七桥问题和一笔画

1、七桥问题和一笔画18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。 图 1 图 2 七桥问题引起了著名数学家欧拉17071783的关注。他把详细七桥布局化归为图2所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形即笔不分开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只

2、画一次不准重复，并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图2是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？请看下面的分析。假如我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。假如画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。假如起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；假如起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或

3、者其中只有两个点与奇数条线相连。图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不管是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。在报告中，他证明了上述结论。后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准那么，即欧拉定理。为了介绍这个定理，我们先来看下面的预备知识：由有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个不同的端点。这些线叫做网络的弧，弧的端点叫做网络的顶点。例如，图2是一个网络，a、b、c、d、e、f、g是它的7条弧，A、B、C、D是它的四个顶点。网络中互相衔结的一串弧叫做一条路。假如网

4、络中任意两个顶点都可以用一条路连结起来，那么就称这个网络为连通的；否那么称为不连通的。例如，图2是连通的网络；图3是不连通的网络，其中有的顶点例如A与D之间没有道路连结。图 3 图 4网络中以某顶点为端点的弧的条数，叫做该顶点的叉数。叉数是奇数的顶点叫做奇顶点，叉数是偶数的顶点叫做偶顶点。下面介绍欧拉定理。欧拉定理 假如一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否那么它不可以一笔画出。用欧拉定理可以很方便地判断一个简单图形是否可以一笔画出。例如，图3是不连通网络，它不能一笔画出尽管它的奇顶点个数为0；图4中实线所示图形有8个奇顶点它不能一笔画出，假如将图中虚线补为实线，那

5、么奇顶点只有F和G两个，所得图形就能一笔画出了以F为起点，G为终点；或G为起点，F为终点。家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗读儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读才能进步很快。语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对进步学生的程度会大有裨益。如今,不少语文老师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果老师费力,学生头疼。

6、分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的为难场面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见,假如有目的、有方案地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然浸透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和开展。试问以下图形能否一笔画出？如能画出应怎样画？如不能画出理由是什么？语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对进步学生的程度会大有裨益。如今,不少语文老师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果老师费力,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的为难场面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见,假如有目的、有方案地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在