南阳师院学院

1、1 1 绪论绪论主讲人：地理系 白景锋地理学的发展阶段地理学的发展史可划分为三个基本阶段： 古代地理学，以记载地理知识为主体；n近代地理学，对各种地理现象进行条理化归纳，并对它们之间的关系进行解释性描述； n现代地理学，采用定性与定量相结合的方法，规范研究与实证研究并举，解释各种地理现象的内在机制并预测其未来演变。地理学与数学的关系古代地理学和 近代地理学中的数学方法限于定量地描述、记载和解释。现代地理学中运用数学方法，是为了深入地进行定量化研究，揭示地理现象发生、发展的内在机制及运动规律，从而为地理系统的预测及优化调控提供科学依据。 1 绪论 n计量地理学的形成和发展n计量地理学的主要内容n

2、对计量地理学的评价 n计量地理学的应用1.1 计量地理学的形成和发展现代地理学发展史上的计量运动 计量地理学的发展阶段 现代地理学的数学方法在中国的发展1.现代地理学发展史上的计量运动 近代地理学有三种主要学派:区域学派,代表人物是赫特纳（A.Hettner）、哈特向（R.Hartshorne)。人地关系学派，代表人物是洪堡（Alexander Von Humboldt）、李特尔（Karl Ritter）、李希霍芬（F. Richthofen）等。景观学派，代表人物是施吕特尔（O. Schlter）等。早期计量运动的三种学派计量运动起于三种学派对区域学派的批评否定。衣阿华的经济派。代表人物是舍

3、弗尔、麦卡尔蒂，着重探讨经济区位现象间区位现象间相互内在联系及其组合类型。威斯康星的统计派。代表人物是威弗尔（J. Weaver）、罗宾逊(A.H. Robinson)、东坎(O.D. Duncan)和仇佐里(R.P. Cuzzori)，主要特征是发展和应用统计分析方法。普林斯顿的社会物理学派。代表人物是司徒瓦特(J.Q. Stewart)。受此派影响，引力模型、位势模型、空间相互作用模式得推广。 促进计量运动发展的其他组织和个人加里森(William L. Garrison) 及其领导的华盛顿小组。加氏第一个把地理学的理论和方法建立在定量的基础上，第一个编定了计量地理学教材。 美国区域科学协

4、会和瑞典的地理学定量化研究。美国区域科学协会美国计量运动的源地之一；瑞典学者哈格斯特朗曾为地理计量方法研讨班授课，组织美国和瑞典地理学家与克里斯塔勒会面，交流学术思想。 计量运动中涌现的著名学派、组织和学术刊物n英国以乔莱（R.J. Chorley）、哈格特(P. Haggett)和哈威(D. Harvey)等为代表的剑桥学派；n1964年国际地理学联合会(IGU)设立的地理计量学方法委员会；n1967年英国地理学会设立的地理教学采用模型和计量技术委员会；n1968年日本成立的计量地理学研究委员会，1973年又改称理论、计量地理学委员会；n1963年英国出版的地理学计量资料杂志和1969年美国

5、出版的地理分析国际理论地理学杂志。 2. 计量地理学的发展阶段n第一阶段（20世纪50年代末到60年代末期） 把统计学方法引入地理学研究领域，构造一系列统计量来定量地描述地理要素的分布特征，应用各种概率分布函数、平均值、方差、标准参数以及简单的两要素间的一元线性差、变异系数等统计特征回归分析方法。n第二阶段（20世纪60年代末期到70年代末期） 多元统计分析方法和电子计算机技术在地理学研究中广泛应用。n第三阶段（20世纪70年代末期开始到80年代末期） 数学方法有概率论与数理统计方法、规划方法、决策方法、网络分析方法、数学物理方法、模糊数学方法、分形几何学方法、非线性分析方法、投入产出分析方法

6、等。n第四阶段（20世纪90年代初至今） 由传统意义上的计量地理学向地理计算发展(geocompution)。3. 计量地理学在中国的发展n20世纪50年代末，一些大学开设运筹学课程，地理学报等刊物上开始出现运用有关数学方法研究地理问题的论文。n70年代末80年代初，计量地理学正式起步。1980年5月，计量地理学被列为全国综合大学地理系和高等师范大学地理系的专业课；中国地理学会于1983年召开数量地理研讨会；1984年和1985年，正式出版了教材计量地理学概论（林炳耀编）和计量地理学基础（张超、杨秉庚编）。n20世纪80年代后期以来，地理数学方法的应用与系统科学、系统分析方法以及GIS技术有机

7、地结合起来。1.2 计量地理学中的主要数学方法数学方法 用途 概率论 用于地理现象、地理要素的随机分布研究。 抽样调查 用于地理数据的采集和整理。 相关分析 分析地理要素之间的相关关系。 回归分析 拟合地理要素之间的数量关系、预测发展趋势。方差分析研究地理数据分布的离散程度。时间序列分析用于地理过程时间序列的预测与控制研究。主成分分析用于地理数据的降维处理及地理要素的因素分析与综合评价。聚类分析 用于各种地理要素分类、各种地理区域划分。 判别分析 用于判别地理要素、地理单元的类型归属。 趋势面分析用于拟合地理要素的空间分布形态。 协方差与变异函数用于研究地理要素的空间相关性及空间分布的数量规律

8、。克立格法 用于地理要素分布的空间局部估计与局部插值。 马尔可夫过程 用于研究随机地理过程、预测随机地理事件。 线性规划 用于研究有关规划与决策问题。 投入产出分析 用于产业部门联系分析、劳动地域构成分析、区域相互作用分析。多目标规划 用于研究有关规划与决策问题。非线性规划 用于研究有关规划与决策问题。动态规划用于有关多阶段地理决策问题的求解网络分析 用于交通网络、通讯网络、河流水系等地理网络的研究。层次分析法 用于有关多层次、多要素战略决策问题的分析。风险型决策分析法用于各种风险型地理决策问题的分析。非确定型决策分析法用于各种非确定型地理决策问题的分析。模糊数学方法(fuzzy)用于各种模糊

9、地理现象、地理过程、地理决策和系统评价研究。控制论用于地理过程、地理系统的调控研究。 信息论用于各种地理信息的分析、处理。突变论用于有关突发性地理现象、地理事件的研究。耗散结构理论用于有关地理系统、地理过程的组织与演化问题研究。协同学用于有关地理系统、地理过程的自组织问题研究。灰 色 系 统 ( g r e y system)用于灰色地理系统的分析、建模、控制与决策研究。系统动力学方法用于对地理系统的仿真、模拟和预测。分形理论(fractaltheory)用于有关地理实体的形态及要素分布形态的自相似机理研究。小波分析 Wavelets用于多层次、多尺度、多分辨率的地理时空过程的时频分析。人 工

10、 神 经 网 络(ANN)（NEURAL planner software)用于有关地理模式的识别、地理过程机制的自学习及预测等。遗 传 算 法 G A（GALIB软件）用于复杂的非线性地理问题的计算。细胞自动机CA用于有关地理过程的计算机模拟。人工智能体Agent(netlogo软件）)它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学。对计量地理学的评价对计量地理学的评价对于计量地理学，产生了三种观点：“反定量化”反对地理学定量化研究，认为地理现象十分复杂，不能用简单的数学方法来解释，对数学方法采取拒绝和否定态度。代表人物：史密斯（David Smit

11、h）、奥格登(Philip Ogden)等。“定量化”推崇地理学定量化，认为数学方法不仅是一种分析技术，而且能够导出普遍性规律，能够解决地理学传统研究方法所不能解决的理论问题。代表人物如克里斯塔勒（W. Christaller）、帮吉(W. Bunge) 乔莱(R. Chorley)、哈格特(P. Haggett)等。n“非定量化”认为数学方法只是地理学研究方法之一，只能用来研究地理要素之间的数量关系和地理事物的空间格局，不能用来描述和解释地理规律，不能导出地理学理论，但其观点摇摆不定。本人对计量地理学的评价与认识： n世界上的任何事物都可以用数值来度量。n在现代地理学中，传统方法是数学方法的

12、基础，数学方法是传统方法的重要补充。 n数学方法是人们进行数学运算和求解的工具，能以严密的逻辑和简洁的形式描述复杂的问题、表述丰富的实质性思想。 n地理学研究中，数学方法有其局限性。n现代地理学中数学方法的形成和发展与计算机应用技术密切相关。 1.4 计量地理学的应用应用方面：1.空间与过程的研究2.生态研究3.区域研究应用中应该注意的几个问题 地理数据的筛选与质量检验问题 模型的建造问题计量地理与传统地理学研究对象的区别数学方法主要应用方面n分析地理事物的空间分布规律性n分布型分析-对地理要素的分布特征及规律进行定量分析。n网络分析n趋势面分析-做出地理要素的趋势等值线图，展示所要分析的地理

13、要素的空间分布规律。n地理事物的空间构成n地域构成分析n相互关系分析-对地理要素、地理事物之间的相互关系进行定量分析。n地理事物的空间过程、预测规划n类型研究-对地理事物的类型和各种地理区域进行定量划分。 n网络分析-对水系、交通网络、行政区划、经济区域等的空间结构进行定量分析。 n空间相互作用分析-定量分析各种“地理流”在不同区域之间流动的方向和强度。系统仿真研究，步骤： 对复杂地理系统的各种系统要素之间的相互关系与反馈机制进行分析，构造系统结构；建立描述系统的数学模型；以适当的计算方法与算法语言将数学模型转化为计算机可以识别运行的工作模型；运行模型，对真实系统进行模拟仿真，从而揭示其运行机

14、制与规律。过程模拟与预测研究, 通过对地理过程的模拟与拟合，定量地揭示地理事物、地理现象随时间变化的规律，预测其未来发展趋势。n空间扩散研究,定量地揭示各种地理现象，包括自然现象、经济现象、社会现象、文化现象、技术现象在地理空间的扩散规律。n地理系统优化调控研究,运用系统控制论的有关原理与方法，研究人地相互作用的地理系统的优化调控问题，寻找人口、资源、环境与社会经济协调发展的方法、途径与措施。 n 地理系统的复杂性研究 ,目前还未形成一种非常有效的方法。计量地理得研究方法n1.地理系统分析n2.随机数学方法的应用n3.地理系统模拟应用中应该注意的几个问题n地理数据的筛选与质量检验问题 地理数据

15、在建模分析中的作用： 确定模型中的参数与初值； 检验模型的正确性、合理性和有效性。 影响由模型所得出的研究结果的正确性。模型的建造问题建模程序威尔逊 ，英国建造一个数学模型，首先必须明确建模的目标；地理问题 在各类变量中必须明确哪些变量是可控变量，即通过对哪些变量的调控可以使系统的行为发生改变；在模型中，如何处理时间概念，即认为被研究的对象系统是无记忆系统还是记忆系统，是建立静态模型还是建立动态模型；所建模型将采用什么观点、解决哪些理论问题，与此问题有关的建立模型的基本假设，以及所依据的理论，将要解决的问题等都将直接或间接地体现在模型之中； 能用于建模的有关数据、资料是什么，可能性如何，应采用

16、何种建模技术，有现成的技术方法可供借鉴还是需要建造新模型，采用什么方法确定模型的参数； 所建模型的精度及该模型的合理性和有效性如何，采用什么方法和手段检验所建模型。数学方法和GIS的结合：研究一些复杂的地理问题，需要综合应用多种数学方法，建立一系列具有分析、模拟、仿真、预测、规划、决策、调控等多种功能的众多模型组成的模型系统。这些模型系统离不开GIS的支持。GIS的基本技术及建造空间分析模型需要借助有关的数学方法来实现。近几年来出现的基于知识的空间决策支持系统（苏理宏等，2000）就是数学方法、人工智能技术与GIS技术在地理学应用研究领域中相互结合的成功典范。2 地理数据及其采集与处理2 地理

17、数据及其采集与处理n地理数据的类型n地理数据的基本特征，地理数据的采集与处理n地理数据的统计处理两个概念：n空间数据：用于描述地理实体、地理要素、地理现象、地理事件及地理过程产生、存在和发展的地理位置、区域范围及空间联系。n属性数据：用于描述地理实体、地理要素、地理现象、地理事件、地理过程的有关属性特征。 空间数据的表达：n点由一个独立的坐标点（x，y）定位，是空间上不可再分的几何实体 。n线由若干个（至少两个，理论上是无穷个）坐标点（xi，yi）（i =1，2，）定义，有一定的长度和走向，表示线状地物或点实体之间的联系。 n面表示在空间上连续分布的地理景观或区域。 三种基本的地理几何实体及其

18、组合点线面地域类型网络地带区域属性数据的类型：n 数量标志数据 间隔尺度数据:以有量纲的数据形式表示测度对象在某种单位(量纲)下的绝对量。 比例尺度数据:以无量纲的数据形式表示测度对象的相对量。 品质标志数据 有序数据:当测度标准不是连续的量时，只是表示其顺序关系的数据。 二元数据:用0、1两个数据表示地理事物、地理现象或地理事件的是非判断问题。 名义尺度数据:用数字表示地理实体、地理要素、地理现象或地理事件的状态类型。 几种属性数据举例:n间隔尺度数据年平均气温（C） 年降水量（mm） 土地面积（ha） 人口（人） 国内生产总值（万元）区域1 8.0 500.2 245.6 1210 267

19、8.28 区域2 7.6498.61064.10232015.47区域36.5550.9894.38481754.56区域38.5586.4668.76541365.46表表2.1.12.1.1比例尺度数据年 份19961997199819992000耕地复种指数120.40113.56126.54132.76121.43农业发展指数100115.68124.50135.69129.56表表2.1.2 2.1.2 某地区耕地复种指数和农业发展指数某地区耕地复种指数和农业发展指数 有序尺度数据城市A城市B城市C城市D城市E城市F规模等级123443人口位次124653表表2.1.32.1.3城市

20、等规模等级与人口数量的排位次序城市等规模等级与人口数量的排位次序 二元数 1表示两城市之间通航，表示两城市之间通航， 0表示两城市之间不通航表示两城市之间不通航城市A城市B城市C城市D城市E城市A1101城市B111 0城市C1110城市D011 1城市E1001 表表2.1.4名义尺度数据地块序列号12345 6土地利用类型1315211414 31表表2.1.5土地利用类型土地利用类型2.2 地理数据的基本特征 n数量化、形式化与逻辑化n不确定性 n多种时空尺度 n多维性 数量化、形式化与逻辑化的几个方面:n定量化的地理数据是建立地理数学模型的基础，作用：确定模型的参数、给定模型运行的初值

21、条件； 检验模型的有效性。n形式化、逻辑化与数量化，是所有地理数据的共同特征。n地理计算学，对于地理数据的形式化、逻辑化提出了更高的要求，要求“整体”和“大容量”的地理数据具有统一的数据形式和交换标准。地理数据不确定性的来源：n地理系统本身的复杂性从本质上决定着地理数据的不确定性。n各种原因所导致的数据误差。在地理数据采集过程中，不同的数据来源、不同的观测手段、不同的调查方法、不同的数据采集者的认识与操作水平等，都会产生地理数据的误差不确定性。 地理数据的多时空尺度：n从空间尺度上来看，描述地理区域的各种地理数据，具有多种空间尺度既有全球尺度的、洲际尺度的、国家尺度的，也有流域尺度的、地区尺度

22、的、城市尺度的、社区尺度的。n从时间尺度上来看，描述地理过程的各种地理数据具有多种时间尺度，如历史年代、天、月、季度、年等。 多维性 n对于一个地理对象的具体意义要从空间、属性、时间三个方面综合描述。 n空间方面，需要描述该地理对象所处的地理位置和空间范围，一般需要23个变量 ；n属性方面，需要描述该地理对象的具体内容，至少需要1个以上，多则需要十几个、甚至几十个变量 ；n时间方面，需要描述该地理对象产生、发展和存在的时间范围 ，需要1个变量 ；n地理数据的这种多维性，被人们描述为地理数据立方体（The Geographical Data Cube）。地理数据立方体地理数据立方体1，2，m区域

23、 要素1，2，3，nt1t2tk时间2.3 地理数据的采集与处理n地理数据的采集 n地理数据处理 1.1.地地理理数数据据的的采采集集 地理数据的渠道来源 : 来自于观测、测量部门的有关专业数据。 来自于统计年鉴、统计公报中的有关自然资源及社会经济发展数据。 来自于有关单位或个人的不定期的典型调查数据、抽样调查数据。 来自于政府公报、政府文件中的有关数据。来自于档案、图书等文献资料中的有关数据。来自于互联网（Internet）的有关共享数据。地图图件。主要包括各种比例尺的地形图、影像地图、专题地图等。 遥感数据。主要包括各种航空遥感数据和卫星遥感数据。 其它来源的有关数据。采集地理数据的过程中

24、需要注意的问题： 数据的完备性和可靠性。 在数据采集过程中，要采取一切可能的手段和技术措施，最大限度地减小数据的误差。 在数据采集完毕后，要对各种数据质量进行检验，对不同来源的相同数据进行比较、辨别真伪，通过数据筛选，去粗存精、去伪存真。对于残缺的但确实必须的数据，想办法进行及时补充。 2. 地理数据处理 n地理数据处理，是所有地理问题研究的核心环节，需要运用数学方法。地理数据处理是地理信息系统的核心功能。n地理计算学（Geocomputation）的实质是借助于现代化的计算理论、计算方法和计算机技术，通过对“整体”和“大容量”的地理数据进行处理，揭示复杂地理系统的运行机制，探索和寻求新的地理

25、系统理论。 地理数据的采集、处理及其与数学方法、地理信息系统、地理计算学之间的相互关系图: 地理数据的数据源地理数据采集数学方法GISGeocomputation地理处理数据2.4 地理数据的统计处理n 统计整理n几种常用的统计指标与参数n变异系数的一个应用实例：中国经济发展水平的省际差异分析 1.统计整理的基本步骤 :n统计分组，即根据研究目的，按照一定的分组标志将地理数据分成若干组。n计算各组数据的频数、频率，编制统计分组表。n作分布图。 例:对于黄土高原西部地区某山区县的人工造林地调查数据,步骤如下:n以地块面积作为统计分组标志进行分组;n计算各组数据的频数、频率，编制成如下的统计分组表

26、（表2.4.1）分组序号1234567891011分组标志 (0,1(1,2(2,3(3,4(4,5(5,6(6,7(7,8(8,9(9,10(10,11)组中值 0.51.52.53.54.55.56.57.58.59.510. 5频数 25961362142532862602031548524频率1.445.537.8312.3314.5716.4714.9811.698.874.901.38向上累计频数25121257471724101012701473162717121736向下累计频数 17361711161514791265101272646626310924n做出频数分布的直方图

27、 :050100150200250300350(0,1(1,2(2,3(3,4(4,5(5,6(6,7(7,8(8,9(9,10(10,11)n将上图各组的频数分布从组中值位置用折线连接起来，得到频数分布的曲线图: 0501001502002503003500.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.52. 几种常用的统计指标与参数n描述地理数据一般水平的指标n描述地理数据分布的离散程度的指标描述地理数据分布特征的参数描述地理数据一般水平的指标n平均值平均值：反映了地理数据一般水平。计算方法： 未分组的地理数据 分组的地理数据 n中位数中位数：将各个数

28、据从小到大排列，居于中间位置的那个数 。 对于未分组的地理数据，样本数n为奇数时，中位数是位置排在第(n+1)/2位的数据；样本数n为偶数时，中位数是排在中间位置的两个数据平均值。 分组的地理数据，中位数的计算步骤 : 确定中位数所在的组位置, 按公式(2.4.3)或(2.4.4)计算中位数: niixnx11miimiiifxfx11mmniiefSfdLM1121mmniiefSfdUM1121(2.4.1)(2.4.2)(2.4.3)(2.4.4)niif121众数:众数就是出现频数最多的那个数,计算方法 分为以下两种情况: 未分组的地理数据，可以根据每一个数据出现的频数大小直接确定众数

29、。 对于已经分组的地理数据，中位数的计算步骤如下： a.确定频数最多的组为众数所在组。 b.按以下公式计算众数: 2110dLM2120dUM或(2.4.5)(2.4.6)例1：下表（2.4.2）给出了某农场各农田地块的面积，试计算其平均值、中位数和众数。 地块编号 123456789101112平均值中位数众数面积（ha） 12835035555072408529657554.2552.550应按照未分组数据计算其平均值、中位数和众数，计算结果见上表最后三列。 例2:下表（2.4.3）给出了中国西部地区某城市2000年家庭月收入的抽样调查结果，试计算其平均值、中位数和众数。家庭月收入分组（元

30、）户数向上累计频数向下累计频数20003000300300 21303000400013001600183040005000200180053050006000150195033060007000100205018070008000502100808000900030213030合 计2130解题步骤: 用公式（2.4.2）计算平均数: 计算中位数。先确定中位数所在组的位置，再按照（2.4.3）计算中位数Me =2588.46（元），或者按（2.4.4）计算中位数。计算众数。先确定众数所在组。再按照公式（2.4.5）计算众数。首先确定众数所在组。显然，众数所在组应该在第二组。再按照公式（2.4

31、.5）计算众数M0 =3476.19 （元），或者按照公式（2.4.6）计算众数（元）。x=3899.06（元） 描述地理数据分布的离散程度的指标:n极差，指所有数据中最大值与最小值之差:n离差，指每一个地理数据与平均值的差，计算公式为：离差平方和。它从总体上衡量一组地理数据与平均值的离散程度，其计算公式为:方差与标准差，从平均概况衡量一组地理数据与平均值的离散程度。方差计算公式为:minmaxiiiixxRxxdiiniixxd12)(nixixn12)(12 （2.4.10） （2.4.9） （2.4.8） （2.4.7） 标准差为方差的平方根，计算公式为:如果以样本方差对标准差进行无偏估

32、计，则计算公式为:变异系数，表示了地理数据的相对变化（波动）程度，其计算公式:(2.4.12） niixxn12)(11)(12nxxSnii%1001)(1%10012nxxxxSCniiv（2.4.11） （2.4.13）例3:对于下表（2.4.5）中的数据，分别计算极差、离差、离差平方和、方差、标准差、标准差的无偏估计，以及变异系数。 序号123456789101112128350355550724085296575-42.25 28.75 -4.25 -19.25 0.75 -4.25 17.75 -14.25 30.75 -25.25 10.7520.75 步骤 ：按照公式（2.4.

33、9）计算离差平方和: 按照公式（2.4.10）计算方差： 按照公式（2.4.11）计算标准差： 按照公式（2.4.12）计算标准差的无偏估计： 按照公式（2.4.13）计算变异系数： 25.56661212iidd19.47212122d73.2119.472270.221122dS%100 xSCv描述地理数据分布特征的参数 n标准偏度系数，测度地理数据分布的不对称性情况，刻画以平均值为中心的偏向情况，计算公式为： g10，表示正偏，即均值在峰值的右边；g1 =0，表示对称分布（如下图）。 31161niiSxxng图图2.4.3 2.4.3 偏度系数的三种情形偏度系数的三种情形)(xf)(

34、xf0g10g1)(xfxxxxxx例例4：对于表2.4.2中的数据分布，计算其标准偏度系数。 解题步骤及分析：按照公式（2.4.14），计算可得g1= -0.3340，表示地理数据分布的集中程度高于正态分布；g20，表示地理数据分布的集中程度低于正态分布（见上图）。 niiSxxnng1423124例例5：对于表27中的数据分布，计算其标准峰度系数。n解：按照公式（2.4.15），代入数据计算可 得 -0.8680。显然，其分布的集中程度低于正态分布。2g4. 变异系数的一个应用实例：中国经济发展水平的省际差异分析 以xi代表中国各省（市、自治区）的人均GDP，则由公式（2.4.13）计算得

35、到的变异系数Cv就测度了中国经济发展水平的省际差异。利用各省（市、自治区）的人均GDP，分别计算了19781999各年的变异系数（如下图）。图2.4.5 19781999年中国省际经济发展水平的变异系数图2.4.5 19781999年中国省际经济发展水平的变异系数50.00%60.00%70.00%80.00%90.00%100.00%110.00%120.00%130.00%140.00%19781980198219841986198819901992199419961998结果分析：n变差系数由1978年的117.64%减小到1990年的66.82%，然后再增加到1999年的76.66%。

36、n在19781990年期间，中国经济发展水平的省际差异呈缩小趋势，而19901999年期间则呈扩大趋势。n国家区域发展政策的实施对省际经济发展差异的变化有很大的影响。 9 网络分析方法 主讲人 白景锋9 网络分析方法网络分析方法 n地理网络的图论描述 n最短路径与选址问题 n最大流与最小费用流 网络分析主要运用图论方法研究各类网络的结构及其优化问题。 城镇体系问题，城市地域结构问题，交通问题，商业网点布局问题，物流问题，管道运输问题，供电与通讯线路问题，等等，都可以运用网络分析方法进行研究。 9.1 地理网络的图论描述地理网络的图论描述n通俗意义上的通俗意义上的“图图”，主要是指各种各样的地图

37、、遥感影像图，或者是由各种符号、文字代表的示意图，或者是由各种地理数据绘制而成的曲线图、直方图，等等。 n图论中的图论中的“图图”，是一个数学概念，这种“图”能从数学本质上揭示地理实体与地理事物空间分布格局，地理要素之间的相互联系以及它们在地域空间上的运动形式，地理事件发生的先后顺序，等等。 n图的定义图的定义 设V是一个由n个点vi(i=1，2，n)所组成的集合，即V=v1，v2，vn，E是一个由m条线ei（i=1，2，m）所组成的集合，即E=e1，e2，em，而且E中任意一条线，都是以V中的点为端点；任意两条线除了端点外没有其它的公共点。那么，把V与E结合在一起就构成了一个图G，记作G（V

38、，E）。V中的每一个点vi（i=1，2，n）称为图G的顶点，E中每一条线称为图G的边（或弧）；若一条边e连接u，v两个顶点，则记为e（u，v）。 1. 地理网络的图论描述地理网络的图论描述 在图G（V，E）中，V不允许是空集，但E可以是空集。 图包含两个方面的基本要素： 点集；边集。例例：图9.1.1所示的图， 顶点集为Vv1，v2，v3，v4，v5，v6，v7，v8， 边集为Ee1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8，e9，e10，e11 。 图的定义只关注点之间是否连通，而不关注点之间的连结方式。 n地理位置、地理实体、地理区域，譬如，山顶、河流汇聚点、车站、码头、村庄、城镇等点点

39、n它们之间的相互联系，譬如，构造线、河流、交通线、供电与通讯线路、人口流、物质流、资金流、信息流、技术流等点与点的连线点与点的连线。 n一个由基本流域单元组成的复杂的流域地貌系统，如果舍弃各种复杂的地貌形态，各条河流线线，河流分岔或汇聚处点点，流域地貌系统水系的基本结局（树树）。 在现实地理系统中，对于地理位置、地理实体、地理区域以及它们之间的相互联系，可以经过一定的简化与抽象，将它们描述为图论意义下的地理网络，即图。 列昂纳德欧拉七桥问题 东普鲁士的哥尼斯堡城（现在的加里宁格勒）是建在两条河流的汇合处以及河中的两个小岛上的，共有七座小桥将两个小岛及小岛与城市的其它部分连接起来，那么，哥尼斯堡

40、人从其住所出发，能否恰好只经过每座小桥一次而返回原处？图论研究结果告诉我们，其答案是否定的。2) 2) 图的图的一些相关概念相关概念 n无向图与有向图 无向图每条边都没有给定方向， 即（u，v）（v，u）；有向图每条边都给定了方向， 即（u，v）（v，u）。n赋权图。如果图G（V，E）中的每一条边（vi，vj）都相应地赋有一个数值wij，则称G为赋权图，其中wij称为边（vi，vj）的权值。除了可以给图的边赋权外，也可以给图的顶点赋权。这就是说，对于图G中的每一顶点vj，也可以赋予一个载荷a(vj)。n关联边。若e（u，v），则称u和v是边e的端点，e是u和v的关联边。 n环。若e的两个端点相

41、同，即uv，则称为环。 n多重边。若连接两个端点的边多于一条以上，则称为多重边。 n多重图。含有多重边的图，称为多重图。 n简单图。无环、无多重边的图，称为简单图。 n点与次。以点v为端点的边的个数称为点v的次，记为d(v)。次等于1的点称为悬挂点；与悬挂点关联的边称为悬挂边；次为零的点称为孤立点。次为奇数的点称为奇点；次为偶数的点称为偶点。n连通图。在图G中，若任何两点之间至少存在一条路（对于有向图，则不考虑边的方向），则称G为连通图，否则称为不连通图。n路（链）。若图G（V，E）中的顶点和边交替出现的序列Pvi1，ei1，vi2，ei2，eik-1，vik（对于有向图来说，要求排在每一条边

42、之前和之后的顶点分别是这条边的起点和终点）满足 eit = (vit，vi，t+1) (t=1,2,k-1) 则称P为一条从vi1到vik的路（或链），简记为 Pvi1，vi2，vik。 n回路。若一条路的起点与终点相同，即vi1=vik，则称它为回路。n树。不含回路的连通的无向图称为树。 n基础图。从一个有向图D（V，A）中去掉所有边上的箭头所得到的无向图，就称为D的基础图，记之为G（D）。 n截。如果从图中移去边的一个集合将增加亚图的数目时，被移去的边的集合就称为截。 n子图。设G（V， E）是一个无向图，V1与E1分别是V与E的子集，即V1 V，E1 E。如果对于任意eiE1，其两个端点

43、都属于V1，则称G1（V1，E1）是图G的一个子图。 n支撑子图。设G1（V1，E1）是图G（V，E）的一个子图，如果V1 V，则称G1是G的支撑子图。 n支撑树。设G（V，E）是一个无向图，如果T（V1，E1）是G的支撑子图，并且T是树，则称T是G的一个支撑树。 n树的重量。一个树的所有边的权值之和称为该树的重量。 n最小支撑树。在一个图的所有支撑树中，重量最小的那个叫做该图的最小支撑树。 2. 地理网络的测度地理网络的测度 许多现实的地理问题，只要经过一定的简化和抽象，就可以将它们描述为图论意义下的地理网络，点和线的排布格局，并可以进一步定量化地测度它们的拓扑结构，以及连通性和复杂性。 树

44、状型地理网络平面网络（二维的）非平面网络（非二维的）道路型环状型细胞型图图9.1.5 9.1.5 地理网络的拓扑分类地理网络的拓扑分类 目前关于地理网络的拓扑研究，最多、最常见的是基于平面图描述的二维平面网络。 所谓平面图，被规定为：各连线之间不能交叉，而且每一条连线除顶点以外，不能再有其它的公共点（牛文元，1987）。 以下的讨论，除非特别申明外，都限于二维平面网络。 1) 1) 关联矩阵与邻接矩阵关联矩阵与邻接矩阵 n关联矩阵测度网络图中顶点与边的关联关系。 假设网络图G（V，E）的顶点集为V=v1，v2，vn，边集为E=e1，e2，em，则该网络图的关联矩阵就是一个nm矩阵，可表示为：

45、nmnnmmgggggggggGL212222111211)(gij为顶点vi与边ej相关联的次数。 v3v1v2v4v5e1e2e3e4e5e6e7关联矩阵为： 01110000001100110011000000111010001)(GLn邻接矩阵测度网络图中各顶点之间的连通性程度。 假设图G（V，E）的顶点集为V=v1，v2，vn，则邻接矩阵是一个n阶方阵，可表示为： nnnnnnaaaaaaaaaGA212222111211)(aij表示连接顶点vi与vj的边的数目。 邻接矩阵为： 0110110100110110010110110)(GAv3v1v2v4v5e1e2e3e4e5e6e

46、72) 2) 有关测度指标有关测度指标n指数n回路数kn指数n指数网络图的三种基础指标： 连线（边或弧）数目m； 结点（顶点）数目n； 网络中亚图的数目p。一般性的测度指标：指数线点率，是网络内每一个节点的平均连线数目。 =0，表示无网络存在；网络的复杂性增加，则值也增大。没有孤立点存在的网络，连线数目为n-p,则指数为 (1) 指数3 , 0nmnpnl(2) 回路数k 回路是一种闭合路径,它的始点同时也是终点。 若网络内存在回路，则连线的数目就必须超过n-p（最低限度连接网络的连接数目）。 回路数k实际连线数目减去最低限度连接的连线数目，即 pnmk(3) 指数指数实际回路数与网络内可能存

47、在的最大回路数之间的比率。网络内可能存在的最大回路数目为连线的最大可能数目减去最低限度连接的连线数目，即 （非平面网络）0，意味着网络中不存在回路；1，说明网络中已达到最大限度的回路数目。 pnpnpn52)()2(3%1005252pnpnmpnpnm%100)1(2/ ) 1(nnnpnm1 , 0(4) 指数指数网络内连线的实际数目与连线可能存在的最大数目之间的比率，即 （非平面网络）指数是测度网络连通性的一种指标.0，表示网络内无连线，只有孤立点存在；1，则表示网络内每一个节点都存在与其它所有节点相连的连线。 %1002/ ) 1(%100)2(31 , 0)2(3nnmpnmpnm图

48、形（平面）m，n，pkm=6，n=4，p=1311.51m=5，n=4，p=120.6671.250.833m=4，n=4，p=110.33310.667m=3，n=4，p=1000.750.5m=2，n=4，p=1000.50.333m=1，n=4，p=1000.250.167m=1，n=4，p=10000表表9.1.1 9.1.1 几种简单平面网络图的有关测度指标几种简单平面网络图的有关测度指标 9.2 最短路径与选址问题最短路径与选址问题 n路径优选最短路径问题 n定点优选中心点和中位点选址问题 许多地理问题被抽象为图论意义下的网络图时，问题的核心就变成网络图上的优选计算问题，最常见的是

49、关于路径和顶点的优选计算问题。n“纯距离”意义上的最短路径。 需要运送一批物资从一个城市到另一个城市，选择什么样的运输路线距离最短？n“经济距离”意义上的最短路径。 某公司在10大港口C1，C2，C10设有货栈，从Ci到Cj之间的直接航运价格，是由市场动态决定的。如果两个港口之间无直接通航路线，则通过第三个港口转运。那么，各个港口之间最廉价的货运线路是什么？1. 最短路径问题最短路径问题1) 最短路径的含义n“时间”意义上的最短路径。 某家经营公司有一批货物急需从一个城市运往另一个城市，那么，在由公路、铁路、河流航运、航空运输等四种运输方式和各个运输线路所构成的交通网络中，究竟选择怎样的运输路

50、线最节省时间？ 三类问题，都可以抽象为同一类问题，即赋权图上的最短路径问题。不同意义下的距离都被抽象为网络图中边的权值。权纯距离/经济距离时间距离。 2) 最短路径的算法n最短路径问题最好的求解方法：1959年，EWDijkstar 提出的标号法。n标号法优点 不仅可以求出起点到终点的最短路径及其长度，而且可以求出起点到其它任何一个顶点的最短路径及其长度；同时适用于求解有向图或无向图上的最短路径问题。n标号法的基本思想 从v1开始，给每一个顶点标号（T标号或P标号），已得到P标号的顶点不再改变，没有标上P标号的顶点，标上T标号。算法的每一步把某一顶点的T标号改变为P标号。那么，最多经过k-1步

51、，就可以求得到从起点v1到每一个顶点的最短路径。 标号法具体计算步骤 如果刚刚得到P标号的点是vi，那么，对于所有这样的点 将其T标号修改为：minT(vj)，P(vi)+wij。 若G中没有T标号，则停止。否则，把点 的T标号修改为P标号，然后再转入。其中， 满足： 开始，先给v1标上P标号P(v1) 0，其余各点标上T标号T(vj)+（j1）。 )(min)(0jjvTvT0jv0jv标号的标号是而且TvEvvvjjij,例例1：在图9.2.1所示的赋权有向图中，每一个顶点vi（i=1，2，n）代表一个城镇；每一条边代表相应两个城镇之间的交通线，其长度用边旁的数字表示。试求城镇v1到v7之

52、间的最短路径。 图图9.2.1 赋权有向交通网络图赋权有向交通网络图解解：首先给v1标上P标号P(v1)=0，表示从v1到v1的最短路径为零。其它点(v2，v3，v7)标上T标号T(vj)+（j2，3，7）。第一步第一步： v1是刚得到P标号的点。因为(v1，v2)，(v1，v3)，(v1，v4)E，而且v2，v3，v4是T标号，所以修改这三个点的T标号为： T(v2)minT(v2)，P(v1)+w12 min +，0+22 T(v3)minT(v3)，P(v1)+w13 min +，0+55 T(v4)minT(v4)，P(v1)+w14 min +，0+33 在所有T标号中，T(V2)2

53、最小，于是令P(V2)2。第二步第二步： v2是刚得到P标号的点。因为(v2，v3)，(v2，v6)E，而且v3, v6是T标号，故修改v3和v6的T标号为： T(v3)minT(v3)，P(v2)+w23 min5，2+24 T(v6)minT(v6)，P(v2)+w26 min+，2+79 在所有的T标号中，T(v4)3最小，于是令P(v4)3。第三步：第三步： v4是刚得到P标号的点。因为(v4，v5)E，而且v5是T标号，故修改v5的T标号为： T(v5)minT(v5)，P(v4)+w45 min+，3+58 在所有的T标号中，T(v3)4最小，故令P(v3)4。第四步：第四步： v

54、3是刚得到P标号的点。因为(v3，v5)，(v3，v6)E，而且v5和v6为T标号，故修改v5和v6的T标号为： T(v5)minT(v5)，P(v3)+w3 5 min8，4+37 T(v6)minT(v6)，P(v3)+w3 6 min9，4+59 在所有的T标号中，T(v5)7最小，故令P(v5)7。 第五步：第五步： v5是刚得到P标号的点。因为(v5，v6)，(v5 ，v7)E，而且v6和v7都是T标号，故修改它们的T标号为： T(v6)minT(v6)，P(v5)+w56 min9，7+1= 8 T(v7)minT(v7)，P(v5)+w57 min+，7+7=14 在所有T标号中

55、，T(v6)8最小，于是令：P(v6)8第六步：第六步： v6是刚得到P标号的点。因为(v6，v7)E，而且v7为T标号，故修改它的T标号为： T(v7)minT(v7)，P(v6)+w67 min14，8+5=13 目前只有v7是T标号，故令： P(v7)13。 从城镇v1到v7之间的最短路径为(v1，v2，v3，v5，v6，v7)，最短路径长度为13。 2. 选址问题选址问题 n选址问题的数学模型取决于两个方面的条件 ：可供选址的范围和怎样判定选址的质量n选址范围是一个地理网络，选址位置位于网络图的某一个或几个顶点上。n地理网络的选址问题，根据其选址的质量判据，可以将其归纳为求网络图的中心

56、点与中位点两类问题。 1)1) 中心点选址问题中心点选址问题 n中心点选址问题的质量判据： 使最佳选址位置所在的顶点的最大服务距离为最小。n中心点选址问题适宜于医院、消防站点等一类服务设施的布局问题。 例例：某县要在其所辖的六个乡镇之一修建一个消防站，为六个乡镇服务，要求消防站至最远乡镇的距离达到最小。 中心点选址问题的数学描述 设G（V，E）是一个无向简单连通赋权图，连结两个顶点的边的权值代表它们之间的距离，对于每一个顶点vi，它与各个顶点之间的最短路径长度为di1，di2，din。这些距离中的最大数称为顶点vi的最大服务距离，记为e(vi)。 那么，中心点选址问题，就是求网络图G的中心点

57、，使得 )(min)(0iiiveve0iv例例2：假设某县下属的六个乡镇及其之间公路联系如图所示。每一顶点代表一个乡镇；每一条边代表连接两个各乡镇之间的公路，每一条边旁的数字代表该条公路的长度。现在要设立一个消防站，为全县的六个乡镇服务。试问该消防站应该设在哪一个乡镇（顶点）？ 解解： 第一步第一步：用标号法求出每一个顶点vi至其它各个顶点vj的最短路径长度dij（i，j 1，2，6），并将它们写成如下的距离矩阵：027474205256750343423036754303463630666564636261565554535251464544434241363534333231262524

58、232221161514131211ddddddddddddddddddddddddddddddddddddD 第二步：第二步：求每一个顶点的最大服务距离。显然，它们分别是矩阵D中各行的最大值，即： e(v1)6，e(v2)7，e(v3)6，e(v4)7，e(v5)6，e(v6)7。 第三步：第三步：判定。因为e(v1)e(v3)e(v5)mine(vi)6，所以v1，v3，v5都是中心点。也就是说，消防站设在v1，v3，v5中任何一个顶点上都是可行的。 n中位点选址问题的质量判据： 使最佳选址位置所在的顶点到网络图中其它各个顶点的最短路径距离的总和（或者以各个顶点的载荷加权求和）达到最小。2

59、) ) 中位点选址问题中位点选址问题n中位点选址问题的数学描述: 设G（V，E）是一个简单连通赋权无向图，连接两个顶点的边的权值为该两顶点之间的距离；对于每一个顶点vi（i1，2，n），有一个正的负荷a(vi)，而且它与其它各顶点之间的最短路径长度为di1，di2，din。那么，中位点选址问题，就是求图G的中位点 ，使得： 0ivnjijjiiiidvavSvS10)(min)(min)(例例3：某县下属七个乡镇，各乡镇所拥有的人口数a(vi)（i=1，2，7），以及各乡镇之间的距离wij（i，j=1，2，7）如图所示。现在需要设立一个中心邮局，为全县所辖的七个乡镇共同服务。问该中心邮局应该设

60、在哪一个乡镇（顶点）？ v1v3v4v5v6v762321.831.5v21.5a(v7)=4a(v5)=5a(v4)=1a(v1)=3a(v3)=7a(v6)=1a(v2)=2解：解：第一步：第一步：用标号法求出每一个顶点vi至其它各个顶点vj的最短路径长度dij（i，j 1，2，7），并将其写成如下距离矩阵： 77767574737271676665646362615756555453525147464544434241373635343332312726252423222117161514131211dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd