概率论与数理统计知识要点

1、概率论与数理统计知识要点1、一定条件下必然发生为确定现象。在个别试验中结果不确定，但在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象，称为随机现象。2、随机试验特点： 1)可以在相同条件下重复进行。 2)每次试验的结果可能不至一个，并且能事先明确试验的所有结果。 3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。3、随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为S(Sample)。E的每个结果称为样本点。4、样本空间S是其自身的子集，每次试验中总是发生，称为必然事件。为样本空间的子集，但其为不可能事件。5、概率论中，“事件发生”：设E的样本空间为S，A、B、Ak为S的子集。1)若A包含于B，即指A

2、发生必然导致B的发生。若A包含于B，B包含于A，即A=B，称事件A与事件B相等。2)事件AB为二者的和事件，当且仅当二者之一发生时，事件发生。类似的，为n个事件的和事件，其为可列个事件的和事件。3)事件AB为二者的积事件，当且仅当二者同时发生时，事件AB发生。其积事件也记为AB。4)事件A与B的差事件为A-B,属于A且不属于B。当且仅当A发生B不发生时，事件A-B发生。5)若，则称二者互不相容或互斥，6)AB=S且AB=，则A与B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件。6、事件运算满足：交换律：结合律：分配率：德摩根率：7、频率：相同条件下进行n次实验，则事件A发生的次数nA为事件A的频数

3、，nA/n为A的频率，即(记)fn(A)=nA/n。频率具有如下基本性质：1。0fn(A)1； 2。fn(S)=1；3。若A1到AK是两两互不相容事件，则8、概率：E是随机试验，S为其样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数，即(记)事件A的概率P(A)。1。非负性：对于每一个事件A，有P(A)0； 2。规范性：对于必然事件S，有P(S)=0；3。可列可加性：设下列两两互不相容，即对于AiAj=，i不等于j，有：概率性质：性质1 P()=0；性质2 (有限可加性)若A1到An是两两互不相容事件，则有性质3 设A、B是两个事件，若A包含于B，则性质4 对任一事件A，P(A)1；性质5(逆事件的概

4、率) 对任一事件A，；性质6(加法公式)对任意两事件AB，有9、等可能概型(古典概型)1。特征:试验的样本空间包含有限个元素；实验中每个基本事件发生的可能性相同。2。等可能概型中事件A的概率计算公式：10、条件概率1。定义：设A、B是两个事件，且P(A)>0，称 为在事件A发生的条件下事件B发生的概率。非负性：对每一事件B，有P(B|A)0;规范性：对必然事件S，有P(S|A)=1；可列可加性：设B1，B2.是两两互不相容的事件，则有2。乘法定理 设P(A)>0，则有P(AB)=P(B|A)P(A)，即乘法公式。P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)3。全概率公式设试验E

5、的样本空间为S，A为E的事件，B1、B2、Bn为样本空间S的一个划分，且P(Bi)>0，则 即全概率公式4。贝叶斯公式设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1、B2、Bn为样本空间S的一个划分，且P(A)>0，P(Bi)>0，则即贝叶斯公式特别的，在全概率公式和贝叶斯公式中，取n=2时，公式分别为11、独立性设两事件AB，若满足P(AB)=P(A)P(B)则事件AB相互独立。1。设A、B是两事件，且P(A)>0。若A、B相互独立，则P(B|A)=P(B)，反之亦然。2。若A、B相互独立，则下列事件也相互独立 3。设A、B、C是三个事件，若满足等式P(AB)=P(A)P

6、(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称ABC相互独立。12、设随机试验的样本空间为S=e。X=X(e)是定义在样本空间上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。1。某些随机变量，其全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，称为离散型随机变量。要掌握其统计规律，必须且只需知道X所有的可能取值以及取每一个可能值的概率。2。设离散型随机变量X所有可能取值为xk(k=1、2、.)X取各个可能值的概率，即事件X=xk的概率为PX=xk=pk,k=1、2、.即离散型随机变量的分布律。也可如下表示Pk满足：pk0，k=1、2、.；3。三种重要

7、的离散型随机变量1)(0-1)分布随机变量X只能取0和1两个值。分布律如下：则称X服从以p为参数的(0-1)分布或两点分布。其分布律也可写成2)伯努利试验、二项分布设试验E只有两个可能结果：,则称E为伯努利试验。设P(A)=p(0<p<1)，此时。将E独立重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。在n次试验中A发生k次的概率为，记，则有。显然，记随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为。当n=1时即为（0-1）分布3)泊松分布设随机变量X所有可能的取值为012.，而各个值的概率为则称X服从参数为的泊松分布，记为。易知，且泊松定理：设是一个常数，n是任意正整数，设，则

8、对任一固定的非负整数k，有定理的条件（常数）意味着当n很大时必定很小。因此，定理表明当n很大，p很小（）时有下面的近似式（）即以n,p为参数的二项分布的概率值可以由参数为的泊松分布的概率值近似。上式也能用来作二项分布概率的近似计算。13、随机变量的分布函数定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数，称X的分布函数。对任意实数，有：因此，若知X的分布函数，就容易知道X落在任一区间上的概率，因而，分布函数完整的描述了随机变量的统计规律性。分布函数具有以下性质：它是一个不减函数；,且；，即分布函数是右连续的。14、连续性随机变量及其概率密度若对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x)，

9、使对于任意实数x有则称X为连续性随机变量，f(x)为X的概率密度（函数）。f(x)具有下列性质：f(x)>=0；对任意实数，；若f(x)在点x处连续，则有。三种重要的连续性随机变量1)均匀分布若连续性随机变量X具有概率密度则称X在区间（a,b）上服从均匀分布。记为。f(x)>=0且2)指数分布若连续性随机变量X具有概率密度其中为常数，则称X服从参数为的指数分布。易知f(x)>=0且。X的分布函数为：。服从指数分布的随机变量具有下列有意思的性质：对于任意s,t>0,有称为无记忆性。3)正态分布若连续性随机变量X具有概率密度，其中为常数，则称X服从参数为的正态分布或高斯分布

10、，记为.f(x)>=0且。具有下列性质：曲线关于对称。表明对于任意有；当时取到最大值。离越远，的值越小，表明对于同样长度的区间，当区间离越远，X落在这个区间上的概率越小。在处曲线有拐点，曲线以轴为渐近线。若固定，改变的值，图形沿轴平移而形状不改变。为位置参数。若固定，改变，由于最大值可知当越小时，图形越尖。X的分布函数为：，特别，当时，称随机变量X服从标准正态分布。标准正态分布概率密度和分布函数如下：，易知一般，若，只要通过一个线性变换就能将其化成标准正态分布。引理 若，则尽管正态变量的取值范围是，但其值落在内几乎是肯定的，即常说的法则。上分位点：设，若满足条件则称点为标准正态分布的上分

11、位点。由图形对称性知：15、数学期望1)定义 设离散型随机变量X的分布律为若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)。即。设连续型随机变量X的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分的值为连续性随机变量X的数学期望。记为。数学期望又叫均值。2)泊松分布数学期望，均匀分布的数学期望，3)数学期望的几个重要性质(假定E都存在)设C为常数，则有；设X为一个随机变量，C为常数，则有；设X，Y为两个随机变量，有此种情况可以推广到有限多个情形；设XY为相互独立的随机变量，；16、方差1)定义设X为一个随机变量，若存在，则称其为X的方差，即(记).为均方差或标准差，记为.随机变量X的方差表

12、达了X的取值与其数学期望的偏离程度。若较小，则表示X的取值集中在的附近，反之，则表示X的取值较分散。2)(0-1)分布 ,泊松分布数学期望，均匀分布的数学期望指数分布，二项分布的正态分布的3)方差的几个重要性质(假定E都存在)设C为常数，则有；设X为随机变量，C为常数则有;。设X，Y为两个随机变量，有,若二者相互独立，则；的充要条件是X以概率1取常数即.4)切比雪夫不等式设随机变量X的,则对任意正数，不等式成立。17、协方差及相关系数 量为随机变量X与Y的协方差，即(记)为X与Y的相关系数1)设(X,Y)是二维随机变量。若存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。2)若存在，称它为X的k阶中心矩。3)若存在，称它为X和Y的k+l阶混合矩。4)若存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。依照上述定义，X的数学期望是X的一阶原点矩，方差是X的二阶中心矩，是X和Y的二阶混合中心矩。18、1)样本平均值，观察值为；样本方差，观察值为；样本标准差，观察值为；样本k阶（原点）矩，观察值为；样本k阶中心矩观察值为。2)来自正态总体的几个常用统计量的分布1。分布设是来自总体的样本，则称统计量服从自由度为n的分布，记为，此处自由度是指上式右端包含的独立变量的个数。分布的概率密度为2。T分布3。F分布3)正态总体的样本均值与样本