2018江苏数学竞赛

1、2018高中数学联赛江苏赛区初赛试题【题目1当xw3,3时，函数f(x) Tx3-3x|的最大值是 .【解】当 xw (再,0)=(j3,+s)时，I = I11f(x)=|x 3x|=x 3x；j当 xw (巴73) = (073)时，f (x) Tx3_3x|=_x3 +3x/ V VVu L T F 卜T fmax(x) =f(3)=18.【题目2】在AABC中，已知AC BC =12, AC bA = 4,则AC =.222【解】AC BC =abcosC =aba 'b -C =12, a2+b2-c2=24,2ab.222同理， AC BA - -bccos A - -bc

2、C- 二 -4 , b2 c2 a2 = 8,2bc两式相加，b2 =16, b =4.【题目3】从集合3,4,5,6,7,8中随机选取三个不同的数，这三个数构成等差数列的概率是.【解】从3,4,5,6,7,8中选取三个不同的数构成等差数列：3,4,5, 3,5,7,4,5,6 , 4,6,85,6,76,7,810【题目4】已知a是实数，方程x2+(4 + i)x+4 + ai =0的一个实根是b(i是虚数单位)， 则| a +bi |的值是.【解】b2 4b 4 (a b)i -0,a-2,b -2,|a bi |-2.2.22【题目5】平面直角坐标系xOy中，双曲线C:土-工=1的右焦点

3、为F，一条过原点O且 124倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点，若AFAB的面积为8J3 ,则直线的斜率 为.22【解】双曲线C:二L = 1的右焦点为F(4,0),设直线l : y = kx(k>0),1242y o 2212 o 12,3 o o .3r 3x =12，y = -22 S Sab - 4 2 ； =2 = 8*，3 , k =-. k1-3k2,1-3k23【题目6】已知aWR+, k=alga的取值范围是 .【解】k=alga, lg k =lg(alga) = lg2a _0, k 1,二)【题目7】四面体 ABCD中，AB = AC =AD = DB

4、=5 , BC = 3,CD = 4 ,该四面体的体积是.月【解】V1 3 4 5 , 3 = 5,33 22【题目8】已知等差数列an等比数列bn满足：优+。=3, a2+b2=7, 23+4 =15,a4 +b4=35 ,则 an + bn =a1 +6 =3,a1 d b1q = 7, _2a1 +2d +b1q =15,§ +3d +bq3 =35d bq -b = 4,，d+(“q-6)q =8,二 d +(“q -b1)q2 = 20a1 = 2, b1 =1, d =2, q = 3_ n -1an bn = 2n 3 .【题目9将27, 37,47, 48,55 ,

5、71, 75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有 种.【解】144.【题目10】三角形的周长为 31,三边a,b,c均为整数，且a<b <c,则满足条件的三元数组(a,b,c)的个数为【解】(1,15,15) , (2,14,15), (3,13,15) , (4,12,15) , (5,11,15) , (6,10,15) , (7,9,15) , (8,8,15),(3,14,14),(4,13,14),(5,12,14), (6,11,14), (7,10,14), (8,9,14),(5,13,13),(6,12,13),(7,11,13), (

6、8,10,13), (9,9,13),(7,12,12),(8,11,12),(9,10,12)(9,11,11),(10,10,11),共24个.【题目11】在MBC中，角A, B,C对应的边分别为a,b,c.证明:(1)bcosC +ccosB =a ;(2)cosA cosBa b2sin22 b之 _ 2【证明】(1) bcosC+ccosB = a-b c2a222a c -ba= a2a(2)cos A cosBcos A cos B2R(sin A sinB)C A B A-B2 cos cos22cm . A B A-B 2R2sin cos 22.C sin 2C2Rcos

7、一 22 C 2sin2c2 C2 sin2 2C . C2R2cos sin 一22【题目12】已知:a,bWR, a >2,函数 f (x)斗 ln x a |+b(x a 0). x若 f(1) = e 1,e _f(2) =£ -ln2 12(1)求实数a,b的值;(2)求函数f (x)的单调区间;(3)若存在实数c,d满足：cd,cd =1.求证：f(c)<f(d).ae【解】(1) f (1) =|a|+b =e+1 , f (2) H ln2 |+b = ln 2+1 ,且 a> 2 ,22ae所以，a+b=e + 1,ln2+1= _ln2+1,22

8、所以，a =e,b =1. e ,，_ ，-、-In x+1,x u (0, e) e x(2) f (x)斗 ln x - | +1 = «x . e . ,_ ,.、In x 一 +1,x u (e,收)L.x所以，xw(0,e), f (x)单调递减；xw(e,y), f(x)单调递增(3) c >d ,cd =1 ,所以 c >1,1eef (d) f (c) =| Ince | | In c - |=| In c ce| |ln c - - |ccc, eln c ce -ln c ,c e c, e /ln c ce ln c 一 一,1 ： c _ e cc

9、e -, c e c，1、2 ln c e(c - ),1 : c < e c所以，f (c):二 f (d).【题目13如图，半径为1的圆O上有一定点 A, M为圆O上的动点，在射线 OM上有一动点B , AB =1,OB >1.线段AB交圆O于另一点C , D为线段的OB中点.求线段CD长的取彳1范围.【解】设 /AOB =/B =8 ,则 /A = n -20 ,因为 OA =OC ,所以 /ACO =冗一2日，/COB =n38 ,OD = OAcos 二-cos，在AOCD中，由余弦定理，CD2 =OC2 OD2 -2OC ODcos(二 -3口)=1 +c o S2 +

10、2c oe c o 38=1 c o S2 2co S (4c oS -3c o S)= 8co 知 -5c o2s- 1二 8(cos2 u - 5)2 -71632ZBOC =n -30 >ZAOB =0 , NOAB =n -20 之NOBA =0 , 1 - 2所以，- , cos 1,4 32 2花业 .，51,14,14 1故当 cos8 =时，CDmin =, CD w ,).4882【题目14设a,b,c,d为正整数，a,b是方程x2 -(d -c)x + cd = 0的两个根，证明：存 在三边长是整数且面积为 ab的一个直角三角形.【证明】这是一道存在性问题，只要构造出满足题意的一个直角三角形即可。因为a,b,c,d为正整数，所以a+c,b+c,a + bw Z+,2a +b = d -c,a,b是方程x2 (d c)x+cd = 0的两个根，则i,ab =cd k.所以，(a c)2 (b c)222_.22二 a c 2ac b c 2bc 222=a2b22c22(ab)c二a2b22