自行车轮饰物的运动轨迹问题

1、理工大学暑期数学建模强化训练专题四自行车轮饰物的运动轨迹问题学员： 曹阳 许佳利 倪迪杭学院：通信工程学院时间：2010.08.19自行车轮饰物的运动轨迹问题摘要本文就自行车轮饰物的运动轨迹问题，采用解析几何的方法建立数学模型，求出了自行车在各种不同形状的道路上行驶时饰物和椭圆板中心的运动轨迹方程，并且利用Matlab软件模拟仿真出了两者的运动轨迹。对于问题1和问题2,先运用解析几何方法求出自行车轮轴心的轨迹方程，而后利用饰物始终绕车轮轴心作圆周运动建立参数方程，求出饰物的轨迹方程。求出的曲线轨迹分别见图2、图4和图5。对于问题4,将“圆板”换为“椭圆板”，通过设定参数，结合坐标转换的知识，将

2、转动过程中椭圆板中心的坐标用该参数表示，求出了其运动轨迹的参数方程。其轨迹图像见图8。关键词：运动轨迹，解析几何，抛物线，椭圆，坐标转换word完美格式一、问题的提出为了改变平淡的自行车外表，给自行车添加一分美妙的动感，同时，也为了 增加骑车人的“安全系数”，一些骑车人及自行车厂家在自行车的辐条上安装一 块亮丽的饰物。当有这种饰物的自行车在马路上驶过时，这种饰物就如游龙一样， 对街边的行人闪过一道波浪形的轨迹。这一波一闪的光亮游龙，也默默地维护着 骑车人的安全。建立数学模型解决以下问题：1、这轨迹是什么曲线？试画出它的图形。2、当这自行车又在一个抛物线形的拱桥上通过时，或是在一拱一拱的正弦 曲

3、线（例如山地摩托车赛场）上通过时，这饰物又画出一条曲中有曲的轨迹，这 轨迹是什么曲线？试画出它的图形。3、这种滚动中圆盘中心的运动轨迹是什么？4、将问题中“圆板”换为“凸形板”（例如椭圆板）时，其滚动轨迹会有什么结 果？二、问题的分析对于问题1、2,装有饰物的自行车在马路上行驶过程中，饰物会形成一道 道曲线轨迹。而随着路况的不同，如平坦的公路、抛物线形的拱桥、正弦曲线形 的山地摩托车赛场等，饰物会形成不同的曲线轨迹。不管形状的道路怎么样，不 管曲线轨迹有多复杂，都可以先运用解析几何方法求出自行车轮轴心的轨迹方 程，而后利用饰物始终绕车轮轴心作圆周运动建立参数方程，求出饰物的轨迹方程。饰物绕车轮

4、轴心的参数方程是较易得到的， 故问题的关键在于求出不同形状 的道路上自行车轮轴心的轨迹方程。求出饰物的轨迹方程后，设定合理的参数， 利用Matlab软件就可以模拟仿真出饰物的曲线轨迹。对于问题4,研究凸形板（椭圆板）中心的运动轨迹时，可以通过设定参数， 将转动过程中椭圆板中心的坐标通过坐标转换用参数表示，求出其运动轨迹方 程，设定合理的参数，利用Matlab软件就可以模拟仿真出椭圆板中心的曲线轨三、模型假设1、自行车在行驶过程中车轮不打滑；2、自行车在行驶过程中速度保持不变；3、自行车在行驶过程中车轮始终与地面接触。四、模型的建立及求解1、符号说明R自行车轮的半径r饰物距车轮轴心的距离B自行车

5、车轮上的饰物0自行车轮的转动速度a,b定常量2、模型建立2.1 模型1 （问题1）2.1.1 模型的分析自行车在马路上行驶时，可以认为马路是平坦的，因此自行车轮轴心的运动 轨迹就是一条直线。求出这条直线方程后联立饰物绕车轮轴心的参数方程，就可以容易的得到饰物的运动轨迹。在检验模型的正确性时，可以利用图像求出几个 特殊点的坐标，与利用轨迹方程求出的坐标一一比较， 若两者求出的坐标都是相 同的，则验证了模型的正确性。2.1.2 模型的建立与求解设自行车轮的半径为R,车轮上的饰物B距离车轮轴心为r o以自行车轮上 某一点为坐标原点建立坐标系，假设?物B的初始位置在y轴上，其示意图如图1所示，则饰物B

6、的初始坐标B0为（0,R-r）。t后，饰Matlab设自行车轮的转动速度为缶，则自行车的速度为v = 6R。经过时间 物B的绕自行车轮轴心旋转需满足参数方程:J_x - -rsin t,y - -rcos to而自行车轮轴心的运动轨迹需满足参数方程:x =，Rt, y = Ro所以，饰物B的坐标应满足参数方程:x - -r sin t Rt, y - -rcos t Ro根据一般自行车的规格，取R = 0.5m, r =0.4m, ® =20rad/s,使用 软件画出其图像如图2所示:图2饰物在平坦道路上的轨迹2.1.3 模型的验证用饰物B在特殊点的坐标来验证模型。假设自行车沿正 x

7、轴方向行驶，则自3行车轮顺时针转动。饰物B转动一、冗和3n时的坐标分别为B1、B2和B3。22饰物B转动工时的图像如图3所示。2由图像我们可以得到Bi的纵坐标为Ro饰物B转动土时，车轮中心经过的2距离为；R，故B的横坐标为；R - r。因此饰物B转动时的坐标为B 的坐标 B1' 1 R,R-r I,这,2Bi 'R,-R-r Io而把t = T=二带入方程式求得的 24 2与B1的坐标是相同的。用同样的方法，我们可以把饰物B转动冗和立时的图像作出，然后利用图2像求得饰物B转动n和3兀时的坐标，这与由方程式计算出饰物 B转动冗和3n22时的坐标都是相同的。从而验证了我们的模型的正

8、确性。2.2 模型2 (问题2)2.2.1 模型的分析当这自行车在一个抛物线形的拱桥上通过时，自行车轮轴心的轨迹是一个类抛物线。在求饰物的轨迹时，先利用拱桥的抛物线方程求出自行车轮轴心的轨迹， 然后联立饰物的坐标的参数方程，就可以得到饰物的轨迹。当这自行车在一拱一拱的正弦曲线上通过时，使用类似的方法，先求出自行车轮轴心的轨迹，然后确定饰物的轨迹。2.2.2 模型的建立与求解(1)当这自行车在一个抛物线形的拱桥上通过时，设拱桥的抛物线方程为：Xi =x0,2y1 = ax0 bx0(a :二 0, b - 0)。抛物线上任意一点的切线斜率ki为： ' K =y1 L = 2ax0+b,则

9、该点的法向量的斜率k2为：k2 = 一 o ki假设自行车轮白轴心坐标为（X2,y2）,则自行车轮的轴心的轨迹方程为:2 2(y2 y) (X？ -xi)y2 - y1.X2 - x1二 k2。解之得:这就是自行车轮轴心的轨迹方程。抛物线上从原点到任意一点的距离为则有:=：1 (y；)2dx4akf ,1 k12 In k1. 1k12-bJi +b2 +ln(b +Jl + b2 )4a 又根据行驶路程与行驶时间之间的关系，有s = vt = Rt,令U =赳，贝U：su =一 oR而经过时间t后，饰物B的绕自行车轮轴心旋转需满足参数方程:,Lx = -r sin u,y 二-r cosuo

10、而自行车轮轴心的运动轨迹需满足参数方程：-Lx = X2,y 二 丫2。所以，饰物B的坐标应满足参数方程:x = -r sinu x2,y 二-rcosu y2。这就是当这自行车在一个抛物线形的拱桥上通过时饰物B的运动轨迹方程。取a = -0.05, b = 2, R = 0.5m, r=0.4m,使用Matlab 软件画出其图像如图4所示:图4饰物在抛物线拱桥上的轨迹(2)当这自行车在一拱一拱的正弦曲线上通过时，设正弦曲线的方程为:X =%,y1 = asinbx0(a 0,b 0)。正弦曲线上任意一点的切线斜率ki为:ki =y11工= abcosxo,则该点的法向量的斜率k2为:k2-0

11、ki假设自行车轮白轴心坐标为(X2,y2),则自行车轮的轴心的轨迹方程为:./、2/、2(y2 - y1( X2 -X1)R2y2» =k2x2 '为解之得:这就是自行车轮轴心的轨迹方程。设自行车在正弦曲线上行驶的距离为 s,则有：xo2-Ds= ( Jl+(yi) dx。这个定积分较为复杂，故在求解s的时候，运用微积分的思想，将图形等步长微分成n份，对每一部分求出面积后累加即可得到 s的解。n越大，求出的s就却精确。故有：s = ： .1 (yi')2dx x0立 xlSx, "(abcos。0-)2。id n 11-n同样令u =8t ,根据s = vt

12、 =6Rt,得到饰物B的坐标应满足参数方程：_Lx - -r sinu x2,y - - r cosu y2。这就是当这自行车在一拱一拱的正弦曲线上通过时饰物B的运动轨迹方程。取a=1, b = 0.6, n=100, R=0.5m, r=0.4m,使用 Matlab 软件画出其图像如图5所示：图5饰物在正弦曲线上的轨迹2.3模型3 (问题4)2.3.1 模型的建立与求解将问题中的“圆板”换为“椭圆板”之后，考虑在水平道路上运动。设初始状态时椭圆的方程为:29y -ax22 + =1 (a>b>0),ab其参数形式为:lx = bsinB,y = a - acos则椭圆中心的坐标为

13、O(0,a),坐标原点为01(0,0),如图6所示。word完美格式 thword完美格式设椭圆转动任意角度X后，椭圆中心为O（x2, y2）,椭圆与x轴的切点为A（xo,y。）。尝试通过坐标转换，找出椭圆转动角度 N后X2和y2关于卜的参数表 达式，即：I X2 = X2 I, L .1,y2= y2 ( N)P则过切点A（Xo，yo ）的切线方程为:yo -a y-axoLx.2, 21ab所以，该切线的斜率k2为:2k2 = _ 2 a x0_ =tan Lb yo -a从而可以推得:2(D(2)ay。-a = -2x)°b k2点A（x0,y。）在椭圆上，故又满足:. 22(

14、y。-a)+x。_12,21 0a b联立（1）、（2）可以得到:b2k2,a2k22b22 a这样就得到了 x。和y。关于N的参数表达式。由于点A（%,y。）在椭圆上，亦满足椭圆的参数方程:Xo =bsin 入，y0 = a - a cosu0。故得到：90 = arc cos 'l -y0 10a令直线OA与椭圆长轴的夹角为口，则有：,X0tana =。a -y0故，x0« = arc tan。a y0令坐标原点Q和切点A之间的弧长01A为s,则有：s= f°Ja2sin2 8 +b2cos2HdH 。-0运用微积分的思想求解s,将图形等步长微分成n份，对每一部

15、分求出面积后累加即可得到s的解。n越大，求出的s就却精确。故有：s= 0 , a2 sin2b2cos2 d 二00'U 二一=Z 一1a sin +b cos。t n nn切点A(x0,y0 )到椭圆中心O(0,a)的距离d = Jx。2 +(y0 -a )2。观察图7,容易得到椭圆中心O'在坐标轴中满足：| x2 = 01A + O A sin (N u ),y2 = O A cos( N - a )。所以，椭圆中心O'在椭圆转动过程当中的轨迹方程为：x2 = s d sin P :工)，y2 = d cos( N a '图7取a =4.5, b=2.5,使

16、用Matlab 软件画出其图像如图8所示:图8椭圆中心在水平道路上运动轨迹五、模型的评价本文通过对自行车运动过程中饰物以及圆板（凸形板）的运动进行了详细的分析，并通过一定的物理和数学思想及方法，借助于 MATLAB软件模拟了问题中所需的各点的轨迹。在解决问题二时，我们巧妙地运用了数值积分的方法，自行车在抛物线轨道上通过时饰物的轨迹方程求解出来，从而模拟出了其轨迹。对于问题四，我们设定了椭圆参数方程，通过对其运动过程物理状态的分析，完 成了对其中心轨迹的求解。本文的缺点在于由于时间有限，对于问题 4的求解，只考虑椭圆板在水平直 线上的运动。七、模型的推广可以将问题4拓展为较为简单的凸形板在常见平

17、滑曲线上的运动， 通过设定 参数，结合坐标转换的知识，将转动过程中简单的凸形板中心的坐标用该参数表 示，从而求出其运动轨迹的参数方程。参考文献1.同济大学数学系高等数学第六版上册高等教育出版社2007年4月出版word完美格式附录一图2的程序：t=0:0.01:3;r=0.4;R=0.5;a=3;v=a*tw=v./Rx =-r*sin(w.*t)+w.*R.*t ;y =R-r*cos(w.*t);piot(x,y)axis(0 7 0 1.2)附录二图4的程序：x0=-1:0.01:40;a=-0.05;b=2;R=0.5;r=0.4;x1=x0;y1=a*x0.A2+b*x0k1=2*a

18、*x0+b;plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1;%法线的斜率；x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).A2)+x1;y2=R./sqrt(1+(1./k2).A2)+y1%plot(x2,y2)hold onu=1/R*(1/(4*a)*(k1.*sqrt(1+k1.A2)+log(k1+sqrt(k1.A2+1)-1/(4*a)*(b*sqrt(1+bA2)+lo g(b+sqrt(1+bA2);x=-r*sin(u)+x2;y=y2-r*cos(u);plot(x,y);axis(-2 45 0 30)图5程序:x0=-2:0.01:18;a=1;b=0.6

19、;R=0.5;r=0.4;x1=x0;y1=a*sin(b*x0);k1=a*b*cos(b*x0)；plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1;%法线的斜率；x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).A2)+x1;y2=R./sqrt(1+(1./k2).A2)+y1;%plot(x2,y2)hold onfor x3=-2:0.01:18s=0;fo门=1:100s=s+sqrt(1+(a*b*cos(b*i*(x3+2)/100-2)A2)*(x3+2)/100 endu=s/Ry1=a*sin(b*x3);k1=a*b*cos(b*x3);k2=-1./k1;x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).A2)+x3;y2=R./sqrt(1+(1./k2).A2)+y1;x=-r*sin(u)+x2;y=y2-r*cos(u);plot(x,y);hold onendaxis(-3 14 -2.5 2.5)附录三 图8的程序:clcfor u=0:0.001:1/2*pia=4.5;b=2.5;k2=tan(u