2021中考数学复习分类汇编专题：二次函数与平行四边形问题

1、11 / 29专题：二次函数与平行!1!边形问题1.如图抛物线y二ax2 + bx + 6经过点A( -2 ,0),B(4, o)两点，与y轴交于点C.点D是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m ( l<m<4 ).连接AC , BC , DB , DC.(1)求抛物线的函数表达式；3(2 )BCD的面积等于aAOC的面积的公时，求m的值；(3 )在(2 )的条件下,若点M是x轴上一动点，点N是 抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B ,D , M , N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图,抛物线y二-x2 +

2、 3x + 4与x轴交于A、B两点(点A 在点B的左侧)，与y轴交于点N ,过A点的直线丫=1<乂 +门与 y轴交于点C ,与抛物线y= - x2 + 3x + 4的另一交点为D ,已 知D(5 , - 6) .P点为抛物线y = - x2 + 3x + 4上一动点(不与A、 D重合).(1)求直线AD的表达式及A、B、C三点的坐标；当点P在直线I上方的抛物线上时过P点作PEIIX轴交 直线I于点E作PFlIy轴交直线I于点F求PE+PF的最大值；(3)设M为直线I上的点探究是否存在点M使得以点N、 C、M、P为顶点的四边形为平行四边形.若存在,求出点M的 坐标；若不存在，请说明理由.1

3、 13.如图,抛物线y = 12 -卧-2 ,与x轴交于A , B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C ,抛物线的对称轴为I.(1)求点A, B,C的坐标；(2 )若点D是第一象限内抛物线上一点，过点D作DE±x 轴于点E ,交直线BC于点F ,当OE=4DF时，求四边形DOBF 的面积；(3 )在(2 )的条件下,若点M在抛物线上，点N在抛物 线的对称轴上，是否存在以点B , D , M , N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若 不存在，请说明理由.14 .如图,在平面直角坐标系中,直线y= - x + 2与x轴交1于点A ,与y轴交于点B

4、,抛物线y= - -x2 + bx + c经过A , B两点且与x轴的负半轴交于点C.Q)求该抛物线的表达式；(2)若D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当/ABD = 2 ZBAC时，求D点的坐标;已知E , F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B ,。，E , F为顶点的四边形是平行U!边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标.5 .如图,抛物线y=ax2 + 6x + c交x轴于A , B两点，交y 轴于点C.直线y=x - 5经过点B , C.(1)求抛物线的解析式；(2 )过点A的直线交直线BC于点M.当AM，BC时，过 抛物线上一动点P (不与点B , C重合)，作直线AM的平行

5、线 交直线BC于点Q ,若以点A , M , P , Q为顶点的四边形是平 行四边形，求点P的横坐标；6 .如图，抛物线经过A( -1,0),8(5,0),-0,)三 乙点(1)求抛物线的解析式；(2 )在抛物线的对称轴上有一点P ,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3 )点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以四点构成的四边形为平行U!边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2 + bx+c(a#0)zvA ( -1,O),B(5,O),C(O,)三点在抛物线上， 乙c-025&+5b+c = 01a-2解得b二-2

6、 .5c 二2.,抛物线的解析式为：y二暴2-2x-1;(2 ) 抛物线的解析式为:y=|x22x/.其对称轴为直线x=-A=-, 2a 2吟乙连接BC ,如图1所示,B (5,0),C(0,一王)，设直线BC的解析式为y=kx+b ( k/0 ),f5k+b=0直线BC的解析式为y=1x - f , 乙乙当 x=2 时，y=l -1= - | ,J(2, -1)；(3 )存在.如图2所示,当点N在x轴下方时,抛物线的对称轴为直线x=2 , C ( 0 , 4 ), 乙N1(4, -1); 乙当点N在x轴上方时,如图,过点N2作N2D±x轴于点D ,在4AN2D 与4M2co 中,&

7、#39;ZN2AD=ZCM20< /必二CM2Zan2d=Zm2co.AN2D*M2co ( ASA),.-.N2D=OC=1 ,即N2点的纵坐标为'. 乙乙解得x=2+后减x=2 - V14 ,N2（2+回,1J, N3（2-幅，!）. 乙乙),(2+® 幕)乙综上所述，符合条件的点N的坐标为（4 ,-或（2-幅，切.乙参考答案L解:,抛物线y = ax2 + bx + 6经过点A(-2 ,0) , B(4 ,0),4a-2b+ 6 = 0, 16a + 4b + 6 = 0.3a= 4f解得j 3 b = 33.抛物线的函数表达式为y = -+x + 6 ;(2)如

8、解图，过点D作直线DE±x轴于点E ,交BC于点 G.作CDDE,垂足为点F.点A的坐标为(-2,0),/.OA = 2.由 x =。，得 y = 6.点C的坐标为(0 , 6) .OC = 6.11/.SAOC = -OA-OC = "x2x6 = 6. 223 eSABCD = SaAOC ,439/.SaBCD = -x6 = - 42设直线BC的函数表达式为y = kx + n(k#0).4k+n=0, 由B,C两点的坐标味应3 k= - - 解得J2n = 6.3,直线BC的函数表达式为y =-.+ 6._3.点G的坐标为(m ,-二m + 6) .333DG =

9、 - -m2 + 5m + 6 - (- -m +3=-m2 + 3m.(6 分)点B的坐标为(4,0),/.OB = 4.0BCD = SKDG + SaBDG111=-DG-CF + -DG-BE = DG(CF + BE)1= -DG-BO2=( - -m2 + 3m)x43=-二m2 + 6m.239J - -m2 + 6m = .22解得ml = 1(舍去)，m2 = 3.(3)存在以B , D , M , N为顶点的四边形是平行四边形，点 M的坐标为(8 , 0)或(0,0)或(-旧 ,0)或(百，0).【解法提示】由(2)可知m = 3 ,将m = 3代入抛物线表达式1515得y

10、 = 1,.D(3,1).33设点N的坐标为(n, -n2 + 5n + 6),当以B, D, M, N 为顶点的四边形是平行四边形时，分四种情况：15当DN IIBM时，此时N(n , 1),3315可得-92 +于+ 6=1，解得n1二-1, n2 = 3(舍)，(i )如解图,以BD为对角线,M(8 , 0);cr fl_d(ii)如解图，以BD为边, .-.M(0 , 0);当BDIIMN时，BD为边，BM为对角线，此时N(n ,-1)，即-二 n2 m+ 6=-解得 nl = l- / , n2 = l + /14.(i )当点M在点y轴左侧时，n = 1 - / ,如解图,M（-声

11、，0）;(ii)当点M在y轴右侧时，n = 1 + / ,如解图,/-15.NQ + qi4,综上所述,存在以B , D , M , N为顶点的四边形是平行四 边形，点M的坐标是(8 ,0)或(0 ,0)或(y/14 ,0)或(的，0).2.解:Q)令-x2 + 3x + 4 = 0 ,解得 xl= - 1 z x2 = 4 ,点A在点B的左侧，A( -1,0)、B(4,0),将 A(l,0)、D(5, -6)代入 y=kx + n 中，-k + n = 0 ,5k + n = - 6,直线AD的表达式为y=-x-1,令x =。，得y=-1,.C(0, -1);(2)设 P(m , - m2

12、+ 3m + 4),则 F(m , - m - 1),/.PF = yP - yF= - m2 + 4m + 5 ,由题意得OA = OC ,.-.ZOAC = ZOCA = 45° z,PElIx轴，PFlIy轴,.ZPEF = NPFE = 45° ,.-.PE = PF.e.PE + PF = 2PF = 2( - m2 + 4m + 5) = - 2m2 + 8m + 10 =-2(m - 2)2 + 18 ,- 2<0 , - l<m<5 , .当m=2时，PE + PF取得最大值，其最大值为18 ;(3)存在点M ,使得以点N、C、M、P为顶点

13、的四边形为平行四边形，易得NC = 5 ,下面分两种情况进行讨论：当线段NC为平行四边形的一条边时，有NCIIPM , NC 二 PM 或 NCIIMP z NC= MP ,设 M(m , - m - 1),则 P(m , -m2 + 3m + 4).'.|yM - yP| = 5 §P| - m - 1 + m2 - 3m - 4| = 5 ,m2 - 4m - 5 = 5 或 m2 - 4m - 5 = - 5 ,解得 ml = 2 + yJlA , m2 = 2 - 或 ml = 0(不合题意， 舍去)m2 = 4,.,点M坐标为(2 +取，-3 -乖),(2 -乖，-

14、3十 /) , (4 , -5);当线段NC为平行四边形的一条对角线时，有NC和PM 互相平分，如解图，分别过点P、M作y轴的垂线，垂足分别为3H、R,连接MP交点y轴于点I,易得I(0,5), aPHI弁MRI, PH = MR , RI = HI. PH = MR , *.xM = - xP ,设 M(m , - m - 1),则 P( - m , - m2 - 3m + 4),.RI = HI ,3 3.yM -=-yP,3 3gp - m - 1 - - = - - (- m2 - 3m + 4),解得 ml = 0(不合题意，舍去)/ m2 = - 4 ,当 m=-4 时，- m-

15、l = 3,.点M坐标为(-4,3);综上所述，共存在四个点M ,都能使得以点N、C、M、P 为顶点时四边形为平行四边形它们的坐标分别为(2+<14 , - 3 -/)，(2-/, -3+/), (4, -5), (-4,3).1 13.解:Q)令 y = 0 ,得72 - -x - 2 = 0.解得 xl =-2 , x2 = 4.点A在点B的左侧,.点A的坐标为(-2 , 0),点B的坐标为(4,0) .令X =。，得y=-2,点C的坐标为(0, -2);(2)设直线BC的函数解析式为y=kx + b ,将B(4 ,0) ,C(0 ,-2)代入得(4k + b = 0 , U.2,解

16、得r1k=rb = - 2.33 / 29,直线BC的函数解析式为11 1设点D的坐标为(m -m2 - -m - 2)，则点F的坐标为(m ,15m - 2),点E的坐标为(m , 0).,点D在第一象限,.m > 0.又. OE = 4DF ,1 1 1/.m = 4-m2 - -m - 2 - (m - 2).解得ml = 5 , m2 = 0(舍去)._7_点E的坐标为(5 , 0),点D的坐标为(5 ,1),点F的坐标1为(5 ,-).17 11/.S 四边形 DOBF = SOED - SBEF = -x5x-xlx- =338 ；(3)存在符合题意的点M.b理由如下：*.4

17、-=1, 2a.设点N的坐标为(1 , n).当NB为对角线时,如解图所示，点M的坐标为(0 , n7117代入 y =- X - 2 ,得 n -7-2.此时点M的坐标为(0, -2);图u图当ND为对角线时，如解图所示，点M的坐标为(2 , n7+ 4b代人y = x2 - pc - 2 ,得n+=l - 1 - 2 = - 2.此时点M的坐标为(2, -2);7当BD为对角线时，如解图所示，点M的坐标为(8 ,-n),117代人片12 -于-2 ,得n = 16 - 4 - 2 = 10.此时点M的坐标为(8 , 10).综上所述,存在以点B , D , M , N为顶点的四边形是平行

18、四边形，点M的坐标分别为(0 , - 2)或(2 , - 2)或(8 , 10).14.解:Q)在y=于+ 2中，令丫 = 0,得乂=4,令乂 = 0, 得 y = 2,A(4,0) , B(0,2)1把 A(4,0), B(0,2)代入 y二-p<2 + bx + c,1-xl6 + 4b + c = 0 ,得彳25 = 2，3 b = 解得j2c = 2.,抛物线的表达式为y二13-p<2 + -x + 2 ;(2)如解图,过点B作x轴的平行线交抛物线于点E ,过 点D作BE的垂线，垂足为点F.,BE II x 轴,.1.zBAC = zABE.zABD = 2zBAC ,.*

19、.zABD = 2zABE.§PzDBE + zABE = 2zABE.,.zDBE = zABE.,.zDBE = zBAC.设D点的坐标为(x ,13-p<2 + -x + 2) z13则 BF = x , DF = - -x2 + -x.DFBOManzDBE = 77 , tanzBAC = 7 BFAO13DF BO _ 2X2 + 2X 2亦力即1 二 1解彳导x = 2.-p<2 + -x + 2 = 3点D的坐标为（2 , 3）;E点的坐标为（2,1）或（2 - 2也，1 +也威（2 + 2也 1-也）或（2-2陋,3+也）或（-2+23，3-店）.【解法

20、提示】如解图,当BO为边时,OB IIEF ,且OB 二EF,1132),设 E(m, -m + 2),F(m, - -m2 + -m +.*.EF = |(-m + 2) - (-m2 + -m + 2)| = 2 ,解得 ml = 2, m2 = 2-2明，m3 = 2 + 22 z.E点的坐标为(2 , 1)或(2 - 2yf2 , 1 +/)或(2+ 2明，1如解图，当BO为对角线时，OB与EF互相平分,过点。作OFIIAB,12也，-1/)或直线OF : y =-,交抛物线于点F(2 + (2-2也，-1 +也).设OB的中点为P ,则P(0,1) ,则EF所在直线过点P.求得 直线

21、EF的表达式为y=-当x+l或y;亨+ 1,直线EF与AB的交点为E ,y=- 联立得y=于+2，.E点的坐标为(-2/-2 3 +也)或(2g-2 3 - 2).综上所述，E点的坐标为(2 , 1)或(2 - 2y/2 , 1 +班)或(2 十2陋 J 一班)或(-2 - 25，3 +/)或(2g-2 ,3 胡).5.解：Q);直线y = x - 5交x轴于点B ,交y轴于点C ,B(5 , 0) , C(0 , -5).抛物线 y 二 ax2 + 6x + c 过点 B、C ,Jo = 25a + 3O + c a =-1-5 = c ， c = - 5 z抛物线的解析式为y = - x2

22、 + 6x - 5.(2)*. OB = OC = 5 , ZBOC = 90° , .t.ZABC = 45°.,抛物线y= - x2 + 6x - 5交x轴于A , B两点, aA(1,0),.-.AB = 4 ,vAM±BC , /.AM=AB-sinzABC = 2j2. ,PQIIAM ,.-.PQ±BC.若以点A , M , P , Q为顶点的四边形是平行四边形,则 PQ = AM = 2"如解图，过点P作PD±x轴交直线BC于点D ,贝此PDQ = 45。，CPD=/PQ = 4设 P(m , - m2 + 6m - 5),则 D(m , m - 5).分两种情况讨论如下：(i )当点P在直线BC上方时,PD= " m2 + 6m - 5 - (m - 5