最新立体几何专题训练(附答案)

1、精品文档精品文档立体几何图1-4BCG5空间中的垂直关系18 .、2014 广东卷如图1-4,四边形ABCM正方形，PDL平面ABCD/DPO 30° ,AFL PC于点 F, FE/ CD 交 PM点 E.(1)证明：CF，平面ADF(2)求二面角D- AF- E的余弦值.19 .、2014 湖南卷如图1-6所示，四棱柱ABCDABGD的所有棱长都相等，AS BD =O, AC1nB1D=O,四边形 ACCA和四边形 BDDB均为矩形.(1)证明：OO,底面ABCD(2)若/ CBA= 60° ,求二面角 C-OB-D的余弦值.图1-620 .解：(1)如图(a),因为四

2、边形 ACC1为矩形，所以 CC±AC同理DD± BD 因为CC/ DD,所以CC，BD而AS BD= O,因此CC，底面ABCD由题设知，OO/ CC故OO,底面ABCD(2)方法一： 如图(a),过O作OHI± OB于H,连接HC.由(1)知，OO_L底面ABCD所以OOL底面 ABCD,于是OO±AC.图又因为四棱柱 ABCD ABCD的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD是菱形， 因此AGXB1D,从而 AC平面BDDB,所以ACXOB,于是 OBL平面 OHC 进而OB±CH故/ CHO是二面角G-OB-D的平面角.不妨设 AB= 2

3、.因为/ CBA= 60° ,所以 OB= & OC= 1, OB=巾.,“OO- OB巧一一一2在 RtOGB 中，易知 OH= 而一=2、/,而06=1,于是 GH= OC2+OH2 =即二面角G- OB- D的余弦值为 457.方法二：因为四棱柱 ABCDABGD的所有棱长都相等，所以四边形y轴，z轴，建立空间OC= 1,于是相关各点ABCD菱形，因此直角坐标系 O-xyz,不妨设AB= 2.因为/ CBA= 60° ,所以OB= 弧的坐标为Q0, 0, 0),B(m,0, 2) , 0(0, 1, 2).易知，m=(0, 1, 0)是平面BDEB的一个法向量

4、.Vax+2z = 0,n2 - OB = 0,设n2=(x, y, z)是平面OEC的一个法向量，则IIn2OC = 0,y+2z"B z = - 则 x=2, y=23,所以 山=(2, 2乖,-爽).设二面角G-OED的大小为0 ,易知0是锐角，于是ni .住2V3 2V57COS 9 = |COS)|= Icl Icl=4c.1 1 |ni| |n2|519故二面角G- OB- D的余弦值为 坐71919.、2014 江西卷如图1-6,四棱锥 P - ABC丽,ABC时矩形，平面 PAD_平面ABCD(1)求证：ABL PD(2)若/ BPO 90。，PB=，2, PO2,问

5、AB为何值时，四棱锥 P- ABCD勺体积最大? 并求此时平面 BPC与平面DPCE角的余弦值.19.解：(1)证明：因为 ABC师矩形，所以 AB±AD又平面PADL平面 ABCD平面PACT平面ABC呼AD所以AB1平面 PAD故A瓦PD(2)过P作AD的垂线，垂足为 Q过O作BC的垂线，垂足为 G连接PG故 POL平面 ABCD BC，平面 POG BC! PG在 RtABPC, PG= 2-3, GC= 2-6, BG=毒. 333设 A氏 mi 则 OP= PG- O423m,故四棱锥P - ABCD勺体积为1V= 3x 6jQ - nr因为 m 86n2= .8n26ir

6、4=所以当m= w6,即A53P - ABCD勺体积最大.,四棱锥0,0),bJ，06 2,6 _ 63 '3， 3C字挛。BC= (0,班，0),设平面BPC勺一个法向量为 ni = (x则由mPC mBC得 3，D 0, 236, 0Cd .6CD=得，y, 1),V6、_ 2 V6y_ V60, 0解得x= 10, 0,半故PC =y=0,则 n1=(1 ,0,1).此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O0V6y= 0,同理可求出平面DPC勺一个法向量为n2= 0设平面bpc平面dpc勺夹角为e,则cos| n1|n2|1 J014+12-19.、2014 辽宁卷

7、如图1-5所示， AB5口 ABC所在平面互相垂直，且 A氏BC=BD= 2, Z ABG= / DBC= 120 , E, F分别为 AC DC的中点.(1)求证：EF± BC(2)求二面角E- BF- C的正弦值.图1-519.解：(1)证明：方法一，过点E作EOL BC垂足为 O,连接OF由4AB笠 DBCM、.- 兀j证出 EO等 FOC 所以/ EOC= / FOC=,即 FOLBC 又 EOLBC ES F0= O,所以 BC±平面EFO又EF?平面EFO所以EF± BC图1方法二，由题意，以 B为坐标原点，在平面 DBCW过B作垂直BC的直线，并将其

8、作为 x轴，BC所在直线为y轴，在平面 ABCft过B作垂直BC的直线，并将其作为 z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，易得B(0 , 0, 0), A(0, 1,小),以/3, 1, 0), C(0 , 2,0),因而 E(0 ,；,平)，F浮,2, 0),所以EF=(乎,0,乎)，鼠(0 ,2,0),因此EF BC =0,从而EFLBC所以EF± BC(2)方法一，在图1中，过点图2O作OGL BF,垂足为 G 连接EG因为平面 ABCL平面BDC所以EOL面BDC又OGL BF,所以由三垂线定理知 EGL BF,因此/ EGO二面角E- BF- C的平面角.,，11在&quo

9、t;OW, EO= 2EC= 2BC- cos 30,. BO 3由BG。BF/口，OG= FC=-,BC 4即二面角 EBE C的正弦值为25.5因此 tan /EGO= OO 2,从而得 sin Z EGO= "5,方法二，在图2中，平面BFC的一个法向量为ni = (0, 0, 1).设平面BEF的法向量n2=(x, y, z),又酢 =(乎，2, 0), be=(0,2,当)，n2 , BF= 0,所以得其中一个 作=(1,短，1).n2 - BE= 0,设二面角 EBFC的大小为0,且由题知 0为锐角，则cos 0 = |cos m,仔| = ni n2177"-

10、=.|ni| n2|平因此sin e =-2r=25,即所求二面角正弦值为 2-5.55519. G、Gi2014 新课标全国卷I 如图 1-5,三棱柱 ABC-ABG中，侧面 BBCC为 菱形，ABL B1C(1)证明：AC= AB;(2)若 ACL AB, /CBB= 60° , AB= BC 求二面角 A-AB -C 的余弦值.19.解：(1)证明：连接BC,交BC于点Q连接AQ因为侧面BBC1C为菱形，所以BC XBC,且O为BC及BC的中点.又ABL BC,所以平面 ABO由于AO?平面ABO故B1CX A0又 B1O= CO 故 AC= AB.(2)因为ACL AB,且O

11、为BC的中点，所以 AO= CO又因为AB= BC所以4 BOM BOC故OAL OB从而 OA OB OB两两垂直.以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，| OB为单位长，建立如图所示的空间直角 坐标系O xyz.y因为/ CBB= 60。，所以 CBB为等边三角形，又 AB= BC则A 0, 0, £ , B(1 , 0,c30), B 0, 23-, 0AB= 0, 73ABi=ab= 1c3C0, -y, 0 .一工3，3°，-fBBt=BC 1,坐 0 .33¥yk0，设n=(x, y, z)是平面AABi的法向量，则n - AB=0,x-$z&quo

12、t;n , AB = 0,所以可取n=(1 ,平，木.设m是平面ABC的法向量，nr A1B1 = 0,则 -m。BC= 0,同理可取m= (1 ,4.则 cosn, m = , n, m =!i nil m 7 _，、，1所以结合图形知二面角 A-AB- C的余弦值为7.18.2014 四川卷三棱锥A- BCD及其侧视图、俯视图如图1-4所示.设 M N分别为线段 AD AB的中点，P为线段BC上的点，且 MNLNP(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角 A- NP- M的余弦值.图1-418.解：(1)如图所示，取 BD的中点O,连接AQ CO 由侧视图及俯视图知， ABD BCE

13、正三角形，所以 AQL BD QCL BD因为AQ QC?平面AQC且AS QC= Q,所以BDL平面AQC又因为AC?平面AQC所以BDL AC取BO勺中点H,连接NH PH又M N, H分别为线段 AD AB BO勺中点，所以 MN BD NH/ AQ因为AQL BD,所以NHL BD因为MNL NR所以NPL BD因为NH NP?平面NHP且NHP N母N,所以BDL平面NHP 又因为HP?平面NHP所以BDL HP又 OCL BD HP?平面 BCD OC?平面 BCD 所以 HP/ OC 因为H为BO的中点，所以P为BC的中点.(2)方法一：如图所示，作 NQL AC于Q,连接MQ由

14、知，NP/ AC所以NQL NP因为MNL NP,所以/ MNQ；二面角 A- NP- M的一个平面角.由知， ABD BCM边长为2的正三角形，所以 A0= OC= p由俯视图可知，AOL平面BCD因为0C?平面BCD所以AO! 0C因此在等腰直角 A08，AC=#.作BRL AC于R因为在 AB8, AB= BC所以R为AC的中点，因为在平面 ABCft , NQL AC BRL AC所以NQ BR又因为N为AB的中点，所以 Q为AR的中点,BR 10所以NQ=万.同理，可得MQ= -40.4故MNQ;等腰三角形，所以在等腰 MN0,MN BDcos / MNQ2410NOT ncT 5故

15、二面角A - NP- M的余弦值是 T0方法二：由俯视图及(1)可知，AOL平面BCD因为OC 0B?平面BCD所以AOL OC AOL 0B又OCL 0B所以直线OA OB OCW两垂直.如图所示，以 0为坐标原点，以 OB OC 0A的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立 空间直角坐标系 0 -xyz.则70, 0, V3), B(1 , 0, 0), qo, V3, 0), 口 1, 0, 0).因为M N分别为线段 AD AB的中点，又由知，P为线段BC的中点，所以 M ： 0,孚，Ng, 0,当，P1,当，0 ,于是 AB= (1, 0,一/)，BO (一 1,品 0) , MN=

16、(1 , 0, 0), NP= 0,乎，乎.niAR由ni±BC设平面ABC勺一个法向量 m=(xi, yi, zi),ni - AB= 0, 即ni , BC= 0,(xj yj z。( i, 0, g) = 0,(xi, yi, zi) ( i,小,0) = 0,从而xi- >/3zi = 0,xi + y3y i= 0.取 zi=i,则 xi = <3, yi=i,所以 ni=(q3, i, i). 设平面MNP勺一个法向量n2=(x2, y2, Z2),由，n21MNn2 . MN= 0'得'n21NPn? NP= 0,O, y2, Z2) ( i

17、, 0, 0) = 0,/、33 c(x2, y2, Z2) -0，学-/ = 0，*2= 0,从而, 33万丫2一 2"Z2 =0.ni n2I ni| - I 巾|取 Z2= i,则 y2= i, x2=0,所以 n2= (0 , i, i).设二面角 A - NP - M的大小为 0 , 则 cos e(V3, i, i)(0, i, i)_VwV5xV2 5 .故二面角A-NPM的余弦值是 W05i7.、20i4 天津卷如图 i-4 所示，在四B隹 P- ABCM, PAL底面 ABCD, ADLAB AB/ DC AD= DC= AP= 2, AB= i,点 E为棱 PC的

18、中点.(1)证明：BE! DC(2)求直线BE与平面PB所成角的正弦值； 若F为棱PC上一点，满足 BF± AC求二面角F - AB- P的余弦值.图1-417.解：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1 ,0, 0), C(2, 2, 0), D(0 , 2, 0), P(0, 0, 2) . C 由 E为棱 PC的中点，得 E(1 , 1,1).证明：向量 BE= (0,1, 1), DC= (2, 0, 0),故 BE- DC= 0,所以BEL DC(2)向量 BD= (-1, 2, 0), PB= (1 , 0, -2).设n=(x, v，z)

19、为平面 PB曲法向量，n BD= 0,n - PB= 0,-x+ 2y=0, x-2z= 0.不妨令y=1,可得n=(2, 1, 1)为平面PBD勺一个法向量.于是有cos n, BEn BE23I n| - I BEE =V6xV2 = 3所以直线BE与平面PB所成角的正弦值为0) , AB= (1 , 0, 0) .由(3)向量 BC= (1 ,2, 0) , CP= ( 2, 2, 2) , AC= (2 , 2, 点F在葭PC上，设 CF=入 CP, 0W 入 w 1.故 BF= BO CF= BO 入 Cp= (1 2入，22 入，2 入).由 BF±AC 彳导 BF- A

20、C= 0,因此2(1 2 入)+ 2(2 2 入)=0,解得 入=3,即 BF= -1, 1, 3 .设 m=(x, y, z)为平面 FAB42 2 2的法向量，则n一 AB= 0,ni - BF= 0,x= 0,即 113不妨令z=1,可得m=(0, 3, 1)为平面FAB的一个法向量.取平面ABP勺法向量n2=(0 , 1, 0),则cos ，n1 - n2-33JiO：T =-|n 1| Ml10X1 10易知二面角F - AB- P是锐角，所以其余弦值为3 '1010方法二：(1)证明：如图所示，取PD中点M连接EM AM由于E, M分别为PC PD的1中点，故 EM/ DC

21、 且EM= DC又由已知，可得 EM/ AB且EM= AB故四边形 ABE加平行四边形，所以BE/ AM因为PAL底面 ABCD故PAh CD而CDL DA 从而 CDL平面PAD因为AM?平面PAD 所以 CDL AM又 BE/ AM 所以 BEL CD2x + /y + 2z= 0.(2)连接BM由(1)有CDL平面PAD彳导CDL PD而EM/ CD故PD! EM又因为 AD= AP, M为PD的中点，所以 PDL AM可得PDL BE所以PDL平面BEM故平面 BEML平面PBD 所以直线BE在平面PBCrt的射影为直线 BM而BE! EM可得/ EBMK/锐角，故/ EB必直线 BE

22、与平面PB所成的角.依题意，有 PD= 2® 而M为PD中点，可得 AM= J2,进而BE=寸2.故在直角三角形BEW, tan/EBM= EML AB=义,因止匕 sin / EBM=坐, BE BE 23所以直线BE与平面PB所成角的正弦值为坐.3(3)如图所示，在 PAC中，过点 F作FH/ PA交AC于点H因为PAL底面 ABCD所以 FHL底面 ABCD从而FHL AC又BF± AC彳导ACL平面FHB因此ACL BH在底面ABC呐， 可得CH= 3HA从而CF= 3FP在平面PDCft ,作FG/ DC交PD于点G,于是DG= 3GP由于 DC/ AB,故GF/

23、 AB,所以A, B, F, G四点共面.由 AB! PA ABL AD彳导ABL平面PAD故 ABL AG所以/ PAG二面角F - AB- P的平面角.1210在PAG, PA= 2, PG= 4PD= /APG= 45 .由余弦定理可得 AG= 丁, cos Z PAG3 1103 ;1010 ,所以二面角F - AB- P的余弦值为10 .AB20.、2014 浙江卷如图1-5,在四棱锥 A-BCD即，平面 ABC1平面BCDE / CDE = /BED= 90 , AB= CD= 2, DE= BE= 1, AC=壮.(1)证明：DEL平面ACD(2)求二面角B- AD- E的大小.

24、20.解：(1)证明：在直角梯形 BCDEK 由DE= BE= 1, CD= 2,得BD= BC=小,由 AC=5，AB= 2,得 A=AC2+ BC,即 ACL BC又平面ABCL平面BCDE从而ACL平面BCDE所以ACL DE又DEL DC从而DEL平面ACD(2)方法一：过B作BF，AD与AD交于点F,过点F作FG/ DE与AE交于点G连接BG由(1)知 DEL AD则FGL AD所以/ BF&二面角 B - AD - E的平面角.在直角梯形 BCDEK 由cD= bC+ bD,得 BDL BC又平面ABCL平面在 RtAACD,由 在 RtAAED,由在 RtAABD,由BC

25、DE得BD1平面ABC从而BDL AB由ACL平面BCDE得ACL CDDC= 2, AC= & 得 AD= V6.ED= 1, AD=而，得 AE= V7.BD= V2, AB= 2, AD=#,得 BF= 23, AF= "2AD从而 GF= 2ED= 33323.在AABE ABM,利用余弦定理分别可得 cos/BA屋5l47, BG=母 在BFG, cos/BFG= GF或BTf =乎.2BF GF 2一一兀 .所以，/ BFO ,即二面角 B - AD- 6方法二：以D为原点，分别以射线 DE, Dg x, 如图所示.兀E的大小是-6.y轴的正半轴，建立空间直角坐标

26、系D - xyz,由题意知各点坐标如下：口0, 0, 0), E(1 , 0, 0), C(0, 2, 0),收0, 2, #), B(1 , 1, 0).设平面 ADEW法向量为 m (xi, yi, zi), 平面ABD勺法向量为n= (x2, y2, Z2).可算得 AD= (0, 2,AE= (1 , 2,一娘)，DB= (1 ,1,0).m- AD= 0,-2y1-x/2z1=0,由一即mr AE= 0,Xi 2y一2zi=0,可取f (0 , 1,小).n AD= 0, 2y2业2=0,田即n - DB= 0,X2+y2=0,可取 n=(1 , 1,也).一口| mr n|33于1

27、cos m, n)|. r= -p=.| m| - I n| 3J3X2 2 由题意可知，所求二面角是锐角，兀故二面角B - AD- E的大小是6.19., 2014 重庆卷如图1-3所示，四棱锥P-ABCDK底面是以O为中心的菱形，POL底面 ABCD AB= 2, /BAD=手，M为 BC±一点,且 BM= 1, MPL AP 32(1)求PO的长；(2)求二面角A-PMC的正弦值.MAB图1-319.解：(1)如图所示，连接 AC BD因为四边形 ABC西菱形，所以 AS BD= Q且Aci bd以o为坐标原点，OA Ob Op勺方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐

28、标系O-xyz.因为/ BAD=, 3所以 OA AB- cos-6 =73, ob= AB- sin -6=1,所以 Q0, 0, 0),7小，0, 0), B(0, 1, 0), a-® 0, 0), OB= (0, 1, 0), BC= (-邓,-1, 0) .由 BMk J, BO 2 知，BU 4哈坐，；,0,从而Om=ObBm=1,3, 0 ,即 M 亚,3, 0 .4，4，设 P(0, 0, a) , a>0,则崩=( 43,0, a), Mp=*，-4, a .因为 MPLAP,所以MpAP=0,即一：+ a2=0,所以a=¥或a=当(舍去)，即PO=

29、号(2)由(1)知，AP=-小,0,坐，Mp=坐，4,当，Cp= ® 0,当.设平面APM勺法向量为 m=(x1, y1, Z1),平面PMC勺法向量为n2 = (X2, y2, Z2).由 m AP= 0, n1 - Mp= 0,得一信十号, 故可取巾=1 ,3 , 2 .=0,由 n2 - MP= 0, n2 - CP= 0,得3337X2-4y2+TZ2=0出X2+ 坐 Z2= 0,故可取 n2= (1 , - 3, 2).从而法向量n1, n2的夹角的余弦值为cos <m, n2>m n2近5_ =一 .| n1| |n2|5 '故所求二面角APMC的正弦

30、值为邛G3平面的基本性质、空间两条直线4. 2014 辽宁卷已知m n表示两条不同直线，a表示平面.下列说法正确的是（）A.若 m/ a , n/ a ,贝U m/ n若若若B ; B c D 4ml a , n? a ,则 ml nmla, mLn,贝U nil am“ a , mL n,贝U n，a解析B 解析由题可知，若 m/ a , n/ a ,则m n平行、相交或异面，所以A错误；若 mL a , n? a ,则mln,故B正确；若 ml a , mLn,则n/ a或n? a , 故C错误.若 m/ a, ml n,则n/ a或n, a或n与a相交，故D错误.17.、2014 福建卷

31、在平面四边形 ABC用，AB= BD= CD= 1,AB BD CtX BD 将 4ABD 沿BD折起，使得平面 ABDL平面BCD如图1-5所示.(1)求证：ABL CD(2)若M为AD中点，求直线 AD与平面MBCf成角的正弦值.图1-517.解：(1)证明：平面 ABDL平面BCD平面 ABD?平面 BCD= BD AB?平面ABDABL BD，AB1 平面 BCD又 CD?平面 BCD AB± CD(2)过点B在平面BCDMB已BD由知ABL平面BCD BE?平面BCDBD?平面 BCD AB! BE ABL BD以B为坐标原点，分别以BE 丽 BA的方向为x轴，y轴，z轴的

32、正方向建立空间直角坐标系(如图所示).一，r11依题意，得 B(0, 0, 0) , C(1 , 1, 0) , D(0, 1, 0) , A(0 , 0, 1) , M0, 2, 2 .则鼠(1, 1, 0), BM= 0, 2, 2 , AD= (0, 1, i).设平面MBC勺法向量n=(X0, ya, zo),一xo+yo=0,n BC= 0,>则即11n BM= 0,2y0+ 2Z0= O'-1, 1).取za=1,得平面 MBC勺一个法向量 n=(1 , 设直线AD与平面MBCf成角为0 ,则 sin 8 = | cos <n, XD> | 二 | 门”=

33、芈 |n| - I AD即直线AD与平面MBM成角的正弦值为11. 2014 新课标全国卷n 直三棱柱 ABCA1B1C中，/ BCA= 90° , M N分别是A1B, AG的中点，BC= CA= CC,则BM AN所成角的余弦值为()A.1 B. 2 C.噌 D10510211. C 解析如图，E为BC的中点.由于 M N分别是AB, AC的中点，故 MN/ BiC一1一 八 ，一，一MNE的平行四边形，所以 EN触BM所以直线AN,且MN= 2BG,故MN BE所以四边形NE所成的角即为直线 BM AN所成的角.设 BC= 1,则 BiM= 2BA=*，所以 MB=1-4所示.

34、设M N分别为线段 AD AB的中点，P为线段BC上的点，且 MNLNP6 5 5=NE AN= AE=半,证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角 A- NP- M的余弦值.图1-418.解：(1)如图所示，取 BD的中点O,连接AQ CO 由侧视图及俯视图知， ABD BCD正三角形，所以 AQL BQ QCL BD因为AQ OC?平面AOC且AS O仔O,所以BDL平面AOC又因为AC?平面AOC所以BDL AC取BO勺中点H,连接NH PH又M N, H分别为线段 AD AB, BO勺中点，所以 MM BD NH/ AQ因为AOL BD 所以NHL BD因为MNL NP,所以NPL B

35、D因为NH NP?平面NHP且NHH NP= N,所以BDL平面NHP又因为HP?平面NHP所以BDL HP又 OCL BD HP?平面 BCD OC?平面 BCD 所以 HP/ OC 因为H为BO的中点，所以P为BC的中点.(2)方法一：如图所示，作 NQL AC于Q,连接MQ由知，NP/ AC所以NQL NP因为MNL NP,所以/ MNQ；二面角 A - NP - M的一个平面角.由知， ABD BCM边长为2的正三角形，所以 AO OC= g由俯视图可知， AOL平面BCD因为OC?平面BCD所以ACL OC因此在等腰直角 AO计，AC=乖.作BRL AC于R因为在 ABC中，AB=

36、BC所以R为AC的中点，所以 BR=AE2- AC =手.因为在平面 ABCrt, NQLAC BRLAC所以NQ BR又因为N为AB的中点，所以 Q为AR的中点, 所以NQ=襄学.同理，可得MQ= T0.故MNQ;等腰三角形，所以在等腰 MN0,MN BD2410cos/MN n0r 卮 5 .10故二面角A - NP- M的余弦值是.AOL平面BCDAQ£ OC ACL OBOCW两垂直.方法二：由俯视图及(1)可知， 因为OC OB?平面BCD所以 又OCL OB所以直线OA OB如图所示，以O为坐标原点，以 OB OC OA勺方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系

37、 O -xyz.则 A(0, 0,5 B(1 , 0, 0) , Q0,& 0), 口-1, 0, 0).因为M N分别为线段 AD AB的中点，又由知，P为线段BC的中点，所以 M 0,孚，N, 0,坐，P2,坐 0 ,于是 AB= (1, 0, -73), BC=( 1,弧 0) , MN= (1 , 0, 0), NP= 0,半，乎.nAR由n-BC设平面ABC勺一个法向量 m=(X1, y1, Z1),m - AB= 0, 即m BC= 0,O, yu z。 ( 1, 0, - M = 0, (X1, y1, z。 ( 1,0) = 0,从而X1-3Z1 = 0,X1 + /3

38、y1= 0.取 Z1=1,则 X1 =，3, y1=1,所以 m=(q3，1，1) 设平面 MNP勺一个法向量 n2=(X2,斗,z2),由，n2±MNn2 - MN= 0,n2±NP 得禀- NP= 0,(X2, y2, Z2) ( 1, 0, 0) = 0,(X2, y2, Z2) .0,手,一¥ = 6X2= 0,从而 33万丫2-2z2= 0.取 Z2= 1,则 y2= 1, X2=0,所以 n2= (0 , 1, 1).设二面角 Anp - m的大小为 e , 则 cos e(V3, 1,1) (0, 1,1) =近V5x V2 5故二面角A-NPM的余

39、弦值是-40.5G4空间中的平行关系20.、2014 安徽卷如图1-5,四棱柱 ABCD- ABCQ中，AA，底面ABCD四边形 ABC四梯形，AD/ BC且AD= 2BC过Ai, C, D三点的平面记为 a, BB与a的交点为Q图1-5(1)证明：Q为BB的中点；(2)求此四棱柱被平面 a所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA=4, CD= 2,梯形ABCD勺面积为6,求平面a与底面ABC所成二面角的大 小.20.解：(1)证明：因为 BQ/ AA, BC/ AQBS BQ= B, AE AA=A,所以平面 QBa平面 AAD从而平面ACD与这两个平面的交线相互平行，即 Q。/ AD.故4

40、 QBC< AAD的对应边相互平行，于是 QB6 AAD即Q为BB的中点.BQ BQ BC 1所以 BB= AA=ADT 2?(2)如图1所示，连接QA QD设AA=h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面 a所分成上下两部分的体积分别为V上和 V下,BC= a,贝U AD= 2a.图1V三棱锥 Q-A1AD=;><: . 2a h d=；ahd, 3 231V四棱锥Q -ABC 3a+ 2a2,11 d 2“ =4ahd，所以V下=V三棱锥 Q-AAAV四棱锥q-abc钎172ahd.一 一、3又 V四棱枉 ABCD -ABC吩2ahd,所以 Vi = V四棱柱 ABQD -

41、ABCID-V下=；ahd7；ahd= _ahd,故二 =:.21212Vf 7方法一：如图1所示，在 ADOK 作A已DC垂足为E,连接AE.又 DELAA,且 AAAAE= A,所以DEL平面 AEA,所以DEL AiE.所以/ AEA为平面a与底面ABCD/f成二面角的平面角.因为 BGI AD, AD= 2BC 所以 &ad= 2Sabca又因为梯形 ABCD勺面积为6, DC= 2,所以 Sadh 4, AE= 4.AA兀于是 tan / AEA= = 1, A AEA=.E4兀故平面a与底面ABC所成二面角的大小为不方法二：如图2所示，以D为原点，DA DD分别为x轴和z轴

42、正方向建立空间直角坐标系.设/ CDA= 0 , BC= a,贝U AD= 2a.因为a + 2aS四边形ABCD=-22sin9=6,所以a=Sin2从而可得 C(2cos 0 , 2sin图24e, °)，A1STT, 0，4 ,所以 DC=(2cos 8, 2sin 8, °)，DA=, °, 4.设平面A1DC的法向量n=(x, y, 1),4. .,D/A, n=ShTT x+4=°，由DC> n=2xcos0 +2ysin0=0,x= sin 9 ,得y= cos 0 ,所以 n = ( sin e , cos 0 , 1).又因为平面

43、 ABCD勺法向量m (0, 0, 1), ,n , m 2所以 cosn, mi>|n|m|2，.一，、- L 兀故平面a与底面ABC所成二面角的大小为 .417 .、2014 北京卷如图1-3,正方形AMDE勺边长为2, B, C分别为AM MD勺中点.在 五棱锥P- ABCD砂，F为棱PE的中点，平面 ABF与PQ P*别交于点G, H(1)求证：AB/ FG(2)若PAL底面ABCDE且PA= AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段 PH 的长.图1-318 .解：(1)证明：在正方形 AMDEK因为B是AM勺中点，所以 AB/ DE又因为AB?平面PDE所以AB/平

44、面PDE因为AB?平面ABF且平面 ABFH平面PDE= FQ所以AB/ FG(2)因为PAL底面ABCDE所以 PAL AB, PAL AE建立空间直角坐标系Axyz,如图所示，则A(0, 0, 0) ,B(1, 0, 0) ,Q2 ,1, 0) ,P(0 ,一 一 一>一0, 2) , F(0, 1, 1), BC= (1,1, 0).设平面ABF的法向量为n=(x, v，z),则n - AB= 0,x=0,即-y + z = 0.n - AF= 0,y令 z = 1,则 y = - 1.所以 n= (0 , - 1, 1).设直线BC与平面ABF所成角为a ,则一 n - BC 1

45、 sin a = |cos <n, BO | = =-.| n| BC 2兀因此直线BC与平面ABF所成角的大小为 -.6设点H的坐标为（u, v, w）.因为点H在PC上，所以可设PH=入PC0入1).即(u, v, w 2)=入(2 , 1 , 2),所以 u = 2 入，v=入，w= 22 入. 因为n是平面ABF的一个法向量，所以 n AH= 0,即（0 , 1, 1） （2 入，入，2 2入）=0,解得入=|,所以点H的坐标为1 .33 3 34 22 24 2所以ph= 5 + 3 + -3 =2.19.、2014 湖北卷如图1-4,在棱长为2的正方体 ABCDABCD中，E

46、, F, M N 分别是棱 AB AD AB,AQ的中点，点P, Q分别在棱 DD, BB上移动，且DP= BQ=入(0入2).(1)当入=1时，证明：直线 BC/平面EFPQ(2)是否存在 入，使面EFPQ面PQM断成的二面角为直二面角？若存在，求出 入的 值；若不存在，说明理由.图1-419 .解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图，连接 AD,由ABCDABCD是正方体，知 BC/ AD.当入=1时，P是DD的中点，又 F是AD的中点，所以 FP/ AD,所以BC/ FP而FP?平面EFPQ且BC?平面EFPQ故直线 BC/平面EFPQ图图r1EF/ BQ 且 EF= BD(2)如图，

47、连接BD因为E, F分别是AR AD的中点，所以又 DP= BQ DP/ BQ ，一一 一一一一一一 1所以四边形PQB偎平行四边形，故 PQ/ BD且PQ= BD从而EF/ PQ且EF= PQ在 RkEBQF口 RUFDP中，因为 BQ= D曰入，BE= D三 1, 于是EQ= FP= y/iTT2,所以四边形EFPQk是等腰梯形.同理可证四边形PQMN1是等腰梯形.分别取EF, PQ MN勺中点为H, Q G连接OH OG则 GO_ PQ HOL PQ 而 GS HO= O,故/ GOK面EFPQf面PQM所成的二面角的平面角.若存在 入，使面EFPQW面PQMNf成的二面角为直二面角，则

48、/ GOHh 90。.连接EM FN,则由EF/ MN且EF= MN®四边形EFNM!平行四边形.连接GH因为H, G是EF, MN的中点，所以 GHh ME= 2.在GOHh, GH = 4, OH= 1+ 入2当 =入2+2，OG= 1 + （2入）2乎=化入）2+2，由 OG+ OH= GH,得（2 入）2+2+ 入 2 + 2=4,解得 入=1±¥，故存在入=1±¥，使面EFPQf面PQM所成的二面角为直二面角.方法二（向量方法）：以D为原点，射线 DA DC DD分别为x, v, z轴的正半轴建立如图所示的空间直角 坐标系.由已知得B

49、（2 ,2, 0）, G（0, 2, 2） ,E（2 ,1, 0） ,F（1 ,0,0） ,R0,0,入）.E图BC= (2, 0, 2), FP= (-1, 0,入)，FE= (1,1, 0).证明：当入=1时，FP= ( -1, 0, 1),因为 BC=( 2, 0, 2),所以BC= 2由即BG/ FP.而FP?平面EFPQ且BG?平面EFPQ故直线 BG/平面EFPQx + y=0, 可得x+ 入 Z = 0.FE , n = 0,（2）设平面EFPQ勺一个法向量为 n=（x, V，z），则由由n=0于是可取n=（入，入，1）.同理可得平面 MNPQ1一个法向量为 m （入一2, 2入

50、，1）.若存在入，使面EFPQW面PQMNf成的二面角为直二面角，则 mr n =（入2, 2入，1） -（入，入，1） = 0,2即入（入一2） 入（2 入）+ 1 = 0,解得 入=1±亍.2故存在入=1 士学，使面EFPQ面PQM所成的二面角为直二面角.18.、2014 新课标全国卷n 如图1-3,四棱锥 RABCDK 底面 ABC时矩形，PA1平面ABCD E为PD的中点.(1)证明：PB/平面AEC(2)设二面角EO18.解：(1)证明：连接 因为ABC时矩形，所以 又E为PD的中点，所以BD交AC于点Q连接O为BD的中点.EO/ PB因为EO?平面AEC PB?平面AEC

51、所以PB/平面AEC(2)因为PAL平面ABCD ABCM矩形，所以AB AD, AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB AQ AP的方向为z轴的正方向,|丽为单位设 m= (x, y,m AC= 0则 -m - AE= 0可取m =又 n2= (1 ,m0,x轴、y轴、长，建立空间直角坐标系z)为平面ACE勺法向量,AE= 0设 B(m 0, 0)( m>0),则 C(m)镉，0), AC= (m V3, 0).北y=0,1y+ 2z = 0，0)为平面DAE勺法向量,1 口由题设易知V3X3|cos m, n2> | = 2,即因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD勺高为;

52、.三棱锥E-ACD勺体积V=x-x 23 2x2=端17., 2014 山东卷如图1-3所示，在四棱柱 ABCDA1BCD中，底面 ABCD1等腰梯形，/ DAB= 60° , AB= 2CD= 2, M是线段 AB的中点.图1-3求证：CM/平面AADD;(2)若CD垂直于平面 ABCDt CD=43,求平面GDM和平面ABC所成的角(锐角)的余弦值.17.解：(1)证明：因为四边形 ABC比等腰梯形,且 AB= 2CD 所以 AB/ DC又M是AB的中点，所以 CD/ MAS. CD= MA连接AD.因为在四棱柱 ABCD- AiBGD中，CD/ CD, CD= GD,所以 GD

53、 / MA GD=MA所以四边形 AMC1为平行四边形，因此，GM/ DA又GM?平面AADD, DA?平面AAD。所以GM/平面AiADD(2)方法一：连接AC, MC由(1)知，CD/ AMM CD= AM所以四边形AMCD;平行四边形，所以 BC= AD= MC由题意/ ABO / DAB= 60° ,所以 MB正三角形，因此 AB= 2BO2, CA=，3,因此CAL CB设C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C- xyz.0), D(0, 0, 73).所以 A(胆 0, 0) , B(0, 1,因此M当，1 0 ,所以 MD” 半，2，j3,虎=MB=乎2, 0.n DC=0,n - Md= 0,3x-y=0,淄x + y-2 73z=0,设平面GDM的一个法向量n = （x, y, z）,可得平面CiDM的一个法向量n=（1, 弧 1）.又CD= （0