万有引力专题讲座

1、万有引力专题讲座知识结构重点难点、万有引力和万有引力定律万有引力普遍存在于任意两个有质量的物体之间.自然界中一般物体问的万有引力很小（远小于地球与物体间的万有引力和物体间的其它作用力） 因而可以忽略不计.但考虑天体运动和人造卫星运动问题时必须计算万有引 力，不仅因为这个力非常大，而且万有引力提供了大体和卫星做匀速圆周运 动所需的向心力.万有引力定律给出了物体问万有引力的定量关系. 需要注意的是万有引 力定律公式只适用于计算两个质点间或两个均匀球体间的万有引力.二、大体运动和人造卫星运动模型基本思路：认为天体A绕天体B的运动和人造卫星绕地球的运动均为 匀速圆周运动，具运动所需向心力由它们间的万有

2、引力提供， 进而利用万有 引力定律、牛顿第二定律及向心加速度公式求出各类问题.三、地球上的重力和重力加速度在质量为M半彳全为R的天体表面上，如果忽略大体自转的影响，质量 为m的物体的重力加速度g,可以认为是由大体对它的万有引力产生的.由 万有引力定律和牛顿第二定律有：则该天体表面的重力加速度为:由此式可知，天体表面的重力加速度是由大体的质量和半径决定的.三、地球上物体的重力和地球对物体的万有引力的关系地球上物体的重力是由于地球的吸引而产生的，它并不等于万有引力.这是因为地球上的物体要随地球自转而做匀速圆周运动，设运动半径r是物体到地轴的距离，所需向心力大小为5需=m,2r,方向垂直指向地轴，物

3、 体随地球的自转所需的向心力，是由地球对物体的引力的一个分力提供的， 引力的另一个分力才是通常所说的物体受到的重力.地球上物体的重力会随纬度变化而变化. 这里的原因有两个：一是由于 在不同的纬度上物体随地球自转时的运动半径不同， 因而所需的向心力有所 不同；另一个是由于地球并不是一个理想的球体， 从精确的测量可知，地球 是一个极半径比赤道半径略小的椭球体，因而物体位于不同纬度上，地球对 它的引力也就有所不同.所以随着纬度的增加，地球对物体的引力逐渐增大， 物体随地球自转所需向心力逐渐减小，物体的重力逐渐增大.实际上，由于地球的自转很慢，物体随地球的自转所需的向心力，最大 也不过是地球对它的引力

4、的千分之几；而且地球的极半径与赤道半径相差极 小，物体的重力在两极与赤道相差也不过千分之几，所以在一般情况下，重力和重力加速度随纬度的变化可忽略不计.四、地球同步卫星地球同步卫星，它的运行轨道位于赤道上空，运行周期和地球自转周期 相同.它相对于地面静止在距地面约 36000 km的高空.1 .因为同步卫星的轨道必须与地球自转轨道在同一平面内才有可能与 地球同步，所以同步卫星只能运行在赤道上空.2 .因为同步卫星运行周期与地球自转周期相同，依据万有引力定律、牛顿第二定律和向心加速度公式可知：由此可以得出同步卫星距地表高度为:其中M为地球质量，T为地球自转周期，R为地球半径，代入相关数值 可解得h

5、为一定值，即h 毋 36000 km五、卫星运行速度与轨道卫星运行的圆轨道是椭圆轨道的特殊情况，其轨道速度也称为环绕速度，人造地球卫星的速度介于7.9 km/s11.2 km/s之间，它的轨道只能是圆形轨道或椭圆轨道.如果卫星运行轨道为椭圆轨道，则其轨道上离地球最 近的点为“近地点”，最远的点为“远地点”.7.9 km/s是人造地球卫星的最大运行速度，也是最小发射速度。计算靠近地面运行的卫星的速度计算靠近地面运行的卫星的速度 V,可以用前面提到的等式：GMm/r 2=mV/r式中轨道半径r约等于地球半径R地.计算靠近地面运行的卫星的速度 v,还可用下式：2 mg = mv/r.即 v = (g

6、r) 1/2.卫星从发射升空到正常运行的连续过程，一般可分为几个阶段，每个阶段对应不同的轨道.例如发射轨道、转移轨道、运行轨道、同步轨道、返回 轨道等.有些卫星的发射并不是直接到达运行轨道，而需要多次变轨.例如地球同步卫星就是先发射到近地的圆轨道上，再变为椭圆形转移轨道，最后在椭圆形轨道的远地点变为同步轨道.因此发射过程需多级火箭推动.六、卫星的机械能与轨道半径由方程GMm/r=mv2/r,可得(1/2)mv 2=GMm/(2r).可见，对于质量相等的一些卫 星来说,在较高的圆轨道上的卫星，动能较小.那末,在较高的圆轨道上的卫 星，机械能也较小吗？如以无穷远处为引力势能零点，那末卫星的引力势能

7、表达式是8=-GMm/r.所以卫星的机械能为E=Ek+B=GMm/(2r)-GMm/r=-GMm/(2r).可见，对于一些质量相等的卫星来说，轨道半径r越大的卫星，机械能E越 大.如果取其它位置为引力势能零点，那末引力势能日的表达式和机械能E 的表达式将变得复杂一些，但仍可得到“质量相等时，在较高的圆轨道上运 行的卫星，机械能较大”.一个作椭圆运动的卫星，在近地点时机械能较大，还是在远地点时机械 能较大？作椭圆运动的卫星不满足 GMm/2=mv2/r,因此不可以照搬上面的方法.卫星在沿椭圆运动，离地心的距离不断变化的过程中，由卫星和地球组 成的系统，只有引力做功，因此机械能是守恒的.在近地点和

8、远地点以及轨 道上其它各点，机械能相等.在远地点势能较大，动能较小。例题精选例题1对于太阳的九大行星来说，轨道半径较大的，周期较大. 冥王星绕太阳运动的轨道半径约为地球绕太阳运动轨道半径的40倍，它绕太阳运动一周需要 年.解：设太阳质量为m,某行星(冥王星或地球)质量为m,绕太阳公 转的轨道半径为r.根据万有引力定律、牛顿第二定律、向心加速度公式可得GMm/r 2= m 4 兀 2r/T 2T2 = 4 兀 2r3/(GM)所以T冥/ T地 =r冥/r 地所以T冥2 / 1 2 =403所以 T 冥= 40X(40) 1/2 年=40X6.3 = 250年例题2.以下关于地球同步通信卫星的说法

9、正确的是(采用地心-恒星参考系)：(A)所有的同步卫星都在赤道平面内一个圆周上(B)同步卫星的速度大于地面的速度(C)同步卫星的速度大于第一宇宙速度(D)同步卫星的周期等于一个恒星日解：同步卫星和地面作圆周运动的周期是相同的，角速度是相 同的，由v=2tt r/T或 v =r可知，同步卫星的速度大于地面的速度.本题选项(A)(B)(D)正确.例题3假设火星和地球都是球体，火星的质量M火和地球的质量 M地之比为p,火星的半径R火和地球的半径R地之比为q,那么火星表面 处的引力加速度和地球表面处的引力加速度之比等于(A)p/q 2 (B)pq 2 (C)p/q (D)pq解：质量为m的物体放在质量

10、为M半径为R的行星附近，受到的万 有引力为F =GMm/R引力加速度等于引力跟物体质量的比值=F/m= GM/R由此可见，引力加速度跟行星的质量 M成正比，跟行星半径 的平方R2成反比.所以2火/g地=p/q选项(A)正确.例题4月球公转周期为Ti,速度为Vi；同步通信卫星 的周期为T2,速度为V2；靠近地面运行的卫星的周期为 T3,速 度为 V3.贝U Vi:V 2:v 3= .解：设地球质量为M,某卫星质量为m,绕地球公转的轨 道半径为r.根据万有引力定律、牛顿第二定律、向心加速 度公式可得GMm/r GM v r2=v2rmB/r2兀 r/TvT/(2 九)将(2)式代入(1)式:2九

11、GM= v3T所以v = (2兀 GM)1/3 / T1/3于是v-1/33v i:vzv3= T 1-1/3 : T 21/3 : T1:v 2:v 3= (T2T3) 1/3:(T 1T3) 1/3:(T 1T2)1/3例题5(1)已知地球质量为M,引力常量为G,在地心-恒 星坐标系中，地球自转周期为T.求同步卫星离地心的距离.(2) 已知地球半径为R,在地心-恒星坐标系中，地球自转 周期为T,贴近地球运行的卫星的周期为T0.求同步卫星离地 心的距离.(3)已知地球半径为R,地面附近引力场强度约等于地面 附近重力加速度g,在地心-恒星坐标系中地球自转周期为T.求同步卫星离地心的距离.解：(

12、1)设同步卫星离地心的距离为r.地球对同步卫星 的万有引力F产生向心加速度a:F=ma而F2=GMm/ra=3 r = 4 冗 r/T所以GMm/r2=4：t2mr/T2即GMTj dr3于是r= GMT/(4 /)21/3(2)同步卫星的运行周期等于地球的自转周期T.设同步卫星离地心的距离为r.由GMm/r 2= 4 tt 2mr/T2可以得到 GMT 2=4冗2r3类似地,贴近地球运行的卫星满足GMT02= 4几代由以上两式可得T2/To2 = r3/R3于是r=(T2/To2)1/3R(3)同步卫星的运行周期等于地球自转的周期T.设同步卫星离地球的距离为r.则GMm/r 2=4 兀 2m

13、r/T2即r=GMT/(4 兀2) 1/3(1)2、又g= F/mi = (GMmR )/m i即g= GM/R即GM=gR(2)将(2)式代入(1)式可得r= gR2T/(4 兀 2) 1/3近三年万有引力高考试题(2001年全国)31. (28分)太阳现正处于主序星演化阶段。它主要是由电子和1H、2He等原子核组成。维持太阳辐射的是它内部的核聚变反应，核反应方程是2e+41HT2He十释放的核能，这些核能最后转化为辐射能。根据目前关于恒星演化的理论，若由于聚变反应而使太阳中的；H核数目从现有数减少10%,太阳将离开主序星阶段而转入红巨星的演化阶段。为了简化，假定目前太阳全部由电子和；H核组

14、成。(1)为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量 M已知地球半 径R= 6.4X106 m,地球质量m= 6.0Xl024 kg,日地中心的距离r = 1.5 X1011 m,地球表面处的重力加速度 g=10 m/s2 , 1年约为3.2X107秒，试估算 目前太阳的质量M(2)已知质子质量 mp= 1.6726 X 10 27 kg , 2He质量 na = 6.6458 X 1027 kg,电子质量 m=0.9xi030 kg,光速c = 3xi08 m/s。求每发生一次题 中所述的核聚变反应所释放的核能。(3)又知地球上与太阳垂直的每平方米截面上，每秒通过的太阳辐射 能w= 1.35

15、 X 103 W/m0试估算太阳继续保持在主序星阶段还有多少年的寿命。（估算结果只要求一位有效数字。）参考解答（1）估算太阳的质量M设T为地球绕日心运动的周期，则由万有引力定律和牛顿定律可知mM2二 2G =m（） r rT地球表面处的重力加速度-mg 二gr3M = m（）2 -2-T R2g以题给数值代入，得 M= 2 x 1030 kg（2）根据质量亏损和质能公式，该核反应每发生一次释放的核能为2q E=（4m+2mmi） c代入数值，得 E= 4,2 X10 12 J（3）根据题给假设，在太阳继续保持在主序星阶段的时间内，发生题中所述的核聚变反应的次数为N10%4mp因此，太阳总共辐射

16、出的能量为E= N E设太阳辐射是各向同性的，则每秒内太阳向外放出的辐射能为 £ = 4 几 r 2w所以太阳继续保持在主星序的时间为Et 二 一由以上各式解得20.1M (4mp 2me - m:.)c，一 24m 4 r w p以题给数据代入，并以年为单位，可得t =1X101°年=1百亿年评分标准：本题28分，其中第（1）问14分，第（2）问7分，第（3）问 7分。第（1）问中 、两式各3分，式4分，得出式4分；第（2）问中式4分，式3分；第（3）问中、两式各2分，式2分，式1分。（2003年全国）24. （15分）中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现

17、有一中子星，它的自转周期为T=-so同该中子星的最30小密度应是多少才难维持该星体的稳致因自转而瓦解。计算时星体可视 为均匀球体。（引力常数G毛.67 x 10Tn3/）参考解答：24.考虑中子是赤道外一块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随 星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为P,质量为M ,半径为R,自转角速度为6 ,位于赤道处的小块物为m,则有GM2m =m2R M=4nR2P 由以上各式得R2T3P= 耳 代入数据解得P = 1.27M 1034kg.GT2（2003江苏）14. （12分）据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太 阳系的9大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的新行星， 而且还测 得它绕太阳公