隔项等差等比数列

1、隔项等差、等比数列1. （隔项等差、等比数列求和）秋末冬初，流感盛行，我市某医院近30 天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列an ，a11,a22, 且 an 2an1( 1)n(n N )，该医院30 天入院治疗流感的人数有 （）A.253B. 254C. 255D.256解析因为 a11,a22, 且 an 2an1 (1)n 所以 n 为奇数时 an2an ； n 为偶数时 an 2 -an =2 ；即奇数项为常数列，偶数项为2 为首项， 2 为公差的等差数列，所以总和为255.2. （隔项等差、等比数列求和）已知数列an中 a12, a2 3, 且 an =an -2+3 （ n 3）

2、(1) 求数列an 的通项公式 an （ 2）求数列an的前 n 项和 Sn解析（ 1）由 an =an -2 +3 （ n3 ）得 an -an-2 =3 （ n 3 ）即 an从第 3 项起，每一项与它的前2项 的 差 都 等 于3 ， 所 以 它 是 公 差 为3的 隔 两 项 的 等 差 数 列 ， 从 而 有n是 奇 数 时a =a + （ n1 -1 ） 3= 3n 1n122； n 是偶数时 a=a +（ n-1 ） 3= 3n所以n2223n1an =2n是奇数3nn是偶数2（ 2） n 是偶数时Sna1a2a3an 1 an =（ a1 a3an 1 ） +（ a2a4an

3、）= 1 gn 23(n1)11gn33n= 1 n(3n4)2222224n 是奇数时Sna1a2a3an 1an = Sn-1+an =1（g n-1 ）3(n 1) 43n 1 = 1 (n+1)(3 n 1)424S n =1 n(3n+4)n 是偶数41n是奇数(n+1)(3n+1)43. （隔项等差、等比数列求和）已知数列an 中 a1 4, a2 5, 且 an 2 =(-) n 2an ，求数列an 的通项公式 ann12n 是奇数an =a1 q 1解析 由 2 题可以总结得到，隔两项等比数列的通项公式为n22n是偶数a 2 q2因为 an2 =(-1) n 2 an ，所以

4、 n 是奇数时 an 2 =-2 ； n 是偶数时 an 2=2anan1n1所以 a n =4-22n 是奇数n2522n 是偶数4、数列an满足 a1 1,a22, an2 (1cos2 n) ansin 2 n, n1,2,3, L .22( ) 求 a3, a4 , 并求数列a的通项公式；n( ) 设 bna2 n 1 , Snb1b2Lbn . 证明：当 n6时，S21 .a2 nnn解 () 因为 a1 1,a22, 所以 a3(1cos2)a1sin 2a11 2,22an(1cos2) a2sin 22a24.一般地，当 n2k 1(kN * ) 时， a2k11cos2 (2

5、 k1) a2 k 1sin 2 2k 122 a2 k 11 ，即 a2k 1a2k 1 1.所以数列a2 k1 是首项为1、公差为1 的等差数列，因此a2k1k.当 n2k ( kN * ) 时， a2k2(1 cos22k2a2 k .2所以数列a2 k是首项为2、公比为2 的等比数列，因此a2 k2k.n1 , n2k1(kN* ,故数列 an的通项公式为 a22nN * .22 , n2k(k( ) 由( ) 知， bna2n1na2 n22 ,123Ln,Sn22232n21123n2 Sn222224L2n 1-得，1111L1nSn22232n2n 1 .221 1(1)2n1n22112n 112n2n 1 .22所以 Sn21n2n2n 1nn.222要证明当 n6 时， Sn21成立，只需证明当n6n(n2)1成立 .n时，2n证法一(1)当 n=6 时， 6(62)4831成立 .26644k( k2)(2)假设当 nk(k6)时不等式成立，即1.2k则当= +1 时， (k1)(k3)k( k2)( k1)(k3)( k1)(k3)1.n k2k12k2k(k2)(k2)g2k由 (1)、(2) 所述，当 n6 时， n( n1)1，即当 n 6 时， Sn21.22n证法二令 cnn(n2) (n6) ，则 cn1cn(n1)(n3)n(n 2)3n