同方向的简谐振动的合成

1、15-5 同方向的简谐振动的合成同方向的简谐振动的合成 1. 1.同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 设一质点同时参与沿同一方向设一质点同时参与沿同一方向(x 轴轴)的两个独的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：)cos(1011tAx)cos(2022tAx合位移：合位移：)cos(021tAxxx)cos(21020212221AAAAA202101202101coscossinsintgAAAA合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。同方向同频率的两个简谐振动的

2、合成同方向同频率的两个简谐振动的合成1A102x21AAAA矢量沿矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。轴之投影表征了合运动的规律。旋转矢量图示法旋转矢量图示法XO2A201xx同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成(1)当当D 20102kp (k=0及正及正负整数负整数)，cos(20-10)=1, 有有21AAA同相迭加，合振幅最大同相迭加，合振幅最大。(2)当当D 2010(2k+1)p (k=0及及正负整数正负整数), cos(20-10)=0, 有有21AAA反相迭加，合振幅最小反相迭加，合振幅最小。当当A1=A2 时，时，A=0。(3)通常情况下，合振幅

3、介于通常情况下，合振幅介于 和和 之间。之间。21AA 21AA 讨论：讨论：1A2AXO1A2AXO同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 例例15-415-4 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为相分别为0, 0, a, 2, 2a, ., , ., 依次差一个恒量依次差一个恒量a，振动表达式可写成，振动表达式可写成taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax) 1(cosNtaxN求它们的合振动的振幅和初相。求它们的合振动的振幅和初相。 解解: :采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开采

4、用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则，根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：量的合成如下图所示：同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成OX1a2a3a4a5aC 因各个振动的振幅相同且相差依次恒为因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 ，上图，上图中各个矢量的起点和终点都在以中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上，为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得根据简单的几何关系，可得AMNOCM 同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 在三

5、角形在三角形DOCM中中, ,OM 的长度就是和振动位移矢的长度就是和振动位移矢量的位移量的位移, ,角度角度 就是和振动的初相，据此得就是和振动的初相，据此得MOX2sin2NOCA 考虑到考虑到2sin2OCa 2sin2sinNaA COMCOXMOXpp21)(21)(21NN当当 时时( (同相合成同相合成) )，有，有0,NaA 。0同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 2. 2.同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍拍)cos(),cos(02220111tAxtAx两个简谐振动合成得：两个简谐振动合成得： 当两个同方

6、向简谐振动的频率不同时，在旋转矢当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。时间变化。两个简谐振动的频率两个简谐振动的频率 和和 很接近，且很接近，且1212)2cos()2cos(201212ttAxx = x1+ x2同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍拍21122因因,21112或或,2有有 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时间作缓慢变化时间作缓慢变化, , 第二项是角频率近于第二项是角频率近于 的简谐的简谐函数。合振动可视为是角频率为函数。合振动可视为是角频率为 、振幅为、振幅为 的简谐振动。的简谐振动。1或或22)(212)(cos212tA 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的动出现时强时弱的拍现象拍现象。拍频拍频: :单位时间内强弱变化