傅立叶变换和滤波器设计

1、归纳：频谱分析和滤波器归纳：频谱分析和滤波器设计设计一。一。MATLAB表述的表述的信号和系统信号和系统一。离散信号的表述与运算一。离散信号的表述与运算 1。信号的表述：用 n 及 x 两个数组，如书 impseq,stepseq,. 2。信号的初等运算；相加，相乘，移位等,.(书 sigadd, sigmult, sigshift） 3。信号的卷积、相关、抽选等；conv, xcorr, xcov, decimate, .二。系统的表述系统的表述 (连续系统）连续系统） 状态方程模型 （参数矩阵A,B,C,D） 传递函数模型 （参数数组 a,b） 零极增益模型 （参数数组 z,p,k） 极点

2、留数模型 （参数数组 r,p） 二阶串接模型DuCxyBuAxx1212112121.)(asasasabsbsbsbsWnnnnmmmm).()().()()(2121nmpspspszszszsksWnnpsrpsrpsrsW.)(2211)1()(12212210LkkkkkksasasbsbbsW（参数矩阵 b0k,b1k,b2k,1,a1k,a2k）二。系统的表述系统的表述 (离散系统）离散系统） 状态方程模型 （参数矩阵A,B,C,D） 传递函数模型 （参数数组 a,b） 零极增益模型 （参数数组 z,p,k） 极点留数模型 （参数数组 r,p） 二阶串接模型)()()()()()

3、1(nDunCxnynBunAxnx11221211122121.)(nnnnmmmmzadzadzadadzbdzbdzbdbdzW).()().()()(2121nmpspspszszszsksWnnpsrpsrpsrsW.)(2211)1()(1221122110LkkkkkkzazazbzbbzW（参数矩阵 b0k,b1k,b2k,1,a1k,a2k）三。系统的表述系统的表述 (离散系统）离散系统） 状态方程模型（不用） 传递函数模型（参数数组 ad,bd） ad =1 FIR滤波器（系统） ad =1 IIR滤波器（系统） 零极增益模型（参数数组 z,p,k） 极点留数模型（参数数组

4、 r,p,C） 二阶串接模型连续系统和离散系统之间的转换函数模拟/数字滤波器转换 1。双线性变换函数 bilinearNUMd,DENd = bilinear(NUM,DEN,Fs)H(z) = H(s) | | s = 2*Fs*(z-1)/(z+1)2。脉冲响应不变法impinvarBZ,AZ = impinvar(B,A,Fs)信号处理工具箱提供的线性模型转换函数信号处理工具箱提供的线性模型转换函数传递函数传递函数状态空间状态空间零极增益零极增益部分分式部分分式格型结构格型结构二阶串接二阶串接卷积矩阵卷积矩阵传递函数传递函数tf2sstf2zprootsresidueresidueztf

5、2latctf2sosconvmtx状态空间状态空间ss2tfss2zpss2sos零极增益零极增益zp2tfpolyzp2sszp2sos部分分式部分分式residueresiduez格型滤波格型滤波latc2tf二阶串接二阶串接sos2tfsos2sssos2zp卷积矩阵卷积矩阵用用MATLAB与信号流图求系统与信号流图求系统KjupxqxiKiijiKkkjkj,.11 信号流图方程列写信号流图方程列写 设Ki个输入节点ui K个中间和输出节点xj 方程为 写成矩阵形式： X= x1;x2;xK为状态变量列向量； Q为K乘K维的状态传送矩阵； U = u1;u2;uL为输入信号列向量 P

6、为K乘L维的为信号输入矩阵PUQXXPQIUXWPUXQI1)(/)(最后公式为：移项：四。信号通过线性系统（滤波系统（滤波器实现）器实现） 信号与系统脉冲过渡函数的卷积 y=conv(u,h),. 差分方程解法 y=filter(bd,ad,u) 滤波器实行中的其他函数: fftfilt; latcfilt，sosfilt等 Z-变换及反变换 部分分式展开 长除二频谱分析（第三、五章）二频谱分析（第三、五章） 傅立叶变换（包括连续和离散形式傅立叶变换（包括连续和离散形式 ） 正变换 反变换 deFtfdtetfFtjtj)(21)()()(deFnfenfFtjnnj)(21)()()(Nj

7、NNnkNNnkNeWWkFNnfWnfkF21010)(1)()()(其中离散时间傅立叶正反变换离散傅立叶正反变换 连续和离散傅立叶变换的对比连续和离散傅立叶变换的对比 时域信号 （傅立叶反变换） 频谱曲线（傅立叶变换） 变换名称 连续信号 连续频谱 傅立叶变换 离散信号 （有限样本点） 周期性连续频谱 离散时间傅立叶变换 多周期离散信号 频谱向等间隔离散点集中 周期性离散信号 周期性离散频谱 离散傅立叶变换 周期性连续信号 离散频谱 傅立叶级数 在在MATLAB中计算傅立叶变换中计算傅立叶变换在在MATLAB中的计算相当方便，只要下列两行八个语句：xn=input(x = ); N= (l

8、ength(xn); n = 0:1:N-1; k = nWN = exp(-j*2*pi/N); nk = n*k; WNnk = WN . nk; Xk = xn * WNnk 在数字信号处理及其MATLAB实现书pp119-120中，定义它为dft函数，相应也定义了idft函数，即X=dft(x,N)x=idft(X,N) 但其运算速度低。在MATLAB中设有基本函数fft，它是快速傅立叶变换的缩写，调用形式为：X=fft(x,N) x=idft(X,N)N取为2的幂次时，速度最快。（令N=2nextpow2(N);)它的功能和dft相同，不过速度快得多，而且有许多出错提示能力。Matl

9、ab程序 ftdemo离散频谱与连续频谱的转换 MATLAB只能处理离散量，把离散量取得很密时，就接近于连续量。在时间轴上取得很密，对应的频谱应该取得很窄，离散傅立叶变换的最高频率通常取为2pi，故只能取到0.2*pi以下的部分，才代表连续系统的频谱。 另外它抽去了时间和频率，应当补上。时间应乘以采样周期Ts，即X=Ts*fft(x) fft的频率轴应乘以2/(N*Ts),单位：弧度/秒或1 /(N*Ts)=Fs/N,单位：赫兹作傅立叶反变换ifft时注意事项 1。x=ifft(X)中的X必须取全频段(-的值。通常给出的X为0 ,要扩展。 2。实序列x的X为复数序列，其实部（幅度）偶对称，虚部

10、（相位）奇对称，这可作为扩展的规则。 3。反变换x应取实部x=real(ifft(X) 4. 如X已含有采样周期T,反变换应除以T.求连续信号频谱的程序例 x=input(x(1:N)序列); Nx=length(x); K=nextpow2(Nx);N=2K; n=0:N-1; Fs=input(采样频率Fs= );T=1/Fs; X=T*fft(x); m1=0:N/2-1;D=2*pi/(T*N); subplot(2,1,1),plot(m1*D/(2*pi),abs(X(m1+1) m=-N/2:N/2-1; subplot(2,1,2) plot(m*D/(2*pi),abs(ff

11、tshift(X)三。三。FIR滤波器的设计滤波器的设计（一）（一）FIR滤波器的特点滤波器的特点： （1）线性相位，波形失真小；）线性相位，波形失真小； （2）极点在）极点在z-平面原点，必稳定；平面原点，必稳定； （3）易于实现）易于实现（二）窗函数法（二）窗函数法 1. 定预期频率特性：定预期频率特性： 通带幅频特性为通带幅频特性为1，相位线性；，相位线性；1*exp(-a*w) 阻带幅频特性为阻带幅频特性为0；过渡带宽；过渡带宽 2。由预期特性求预期脉冲响应。由预期特性求预期脉冲响应hd 3。把脉冲响应与窗函数相乘，得实际的。把脉冲响应与窗函数相乘，得实际的有限长度的有限长度的h； 4

12、. h就是就是FIR滤波器分子系数，可滤波器分子系数，可用用freqz函数函数验算其幅频特性验算其幅频特性滤波器的设计指标滤波器的设计指标 类型和理想特性类型和理想特性 Wn=wc1,wc2,处的理想幅特性处的理想幅特性 A=A1,A2, 各段允许误差各段允许误差Rp,As,(或或delta1,delta2)根据过渡带宽选择根据过渡带宽选择FIR滤波器滤波器窗函数类型和长度窗函数类型和长度M的公式的公式名称近似过渡带宽精确过渡带宽最小阻带衰减矩形4/M1.8/M21dB巴特利特8/M6.1/M25dB汉宁8/M6.2/M44dB哈明8/M6.6/M51dB布莱克曼12/M11/M74dB取Ka

13、iser窗时用MATLAB中的kaiserord函数来得到长度MFIR滤波器的其他设计方法（二）频率抽样法朴素算法：等波动方法（用remez函数）（三）约束最小二乘法（fircls）约束指的对波动的上限有规定均方误差最小化准则最大误差最小化准则四。模拟及四。模拟及IIR数字滤波器设计数字滤波器设计(二）几种模拟原型的主要特点几种模拟原型的主要特点类型 极点 幅频特性 巴特沃斯 左半平面等相角间隔的单位圆上 通带阻带均无波动 切贝雪夫 I 左半平面接近单位圆的椭圆上 通带有波动，阻带内无波动 切贝雪夫 II 通带无波动，阻带内有波动 椭圆 通带阻带均有波动 （三）（三）IIR滤波器设计步骤（用滤

14、波器设计步骤（用书上的书上的方法和函数）方法和函数）1。用buttap+求阶次N的公式函数afd_butt设计模拟低通原型；数字指标:wp,ws,Rp,As先换成模拟指标用双线性变换时wp,ws用预崎变变换2。用变换函数bilinear或impinvar将模拟低通原型变换为数字低通3。用zmapping函数将数字低通变换为数字高通、带通或带阻滤波器（三）模拟及（三）模拟及IIR滤波器设计步骤（用滤波器设计步骤（用Signal工具箱）工具箱）以椭圆滤波器为例以椭圆滤波器为例选类型确定阶次elipord.求出模拟原型滤波器参数ellipap设计指标Wp,Ws,Rp,Rs等 lp2bp.转换为数字滤

15、波器bilinear直接求出滤波器参数ellip信号处理工具箱中滤波器设计界面信号处理工具箱中滤波器设计界面图形界面的滤波器设计工具图形界面的滤波器设计工具fdatool和信号处理工具和信号处理工具sptool 要得到MATLAB的使用说明，可: 1. 用help 命令 2. 用Acrobat Reader打开MATLABhelppdf_docsignal滤波器设计工具滤波器设计工具fdatool功能功能 输入给滤波器规定的指标、类型与参数； 自动或半自动地设计滤波器； 用多种方法显示设计的结果； 导入和导出滤波器的参数 分析、比较有限字长的效应对滤波器特性的影响；信号浏览器的概貌信号浏览器的

16、概貌: 使用信号浏览器可以: 分析和比较矢量或者矩阵信号. 放大有关信号数据的某部分 测量各种各样的信号数据的特征 比较多种信号. 在音频硬件上播送信号数据 打印信号.滤波器浏览器的概貌滤波器浏览器的概貌: 使用滤波器浏览器可以分析所选滤波器下列的响应特征 幅度响应,相位响应 脉冲响应,阶跃响应 群延迟 极点和零点位置 滤波器浏览器能在任何时候显示出选定滤波器的多达六种不同响应特征曲线.滤波器浏览器可提供以下功能滤波器浏览器可提供以下功能 缩放 测量滤波器响应 分析和修改滤波器响应 修改显示方法：例如频率范围或者重幅度单位等参数 使信号通过滤波器得到输出信号滤波的sptool演示 用程序ffiltdem及ffiltdem1运行 将其信号数据和滤波器数据送至sptool 再研究其输出信号 再观察其输入输出