第10章.波动和声

1、1 振动在空间的传播过程叫做波动振动在空间的传播过程叫做波动常见的波有常见的波有: 机械波机械波 , 电磁波电磁波 , , 第十章第十章 波动和声波动和声波的共性波的共性: 反射，折射，干涉反射，折射，干涉 , 衍射现象衍射现象本章主要内容本章主要内容:机械波的传播规律、波的干涉、波的能量机械波的传播规律、波的干涉、波的能量以及多普勒效应。以及多普勒效应。2本章学习内容本章学习内容 重点内容重点内容: 平面简谐波波方程的确定平面简谐波波方程的确定; 波的迭加波的迭加. 要牢记要牢记: 波是振动状态的传播波是振动状态的传播; 波的迭加就是振动的迭加波的迭加就是振动的迭加(合成合成). 要区分要区

2、分: 振动曲线和波形曲线振动曲线和波形曲线;3本章学习内容本章学习内容 写平面简谐波波方程的要领写平面简谐波波方程的要领： 写出波源的振动方程写出波源的振动方程 确定波的传播方向确定波的传播方向,改写成波方程改写成波方程 关键是确定波源的振动方程中的初相和关键是确定波源的振动方程中的初相和振幅振幅,这是本章与第九章的联系点这是本章与第九章的联系点. 00cos()yAt0cos ()xyAtv4本章学习内容本章学习内容 驻波驻波: 看成是特殊形式的波的迭加看成是特殊形式的波的迭加,两两列波振幅相同列波振幅相同,传播方向相反的相干波传播方向相反的相干波迭加迭加5 10.1 波的基本概念波的基本概

3、念2. 弹性媒质弹性媒质媒质各个质点之间的相互作用媒质各个质点之间的相互作用力是力是弹性弹性的。的。1. . 连续媒质由无穷多个连续不断的质点连续媒质由无穷多个连续不断的质点构成的系统（各质点之间有相互作用力，也可构成的系统（各质点之间有相互作用力，也可以发生相对运动）。以发生相对运动）。62. 弹性波弹性波: : 机械振动在弹性媒质中的传播机械振动在弹性媒质中的传播3. 简谐波简谐波: 波源作简谐振动波源作简谐振动, 在波传到的区域在波传到的区域, 媒质中的质元均作简谐振动媒质中的质元均作简谐振动 。1. 产生条件产生条件: : 波源波源 弹性媒弹性媒质质 结论：结论：(1) 质元并未质元并

4、未“随波逐流随波逐流” 波的传播不是媒波的传播不是媒 质质元的传播质质元的传播(2) “上游上游”的质元依次带动的质元依次带动“下游下游”的质元振的质元振动动7 (4) (4) 同相点同相点-质元的振动状态相同质元的振动状态相同纵波纵波质点的振动方向与波传播方向平行。质点的振动方向与波传播方向平行。媒质产生媒质产生拉伸压缩拉伸压缩形变。形变。相位差相位差2 相邻相邻二二. 多种多样的波多种多样的波按照媒质内质点的振动方向与波传播方向之按照媒质内质点的振动方向与波传播方向之间的关系分类：间的关系分类：(3) 某时刻某质元的某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻振动状态将在较晚时刻 于于“下游下游”某

5、处出现某处出现-波是振动状态的传波是振动状态的传播播8横波横波质点的振动方向与波传播方向垂直。质点的振动方向与波传播方向垂直。媒质产生媒质产生剪切形变剪切形变。固体介质固体介质：可以产生：可以产生拉伸压缩拉伸压缩应变，也可应变，也可 以产生以产生剪切剪切应变，故在固体介质中既可以传应变，故在固体介质中既可以传播纵波，也可以传播横波；播纵波，也可以传播横波；流体介质流体介质：只有：只有体积压缩弹性体积压缩弹性，故只能传播，故只能传播纵波；纵波；例如：地质科学家探测地球构造，探矿等例如：地质科学家探测地球构造，探矿等9说说 明：明： 除了纵波、横波外，在两种媒质的分界面上除了纵波、横波外，在两种媒

6、质的分界面上 还可以传播表面波。还可以传播表面波。(如：水面波如：水面波)102. 表面波还可以存在于固体的表面。（利用表表面波还可以存在于固体的表面。（利用表 面波探伤）面波探伤）3. 地震发生时，既要产生纵波、横波，也产生地震发生时，既要产生纵波、横波，也产生 沿地球表面传播的表面波，对建筑物带来危沿地球表面传播的表面波，对建筑物带来危 害的主要是表面波。害的主要是表面波。11三三. . 平面波和球面波平面波和球面波1. 1. 波的几何描述波的几何描述波线沿波的传播方向所画的射线波线沿波的传播方向所画的射线波面任一时刻媒质中各个振动相位相同的点连波面任一时刻媒质中各个振动相位相同的点连 接

7、而成的曲面。（任意多个）接而成的曲面。（任意多个）波前波前( (波阵面波阵面) )由初相位相同的点连接而成的曲由初相位相同的点连接而成的曲 面。（只有一个）面。（只有一个）2.2.平面波与球面波平面波与球面波波波线线 波面波面平面波平面波球面波球面波12振动表达式振动表达式p p: : A,A, 均均与与o 点点的相同的相同, , 但相位落后但相位落后 一维平面简谐波的波的表达式一维平面简谐波的波的表达式2x2( , )cosy x tAtx或或( , )cos()y x tAtkxuk 2称作角波数称作角波数cos()xAtucos2()txAT13 ab xxu传播方向传播方向图中图中b点

8、比点比a点的相位点的相位落后多少？落后多少？x 2思考题思考题1：思考题思考题2：xxo任一点任一点参考点参考点波速波速写出沿写出沿x方向传播平面简谐波的波函数。方向传播平面简谐波的波函数。14二二. 沿沿x方向传播平面简谐波的波函数方向传播平面简谐波的波函数三三. 平面简谐波的物理意义平面简谐波的物理意义2( , )cosy x tAtxcos()xAtucos2()txAT1. 当当 x 给定给定 (x=x0)y仅是时间仅是时间t 的函数的函数02( )cosy tAtx152. 当当 t 给定给定 (t=t0)y仅是质点坐标仅是质点坐标 x 的函数的函数02( )cosy xAtx表示媒

9、质中所有质点在表示媒质中所有质点在t0时刻的位移。时刻的位移。xyo波形曲线波形曲线研究对象是所有质点！研究对象是所有质点！163. 当当 x、t同时变化，同时变化， 波函数表示波线上各质点波函数表示波线上各质点在不同时刻的位移分布情况在不同时刻的位移分布情况，它描述了波形，它描述了波形在媒质中的传播。在媒质中的传播。xyout1t221()xu tt 17t1时刻、时刻、x1处质点振动位移：处质点振动位移：111112(, )cosyx tAtx经过经过t时间后，振动状态沿时间后，振动状态沿x轴向前传播了轴向前传播了xu t距离，则距离，则t2时刻、波线上时刻、波线上x2处质处质点振动位移：

10、点振动位移：222222(,)cosyx tAtx112cos ()()Attxx 11111(,s)2co(Axx tty18即：即： t2时刻、时刻、x2处质点振动位移正好与处质点振动位移正好与t1时刻、时刻、 x1处质点振动位移相同。在处质点振动位移相同。在t时间内，整时间内，整 个波形以速度个波形以速度 u 向前推进了向前推进了xu t距距 离。即波函数描述了波形的传播。离。即波函数描述了波形的传播。4. 波函数中的波速波函数中的波速 U 是振动状态在介质中的传是振动状态在介质中的传 播速度（振动相位传播速度）相速度，播速度（振动相位传播速度）相速度， 与与介质有关，与波源无关。介质有

11、关，与波源无关。5. 表达式还反映了波的时间、空间双重周期性表达式还反映了波的时间、空间双重周期性 T T 时间周期性时间周期性 空间周期性空间周期性kTu 19加速度：加速度：222cosyxaAttu 注意区别质点振速与波传播速度区别。注意区别质点振速与波传播速度区别。5. 介质中质点振动介质中质点振动速速 度：度：sinyxvAttu 四四. 波的特征量波的特征量1.1.波长波长 : : 两相邻同相点间的距离两相邻同相点间的距离2. 波的频率波的频率 : : 媒质质点媒质质点( (元元) )的振动频率的振动频率 即单位时间传过媒质中某点的波的个数即单位时间传过媒质中某点的波的个数 20例

12、题例题1：已知平面简谐波波函数为：已知平面简谐波波函数为：0.05cos100(2.40.02 )2ytx求：求：, , ,u T A解：解：10.05 ,1 ,120 /120AmTsmum s3. 波速波速u : 单位时间波所传过的距离单位时间波所传过的距离 Tu 波速波速又称又称相速度相速度( (相位传播速度相位传播速度) )21例题例题2：已知平面简谐波：已知平面简谐波t0时刻的波形如图所示时刻的波形如图所示 波向右传播，波向右传播，u200m/sx(m)y(m)o0.0224u求：求： （1）o点振动方程；（点振动方程；（2）波函数）波函数 （3）x3m处质点振动方程。处质点振动方程

13、。22解：解：4 ,0.02 ,100m Am 001 :0,0,0,2tyv0.02cos(100)2yt 2 :0.02cos100 ()2002xyt 33 :0.02cos100 ()2002yt23例题例题3：平面简谐波沿：平面简谐波沿 X方向以方向以u=20m/s速度传速度传 播，如图所示在传播路径上播，如图所示在传播路径上 A 点的振动点的振动 方程为：方程为：5cos4ytBAx5mu(1)以以A为坐标原点，写出波函数为坐标原点，写出波函数(2)以以B为坐标原点，写出波函数为坐标原点，写出波函数5cos 420 xyt55cos4 20 xyt2410.3 10.3 波动方程和

14、波速波动方程和波速一一. . 平面波波动方程平面波波动方程假设：假设：(1)(1)介质对波动无吸收；介质对波动无吸收； (2)(2)波动过程引起介质质点振动位移比波动过程引起介质质点振动位移比 较小（线性条件）；较小（线性条件）；在波动传播的弹性介质中，选取体积微元（位在波动传播的弹性介质中，选取体积微元（位于介质中于介质中 x xx xx处两个波面之间体积元。处两个波面之间体积元。如下图所示：如下图所示：1.1.固体介质中的横波波动方程固体介质中的横波波动方程25弹性介质中横波的波动方程。弹性介质中横波的波动方程。（横波的动力学方程）（横波的动力学方程）2222x)t ,x( yGt)t ,

15、x( y G为切变模量为切变模量为介质密度为介质密度262.固体介质中的纵波波动方程固体介质中的纵波波动方程2222x)t ,x(yEt)t ,x(y E为弹性模量为弹性模量为介质密度为介质密度273. 具体问题具体问题(1) (1) 弹性绳上的横波弹性绳上的横波 Tu T T- -绳的初始张力绳的初始张力, , - -绳的线密度绳的线密度一维简谐波的波函数就是此波动方程的解。一维简谐波的波函数就是此波动方程的解。28 Eu(2) (2) 固体棒中的纵波固体棒中的纵波(3) (3) 固体中的横波固体中的横波F切切 切变切变l0l0 + l FF长变长变*震中震中 Gu29(4) (4) 流体中

16、的声波流体中的声波0 ku k k- -体积模量体积模量, , 0 0- -无声波时的流体密度无声波时的流体密度 = = CpCp/ /Cv Cv , , 摩尔质量摩尔质量 RTu 容变容变ppppV0+ V理想气体理想气体: :3010.4 10.4 平均能流密度平均能流密度 声强与声压声强与声压一一. . 弹性波的能量弹性波的能量 能量密度能量密度 振动动能振动动能 形变势能形变势能 += 波的能量波的能量波在弹性介质中传播时，各体积元在各自平波在弹性介质中传播时，各体积元在各自平衡位置附近振动，因而具有衡位置附近振动，因而具有动能动能，同时由于，同时由于介质发生形变，又具有介质发生形变，

17、又具有弹性势能弹性势能，即：，即：下面以横波为例，说明波动传播过程中能量的下面以横波为例，说明波动传播过程中能量的分布以及变化规律。分布以及变化规律。31dxdyxy在介质中选取微小体在介质中选取微小体积元，如图所示。积元，如图所示。由平面简谐波函数由平面简谐波函数( , )cos ()xy x tAtu可得体积元振动速度：可得体积元振动速度：sinyxvAttu 则体积元动能为：则体积元动能为：222211sin 22kxdEdVvAtdVu32该体积元的剪切形变势能为：该体积元的剪切形变势能为：2222211sin ()22PyAxdENdVNtdVxuu2221sin ()2xAtdVu

18、该体积元的总能量为：该体积元的总能量为：222sin ()kpxdEdEdEAtdVu体积元的总能量随时间体积元的总能量随时间t、空间位置、空间位置x发生变化。发生变化。33dEk、dE p均随均随 t 周期性变化周期性变化(1) 固定固定x 物理意义物理意义 d E k = d E p (2) 固定固定tEk、Ep随随x周期分布周期分布 =0dE k dE p最大最大 最大最大 dEk dE p为为 0o xdEkdEp t = t0u(1/4) 2A2o TtdEkdEpx = x0(1/4) 2A234能量密度能量密度 222sin ()dExAtdVu则平均能量密度则平均能量密度 22

19、0112TdtAT二、平均能流密度二、平均能流密度平均能流密度平均能流密度(I):(I): 单位时间内通过与波传播方单位时间内通过与波传播方向垂直的单位面积的能量。向垂直的单位面积的能量。uTdSuTdSIuSISI单位：单位：W/mW/m2 2uSux35vA21I22 三三. .声强与声强级声强与声强级1. 正常人听声范围正常人听声范围20 20000 Hz. I下下 I I上上1000o2020000I (W / m2) I上上=1I下下=10-12 (Hz)声强（声功率）：声强（声功率）：声波平均能流密度的大小声波平均能流密度的大小 单位时间通过一定面积的声波能量。单位时间通过一定面积

20、的声波能量。362. 声强级声强级 以以1000 Hz 时的时的I下下作为基准声强作为基准声强 I0,=10-12W/m2。 010log10IIL单位单位:分贝分贝(db)单位：贝尔（单位：贝尔（B）、分贝（）、分贝（dB） 1B=10dB37三三. .声波的衰减、超声波的优势声波的衰减、超声波的优势声波在介质中传播时，由于介质的吸收作用，声波在介质中传播时，由于介质的吸收作用，能流密度，声压都随传播距离增加而减小，能流密度，声压都随传播距离增加而减小，满足关系式：满足关系式：0ddII e-介质的衰减系数，介质不同，声波频率不同，介质的衰减系数，介质不同，声波频率不同，衰减系数不同。衰减系

21、数不同。声波强度与声波频率平方成正比，即声波强度与声波频率平方成正比，即2I38超声波及其应用超声波及其应用 超声波有两个特点，一个是能量大，超声波有两个特点，一个是能量大，一个是沿直线传播一个是沿直线传播它的应用就是按照这两个它的应用就是按照这两个特点展开的特点展开的 理论研究表明，在振幅相同的情况下，一理论研究表明，在振幅相同的情况下，一个物体振动的能量跟振动频率的二次方成正个物体振动的能量跟振动频率的二次方成正比超声波在介质中传播时，介质质点振动的比超声波在介质中传播时，介质质点振动的频率很高，因而能量很频率很高，因而能量很39很大在我国北方干燥的冬季，如果把超很大在我国北方干燥的冬季，

22、如果把超声波通入水罐中，剧烈的振动会使罐中的声波通入水罐中，剧烈的振动会使罐中的水破碎成许多小雾滴，再用小风扇把雾滴水破碎成许多小雾滴，再用小风扇把雾滴吹入室内，就可以增加室内空气的湿吹入室内，就可以增加室内空气的湿度这就是超声波加湿器的原理对于咽度这就是超声波加湿器的原理对于咽喉炎、气管炎等疾病，药力很难达到患病喉炎、气管炎等疾病，药力很难达到患病的部位利用加湿器的原理，把药液雾化，的部位利用加湿器的原理，把药液雾化，让病人吸入，能够增进疗效利用超声波让病人吸入，能够增进疗效利用超声波的巨大能量还可以把人体内的结石击碎的巨大能量还可以把人体内的结石击碎40如果渔船载有水下超声波发生器，它旋转

23、如果渔船载有水下超声波发生器，它旋转着向各个方向发射超声波，超声波遇到鱼着向各个方向发射超声波，超声波遇到鱼群会反射回来，渔船探测到反射波就知道群会反射回来，渔船探测到反射波就知道鱼群的位置了这种仪器叫做鱼群的位置了这种仪器叫做声纳声纳声纳声纳也可以用来探测水中的暗礁、敌人的潜艇，也可以用来探测水中的暗礁、敌人的潜艇，测量海水的深度测量海水的深度 根据同样的道理也可以用超声波探测金根据同样的道理也可以用超声波探测金属、陶瓷混凝土制品，甚至水库大坝，检属、陶瓷混凝土制品，甚至水库大坝，检查内部是否有气泡、空洞和裂纹查内部是否有气泡、空洞和裂纹4110.5 波的叠加、干涉、驻波波的叠加、干涉、驻波

24、一一. 波传播的独立性波传播的独立性媒质中同时有几列波时媒质中同时有几列波时 , 每列波都将保持自每列波都将保持自己原有的特性己原有的特性(传播方向、振动方向、频率传播方向、振动方向、频率等等), 不受其它波的影响不受其它波的影响 。 二二. 波的叠加原理波的叠加原理在几列波相遇而互相交叠的区域中，某在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波点的振动是各列波单独单独传播传播 时在该点时在该点引起的位移的矢量和。引起的位移的矢量和。42二、二、 波的干涉波的干涉一一. 干涉现象和相干条件干涉现象和相干条件1. 干涉现象干涉现象 波叠加时在空间出现稳定的振动加强和波叠加时在空间出现稳定的振

25、动加强和减弱的分布减弱的分布2. 相干条件相干条件(1) 频率相同频率相同(2) 有恒定的相位差有恒定的相位差 (3) 振动方向相同振动方向相同 43 S2S1r1r2 p S1 y10 = A1cos( t+ 1) S2 y20 = A2cos( t+ 2) p点两分振动点两分振动 y1 = A1cos( t+ 1-kr1) y2 = A2cos( t+ 2-kr2)二二. 波场的强度分布波场的强度分布1 波场中任一点的合振动波场中任一点的合振动设振动方向设振动方向 屏面屏面相位差相位差: = ( 2- 1) - k(r2-r1) 2 k44强度强度合振幅合振幅 A = (A12+A22 +

26、2A1A2cos )1/22 加强、减弱条件加强、减弱条件 加强条件加强条件 ( 相长干涉相长干涉 ) = ( 2- 1) - k(r2-r1) = 2m (m=0,1,2,) p点合振动点合振动)tcos(Ayyy21 cos22121IIIII2121max2IIIII 若若 A1 = A2 ,则则 Imax = 4 I145 减弱条件减弱条件 = ( 2- 1) - k(r2-r1) = (2m+1) (m=0,1,2,) 若若 A1=A2 ,则则 Imin= 02121min2IIIII 特例：特例： 2= 1 加强条件加强条件 减弱条件减弱条件 (相消干涉相消干涉), 2 , 1 ,

27、 0(12 mmrr ), 2 , 1 , 0(2) 12(12 mmrr 46例题例题1 如图所示如图所示,在同一媒质中相距为在同一媒质中相距为20m的两平面简谐波的两平面简谐波源源S1和和S2作同方向作同方向,同频率同频率(=100Hz)的谐振动的谐振动,振幅均为振幅均为A,且且A=0.05m,点点S1为波峰时为波峰时,点点S2恰为波谷恰为波谷,波速波速u=200m/s,求两波求两波源连线上因干涉而静止的各点位置源连线上因干涉而静止的各点位置.x2S1SxPO解解:选选S1处为坐标原点处为坐标原点O,向右为向右为x轴正方向轴正方向,设点设点S1的振动初相的振动初相位为零位为零,由已知条件可

28、得波源由已知条件可得波源S1和和S2作简谐振动的运动方程分作简谐振动的运动方程分别为别为:)cos(tAy 21 )cos( tAy22S1发出的向右传播的波的波函数为发出的向右传播的波的波函数为:)uxt(2cosAy1 S2发出的向左传播的波的波函数为发出的向左传播的波的波函数为:)u20 xt(2cosAy2 47因干涉而静止的点的条件为因干涉而静止的点的条件为:)uxt(2)u20 xt(2 ) 12(k, 2, 1, 0 k化简上式化简上式, 将将u=200m/s, =100Hz代入代入,可得可得:)(10 mkx 所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为所以在两波源的连线上

29、因干涉而静止的点的位置分别为:mx19,18,17, 3 , 2 , 148三、三、 驻波驻波 一一. 驻波驻波振幅相同、传播方向相反的两列简振幅相同、传播方向相反的两列简谐相干波叠加得到的振动称为驻波谐相干波叠加得到的振动称为驻波 设设x = 0处两波初相均为处两波初相均为0 x)x2tcos(Ay1 x)x2tcos(Ay2 tcos)x2cosA2(yyy21 驻波方程驻波方程49tcos)x2cosA2(yyy21 波节波节波腹波腹 /2 /250二二. 特点特点 振幅：各处不等大，出现了波腹和波节振幅：各处不等大，出现了波腹和波节tcos)x2cosA2(yyy21 波腹处波腹处，2

30、 ,1 ,0k2kx1|x2cos| 波节处波节处4)1k2(x0|x2cos| 最大振动为最大振动为2A振幅最小为振幅最小为051 相位：相位中没有相位：相位中没有x坐标，没有相位的传播坐标，没有相位的传播没有能量的单向传播，动能与势能没有能量的单向传播，动能与势能相互转化相互转化 能量：合能流密度为能量：合能流密度为0)( uwuw相邻的两个波腹（波节）间距离：相邻的两个波腹（波节）间距离：2 相邻的相邻的两个波节之间的所有质点振动同相位两个波节之间的所有质点振动同相位（同时达到最大值或最小值同时达到最大值或最小值）， 波节两侧质点振动相位相反（波节两侧质点振动相位相反（一侧向上则另一一侧向上则另一侧向下侧向下）。52三三. 弦与空气柱的本征振动弦与空气柱的本征振动二胡、小提琴、吉他等弦乐弦的振动二胡、小提琴、吉他等弦乐弦的振动小号、萨克斯、笛子等管乐空气柱的振动小号、萨克斯、笛子等管乐空气柱的振动1. 弦的振动弦的振动:两端固定。两端固定。弦长与波长之间关系：弦长与波长之间关系：2(1,2,3.