一个函数在长为 2 的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等于零，而每个函 数自身平方的积分非零。称这个函数系在长为2的区间上具有正交性。2sinkxcoslxdx02sin kxsinlxdx02coskxcoslxdx0kl (l 1,2,.),12dx221 dx0klFourier 系数设函数f(x)已展开为全区间设的一致收敛的三角级数f (t) 曳(ak cosk t bk sin k t)

18、2 k 1现在利用三角函数系数的正交性来研究系数a0,ak,bk(k 1,2,)与f(x)的关系。将上述展开式沿区间,积分，右边级数可以逐项积分得到f (x)dx 曳 2 a0 , a0 f (x)dx2又设n是任一正整数，对f (x)的展开式两边乘以8$口乂沿,积分，由假定，右边可以逐项积分，由此得到：f(x)cosnxdxa0cos nxdx(akcoskxcosnxdx2 k 1okn2,bksin kxcosnxdx) an cos nxdx an1因止匕得至U Euler-Fourier公式：ak 一f(x)coskxdx (k 0,1,2,.)同理，对f(x)的展开式两边乘以$冶门

19、*沿,积分:.1 bkf (x)sin kxdx (k 0,1,2,.)称这级数是 f(x)关于三角函数系 1;cosx,sin x;cos2x,sin 2x;，cosnx,sin nx;的Fourier级数，而ak、bk称为f(x)的Fourier系数,记为f (x) -a0-ak coskx bk sin kx2 k 1Fourier级数的收敛判别法：设函数 ”*)在,上可积和绝对可积，当x是f(x)的(第一类)间断点时，f (x) a0(ak coskx bk sin kx)收敛于2 k 1Fourier级数的复数形式Fourier级数的n阶谐波可以用复数形式表示。由 Euler公式1

20、i icos - (e e ) sinanibn in t an 回 in te e222aoan cosn t bnsinn t 一n 12 n 1如果记 a0Co, anibncn, an ibnc n n 1,2,.，那么上面的 Fourier 级数就化成一个简洁的形式-gein t，这就是Fourier级数的复数形式，g为复振幅，g2n与c n是一对共腕复数。Fourier级数可以逐项求积分和逐项求导。Fourier 变换定义：F(f) f( ) f (x)e i xdx 是 f (x)的 Fourier 变换。黎曼引理：lim ?( ) lim f (x)e i xdx 0f (x)

21、 f?( )ei xd1-f (t)e i tdt ei xd称f(x) ?( )ei xd是？()的Fourier逆变换(积分公式)。2Fourier变换的一些性质性质一(线性)：F(aifi a2f2) aiF(fi) a2F(f2),其中a1、a2是两个任意给定的 常数(学生自己证明！)。性质二(平移)：对任何f(x), F f(x s) eis F(f)。该性质表明f(x)平移后的Fourier变换等于未作平移的Fourier变换乘ei s。证明：Ff(x s) f (x)e i (x s)dx eisf(x)e i xdx eis F (f)性质三(导数)：设f(x) 0 (x )，

22、则F f i F(f),求导运算在Fourier dx变换下成为乘积运算。dfdf(x) i xi x证明：F 一 e dx df (x) edx dxf (x) e i xf (x) de i x i f(x) e i xdx i F (f)d性质四：F( ixf(x)F(f) ddd证明：F ( ixf (x) ixf (x)e dx f (x) e dx F (f)dd0.6有理真分式的分解在实数范围内，有理真分式 皿总可以分解成部分分式(部分分式是指这样 Q(x)一种简单分式，其分母为一次因式或二次质因式)之和，且具有对应关系：若Q(x)中有重根因式(x a)k,可分解成下列k个最简分

23、式之和Ai(x a)k (x a)k 1Ak(x a)其中Ai、A2Ak都是常数.特别地，如果k若Q(x)中有因式(x2 px q)k p2 4q 0 ,M1xN1M2xN21,那么分解后只有一项 4; x a可分解成下列k个最简分式之和Mkx Nk2k 2k 1(x px q) (x px q)其中MM都是常数特别地，如果k 1,分解后只有一项Px qMx N2x px q结论：有理真分式总能分解为若干部分分式之和，并可归纳为以下四种形式:(1)AMx N(3)xx(P24q 0)(4)Mx N(x2 px q)n(p2 4q 0),其中系数A、M、N为常数把一J分解为最简分式之和。x(x

24、1)21解：根据真分式的性质可设K方法1:(1)式两端去分母后，得1ABC(1),，、2(x 1)x(x 1)A(x1)2BxCx(x 1)(2)因为这是恒等式，等式两端对应项的系数应相等，于是有A C 0 2A B C 0 A 1 解得 A 1、B 1、C方法2:此题定A、B、C还有另法：在恒等式(2)中，代入适当的x值，即可求 出待定常数。在(2)中令x 1,得B 1;令x 0,得A 1; 再令x 2,得C 11万法3: (1)两边同乘x再令x 0可求得A, A lim2x 0(x 1)2(D两边同乘(x 1)2再令x1 B lim 1(D两边同乘(x l)2、求导、再令x 1可求得Clim 11x 1x2所以1x(x 1)211x (x 1)21,k N, k 1 (x 1)4q 05x 6 (x 2)(x 3)u分解为最简分式之和。解：令资x5x 6 (x 2)( x 3)A、B为待定常数(1)方法1:(1)式两端去分母后，得x 3 A(x3) B(x2)比较两端系数有 A B1; 3A 2B3,解得5,方法2:在(2)