电工技术：第2章 电路分析方法

1、第第2章章 电路分析方法电路分析方法求图示电路中支路电流求图示电路中支路电流i1i6（各支路电压与电（各支路电压与电流采用关联参考方向）。流采用关联参考方向）。 问题的提出问题的提出 R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234可用可用2b法求解电路。法求解电路。 问题：问题： 方程数多（方程数多（12个方程）个方程）复杂电路难以手工计算复杂电路难以手工计算计算机的存储能力与计算能力要求高计算机的存储能力与计算能力要求高 有必要寻找减少列写方程数量的方法有必要寻找减少列写方程数量的方法 。 目的目的：找出求解电路的：找出求解电路的一般分析方法一般分析方法 。对象对象：含独立源

2、、受控源的：含独立源、受控源的电阻网络电阻网络。应用应用：主要用于复杂的线性电路的求解。主要用于复杂的线性电路的求解。电路的连接关系电路的连接关系KCL，KVL定律定律元件特性元件特性约束关系约束关系基础基础R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS12342.4 2.4 支路电流法（支路电流法（Branch Current Method） 举例说明举例说明 支路数支路数 b=6 节点数节点数 n=4 （1） 取支路电流取支路电流 i1 i6为独为独立变立变 量量，并在图中标定各支路，并在图中标定各支路电流参考方向；支路电压电流参考方向；支路电压u1 u6的参考方向的参考方向 与电

3、流的方向一致与电流的方向一致（图中未标出）。（图中未标出）。 支路电流法支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程以各支路电流为未知量列写电路方程 分析电路的方法。分析电路的方法。 （2） 根据根据KCL列各节点电流方程列各节点电流方程 节点节点 1 i1 + i2 i6 =0(1)出为正出为正 进为负进为负 节点节点 2 i2 + i3 + i4 =0节点节点 3 i4 i5 + i6 =0节点节点4 i1 i3 + i5 =0节点节点 1 i1 + i2 i6 =0节点节点 2 i2 + i3 + i4 =0节点节点 3 i4 i5 + i6 =0 可以证明：对有可以证明：对有n个节点个

4、节点 的电路，独立的的电路，独立的KCL方程只方程只 有有n-1个个 。 R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS12343 （3） 选定选定b- -n+1个独立个独立回路，回路， 根据根据KVL列写回路电压方程。列写回路电压方程。 回路回路1 u1 + u2 + u3 = 0 （2）12回路回路3 u1 + u5 + u6 = 0 回路回路2 u3 + u4 u5 = 0 将各支路电压、将各支路电压、电流关系代入电流关系代入 方程（方程（2） u1 =R1i1， u4 =R4i4， u2 =R2i2， u5 =R5i5， u3 =R3i3，u6 = uS+R6i6 用支路电流表

5、出支路电压用支路电流表出支路电压R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 R3 i3 + R4 i4 R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 uS = 0 （3）R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234 i1 + i2 i6 =0 i2 + i3 + i4 =0 i4 i5 + i6 =0 R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 R3 i3 + R4 i4 R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 uS = 0 KCL KVL 联立求解，求出各支路电流，联立求解，求出各支路电流， 进一步求出各支路电压。进

6、一步求出各支路电压。 R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234图示电路用支路电流法求解所列写的方程：图示电路用支路电流法求解所列写的方程： 独立节点：独立节点：与独立方程对应的节点，有与独立方程对应的节点，有n-1个。个。独立回路：独立回路：与独立方程对应的回路。与独立方程对应的回路。规规 律律 KCL: （n 1）个独立方程。）个独立方程。KVL: （b - - n 1）个独立方程。）个独立方程。好找！好找！如何找？如何找？ 平面电路可选网孔作为独立回路。平面电路可选网孔作为独立回路。 一般情况下（适合平面和非平面电路），每增选一般情况下（适合平面和非平面电路），每增选

7、一个回路使这个回路至少具有一条新支路。一个回路使这个回路至少具有一条新支路。 支路电流法的一般步骤支路电流法的一般步骤: （1） 标定各支路电流（电压）的参考方向；标定各支路电流（电压）的参考方向； （3） 选定选定(n1)个独立节点个独立节点，列写，列写KCL方程；方程； （4） 选定选定b(n1)个独立回路，列写个独立回路，列写KVL方程；方程； （5） 求解上述方程，得到求解上述方程，得到b个支路电流。个支路电流。 （2） 用支路电流表示支路电压；用支路电流表示支路电压； 当不需求当不需求a、c和和b、d间的间的电流时，电流时，(a、c)( b、d)可分别可分别看成一个结点。看成一个结点

8、。解解2：支路数支路数b =4，且恒流源，且恒流源支路的电流已知支路的电流已知。I1= 2A， I2= 3A， I3=6A 对结点对结点 a： I1 + I2 I3 = 7对回路对回路1：12I1 6I2 = 42对回路对回路2：6I2 + UX = 0baI2I342V+I112 6 7A3 cd123+UX对回路对回路3：UX + 3I3 = 02.6 2.6 回路电流法（回路电流法（Loop Current Method） 基本思想基本思想: 以假想的回路电流为未知量列写回路的以假想的回路电流为未知量列写回路的KVL方方程。若回路电流已求得，则各支路电流可用回路电流线性程。若回路电流已求

9、得，则各支路电流可用回路电流线性组合表组合表 示。示。 回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流 进一次，流出一次，所以进一次，流出一次，所以KCL自动满足自动满足。il1il2 选图示的两个独立回路，选图示的两个独立回路， 设回路电流分别为设回路电流分别为il1、 il2。 支路电流可由回路电流表出支路电流可由回路电流表出 i1= il1 i2= il2- - il1 i3= il2 I1I3US1US2R1R2R3ba+I2以支路电流（回路电流）表示支路电压，列写以支路电流（回路电流）表示支路电压，列写KVL方程方程为什么不用列写为什

10、么不用列写KCL方程？方程？回路回路1 R1 il1+ +R2(il1- - il2)- -uS1+uS2=0 回路回路2 R2(il2- - il1)+ R3 il2 - -uS2=0 整理得整理得 (R1+ R2) il1- -R2il2=uS1- -uS2 - - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2 回路法的一般步骤：回路法的一般步骤： （1）选定）选定l=b- -n+ +1个独立回个独立回 路，路， 标明各回路电流及方向。标明各回路电流及方向。 （2）对）对l个独立回路，以个独立回路，以 回路电流为未知量，列写回路电流为未知量，列写KVL 方程；方程； （3）解上述方程，

11、求出各回路电流，进一步求各支路）解上述方程，求出各回路电流，进一步求各支路电压、电流。电压、电流。 il1il2I1I3US1US2R1R2R3ba+I2R11=R1+R2 回路回路1 1的的自电阻自电阻。 等于回路等于回路1 1中所有电阻之和。中所有电阻之和。 R22=R2+R3 回路回路2的的自电阻自电阻。 等于回路等于回路2中所有电阻之和。中所有电阻之和。 R12= R21= R2 回路回路1、2间间互电阻互电阻。 是回路是回路1、回路、回路2之间公共支路的电阻。之间公共支路的电阻。 当两个回路电流流过公共支路方向当两个回路电流流过公共支路方向 相同时，互电阻取正号；否则为负号。相同时，

12、互电阻取正号；否则为负号。 ul1= uS1-uS2 回路回路1中所有电压源电压升的代数和。中所有电压源电压升的代数和。 ul2= uS2 回路回路2中所有电压源电压升的代数和。中所有电压源电压升的代数和。 当电压源电压升高方向与该回路电流方向一致时，取当电压源电压升高方向与该回路电流方向一致时，取正正号；反之取号；反之取负负号。号。 R11il1+R12il2=ul1R21il1+ R22 il2 =ul2 il1il2I1I3US1US2R1R2R3ba+I2推广到有推广到有 l 个回路个回路仅含电阻、独立电仅含电阻、独立电压源的电路压源的电路其中其中 Rjk: 第第j个回路和个回路和 第

13、第k个回路的个回路的 互电阻互电阻 + + : 流过互阻的两个回路电流方向相同流过互阻的两个回路电流方向相同 - - : 流过互阻的两个回路电流方向相反流过互阻的两个回路电流方向相反 0 : 无关无关 R11il1+R12il2+ +R1l ill=uSl1 R21il1+R22il2+ +R2l ill=uSl2 Rl1il1+Rl2il2+ +Rll ill=uSll Rkk: 第第k个回路的自电阻个回路的自电阻(为正为正) ，k =1 , 2 , , l uSlk: 第第k个回路中所有电压源电压升的代数和。个回路中所有电压源电压升的代数和。 回路法的一般步骤：回路法的一般步骤： (1)

14、选定选定l=b-(n-1)个独立回路，标明回路电流及方向；个独立回路，标明回路电流及方向； (2) 对对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写个独立回路，以回路电流为未知量，列写 其其KVL方程；方程； (3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到l个回路电流；个回路电流； (4) 求各支路电流求各支路电流(用回路电流表示用回路电流表示)； 对平面电路（对平面电路（planar circuit），若以网孔为独立回），若以网孔为独立回 路，路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称 为网为网孔电流法。孔电流法。 网孔电流法（网孔电流法（mesh

15、current method） 例例2 用回路法求各支路电流。用回路法求各支路电流。 解解 （1） 设独立回路电流（顺时针）设独立回路电流（顺时针） （2） 列列 KVL 方程方程 (R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2 -R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2 -R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4 对于平面电路，网孔对于平面电路，网孔电流方向均为顺（逆）电流方向均为顺（逆）时针方向，则互电阻时针方向，则互电阻为负为负 。（3） 求解回路电流方程，得求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic （4） 求各支路电流：求各支路电流： I1=Ia ,

16、 I2=Ib-Ia , I3=Ic-Ib , I4=-Ic IaIcIb+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3+_ US4R4I4方法方法1： (R1+R2)I1- -R2I2=US1+US2+Ui - -R2I1+(R2+R4+R5)I2- -R4I3=- -US2 - -R4I2+(R3+R4)I3=- -Ui IS=I1- -I3 I1I2I3_+Ui例例3 列写含有理想电流源支路列写含有理想电流源支路的回路电流方程。的回路电流方程。 _+_US1US2R1R2R5R3R4IS+* 引入电流源的端电压变量引入电流源的端电压变量Ui列回路的列回路的KVL方程方程 * 增加回路电流和电

17、流源电流的关系方程增加回路电流和电流源电流的关系方程 特殊情况特殊情况1：电路中含有独立电流源支路电路中含有独立电流源支路 困难：列写回路的困难：列写回路的KVL时，电时，电流源两端的电压不能用回流源两端的电压不能用回路电流表示！路电流表示！方法方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路属于一个回路, 则该回路电流即为则该回路电流即为 IS 。 I1=IS - -R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=- -US2 R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1 I1I2_+_US1US2R1R2R5R3R4IS+I3（1) )

18、将将VCVS看作独立源建立方程；看作独立源建立方程； （2) ) 找出控制量和回路电流关系。找出控制量和回路电流关系。 4Ia- -3Ib=2 - -3Ia+6Ib- -Ic=- -3U2 - -Ib+3Ic=3U2 U2=3(Ib- -Ia)例例4用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。 +_2V- -3 U2+3U21 2 1 2 I1I2I3I4I5IaIbIc设回路电流设回路电流Ia、 Ib和和 IC，参考方向如图所示。，参考方向如图所示。 特殊情况特殊情况2：电路中含有受控电压源电路中含有受控电压源 4Ia - -3Ib = 2 - -12

19、Ia+15Ib- -Ic = 0 9Ia - -10Ib+3Ic= 0 Ia=1.19A Ib=0.92A Ic=- -0.51A 将代入，得将代入，得 各支路电流为：各支路电流为： I1= Ia=1.19A 解得解得 * 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。 , I2= Ia- - Ib=0.27A , I3= Ib=0.92A I4= Ib- - Ic=1.43A , I5= Ic= - -0.52A 思考：当电路中含有受控电流源时该如何列思考：当电路中含有受控电流源时该如何列 写回路电流方程？写回路电流方程？如何减少方程的数量？如何减少方程的数

20、量？ 支路电流法需要支路电流法需要（b-n+1）个个KVL方程，方程，（n-1）个个KCL方程。方程。 如果能确定如果能确定(n1)个独立节点个独立节点的电压，就可以确定电路中所的电压，就可以确定电路中所有支路的电压、电流。有支路的电压、电流。以以(n1)个独立节点个独立节点的电压为变量列写方程的电压为变量列写方程方程个数？方程个数？方程形式？方程形式？n1KCL为什么不用列写为什么不用列写KVL方程？方程？选择参考节点，设所有其它选择参考节点，设所有其它节点的电压节点的电压为未知变量。为未知变量。 由于由于电位的单值性电位的单值性，节点电压自动满足，节点电压自动满足KVL方程。方程。(U1-

21、 -U2)+(U2- -U3)+(U3- -U4)+(Un- -U1)只需列写只需列写以节点电压为变量的以节点电压为变量的KCL方程。方程。U1- -U2U1U212nU30U2- -U334U4U3- -U4Un- -U1Un 0节点电压法：节点电压法：以节点电压为未知变量列写电路方程分析以节点电压为未知变量列写电路方程分析 电路的方法。电路的方法。 2.7 2.7 节点电压法（节点电压法（Node Voltage Method） 举例说明举例说明 （2） 列列KCL方程方程 iR出出= iS入入 i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3 -i3-i4+i5=-iS3 un1un2iS

22、1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012 （1） 选定参考节点选定参考节点，标，标明其余明其余n-1个独立节点个独立节点 的电压。的电压。 （1）将支路电流用节点电压表出将支路电流用节点电压表出 1n11Rui 2n12Rui 3n2n13Ruui- - 4n2n14Ruui- - 5n25Rui S3S2S14n2n13n2n12n11n1iiiRuuRuuRuRu-S35n24n2n13n2n1iRuRuuRuu- - - - - - -将支路电流表达式代入将支路电流表达式代入（1）式式 un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012整理，

23、得整理，得 S3S2S1n243n14321)11( )1111(iiiuRRuRRRR - - - - S32n543n143 )111()11(iuRRRuRR- - - -（3）求解上述方程得节点电压。）求解上述方程得节点电压。 （2）节点电压方程是否具有节点电压方程是否具有某种标准形式呢？某种标准形式呢？G11=G1+G2+G3+G4G22=G3+G4+G5G12= G21 =-( (G3+G4)令令 Gk=1/Rk，k=1，2，3，4，5 un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012节点节点1的自电导的自电导，等于接在节点，等于接在节点1上所上所有支路

24、的电导之和。有支路的电导之和。 G11un1+G12un2 = isn1 G21un1+G22un2 = isn2 节点节点2的自电导的自电导，等于接在节点，等于接在节点2上所有上所有支路支路的电导之和。的电导之和。 节点节点1与节点与节点2之间的互电导之间的互电导，等于接在，等于接在节点节点1与节点与节点2之间的所有支路的电导之间的所有支路的电导之和，之和，并冠以负号并冠以负号。 isn1 = iS1-iS2+iS3isn2 = -iS3* 电流源电流流入节点取正号，流出取负号。电流源电流流入节点取正号，流出取负号。 un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R401

25、2G11un1+G12un2 = isn1 G21un1+G22un2 = isn2 流入节点流入节点1的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。 流入节点流入节点2的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。 将上述结论将上述结论 推广到有推广到有n-1个独立节点的个独立节点的仅含电阻、电仅含电阻、电流源的电路流源的电路 G11un1+G12un2+G1nunn=iSn1 G21un1+G22un2+G2nunn=iSn2 Gn1un1+Gn2un2+Gnnunn=iSnn 其中其中 Gii 自电导自电导，等于接在节点等于接在节点i上所有支路的电导之上所有支路的电导之 和和，总为，总为正正

26、。 * 当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。 iSni 流入节点流入节点i的所有电流源电流的代数和。的所有电流源电流的代数和。 Gij = Gji 互电导互电导，等于接在节点等于接在节点i与节点与节点j之间的所支之间的所支 路的电导之和，并冠以路的电导之和，并冠以负负号。号。 节点法的一般步骤：节点法的一般步骤： （1） 选定参考节点，标定选定参考节点，标定n- -1个独立节点；个独立节点； （2） 对对n- -1个独立节点，以节点电压为未知量，列个独立节点，以节点电压为未知量，列 写其写其KCL方程；方程； （3） 求解上述方程，得到求解上

27、述方程，得到n- -1个节点电压；个节点电压； （4） 求各支路电流。求各支路电流。 R111SRuun1un2uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012+-可将该支路进行电源等效变可将该支路进行电源等效变换后，再列方程。换后，再列方程。 记记Gk=1/Rk，得，得 (G1+G2+G3+G4)un1- -(G3+G4) un2 = G1 uS1 - -iS2+iS3 - -(G3+G4) un1 + (G3+G4+G5)un2= - -iS3 等效电流源等效电流源 特殊情况特殊情况1：电路中含电路中含 电压源与电阻串联的支电压源与电阻串联的支 路路 用节点法求各支路电流。

28、用节点法求各支路电流。例例520k 10k 40k 20k 40k +120V- -240VUAUBI4I2I1I3I5120V240V+- -+- -20k 10k 40k 20k 40k UAUBI4I2I1I3I5I1=(120- -UA)/20= 4.91mA I2= (UA- - UB)/10= 4.36mA I3=(UB +240)/40= 5.46mA I4= UA /40=0.546mA 各支路电流：各支路电流：解解 AB1111()620401010UU-AB1111()610102040UU- -UA=21.8V UB=- -21.82V I5= UB /20=- -1.09mA 6A20k 10k 40k 20k 40k UAUBI4I2I1I3I56A方法二：直接用节点电压列写方程方法二：直接用节点电压列写方程20k 10k 40k 20k 40k +120V- -240VUAUBI4I2I1I3I5UcUdAB11111()02040101020cUUU-AB11111()01010204040dUUU-120cU 240dU -例例6 列写图示电路的节点电压方程。列写图示电路的节点电压方程。 方法方