《计量经济学》博士研究生入学试题解答

1、计量经济学博士研究生入学试题(A)解答一、简答题1、指出稳健标准误和稳健t统计量的适用条件。答：稳健标准误和稳健t统计量的适用条件是样本容量较大的的场合。在大样本容量的情况下，一般在横截面数据分析中总是报告稳健标准误。在小样本情况下，稳健t统计量不那么接近t分布，从而可能导致推断失误。2、若回归模型的随机误差项可能存在q(q1)阶自相关，应采用什么检验？其检验过程和检验统计量是什么？答：如果模型：yt=a0+U1X1t+a2x2t+apt+/的误差项满足：鸟=匕鸟+2姆/+Pq4q+Vt，其中Vt是白噪声。原假设Ho：Pi=0,P2=0,，Pq=0那么，以下两种回答都可以。1)、(1).yt对

2、Xit，X2t，Xpt(t=1,2,，T)做OLS回归，求出OLS残差也；(2) .?对X1t,X2t，Xpt,国，&立,，？y做OLS回归，(t=q+1,q+2,，T),得到R2;(3) .计算(2)中的*，*1,，？tT联合F检验统计量。若F检验统计量大于临界值，则判定回归模型的随机误差项存在q(q1)阶自相关；否则，则判定判定回归模型的随机误差项不存在q(qa1)阶自相关。2)、完成了1)中的(1)、(2)两步以后，运用布劳殊-戈弗雷检验(BreschGoldferytest)LM=(T-qR2,由于它在原假设Ho成立时渐近服从&2/：分布。当LM大于临界值，则判定回归模型的随机误差项存

3、在q(q1)阶自相关；否则，判定回归模型的随机误差项不存在q(q1)阶自相关。3、谬误回归的主要症状是什么？检验谬误回归的方法主要有哪些？在回归中使用非平稳的时间序列必定会产生伪回归吗？答：格兰杰(Granger)和纽博尔德(Newbold)认为在用时间序列数据进行回归估计时，如果R2在数值上大于德宾沃特森统计量，则我们应当怀疑有谬误回归存在。检验谬误回归的方法主要是用DF和ADF检验考察回归的残差是否服从1（0），进而判定变量之间的关系是否为协积的，从而检验出谬误回归的存在性。回归中使用非平稳的时间序列不一定会产生谬误回归，比如两个协积的变量，虽然它们可以非平稳，但是不会产生谬误回归。4、一

4、般的几何滞后分布模型具有形式：yt=口+PAjf（1九xt_i+/，E（片）=0,iJD2cov（a,/）=。6t,s,0九1。如何对这类模型进行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量？00答：对一般的几何滞后分布模型yt=a0+%加工（1-九Jx-+雪，有限的观测不可能估计无限的i=0参数。为此，必须对模型形式进行变换：i汪息到：yt=%十%九（1九：i菖，从而：1 0yt-1-yt:0:ixtt-1-yt二二F二匕1,xt-1rl）yt.；t1；t由于yt与即相关，所以该模型不能用ols方法进行估计，必须采用诸如工具变量等方法进行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量。5、假定我们要估计一

5、元线性回归模型：yt=仪+Pxt+6tE3）=0,cov（驾，与）=D2s但是担心xt可能会有测量误差，即实际得到的xt可能是X；=Xt+vt,Vt是白噪声。如果已经知道存在与xt”相关但与即和Vt不相关的工具变量Zt,如何检验xt是否存在测量误差？答：已知存在与x：相关但与气和不相关的工具变量zt,用最小二乘法估计模型x：=a0+a1zt+vt,得到残差Vt=x：-备一dzt。把残差作为解释变量放入回归方程yt=o（+P%+国+Ut,用最小二乘法估计这个人工回归，对显著性假设运用通常的t-检验。H。：6=0（xt与片之间没有相关性）H1：6#0（xt与必之间有相关性）注意，由yt=口+Pxt

6、+6+ut可推得yt一口Px=6R+ut,即：现=6*+ut。利用对yt=+Px+a所做回归得到的残差也替彳弋片，对系数6作OLS估计，当t-检验显著时就表明/与齿之间有相关性，即M存在测量误差。否则就没有。6、考虑一个单变量平稳过程yt=%+%y+PoXt+Ax+鼻（1）这里，名t三IID（0产2）以及|1|1。由于（1）式模型是平稳的，yt和都将达到静态平衡值，即对任何t有：y*=E（yt）,x*=E（xt）于是对（1）式两边取期望，就有y:=二。:1yox:1x（2）也就是10o1y=x=k0k1x（3）1-：11-：1这里k1是y*关于x冲的长期乘数，重写式就有：yt=f(xt)其中r

7、=，为虚拟变量，表示丫偏离的方向。Pyt0,并且变量educ与abil正相关，因此，1是正偏误和不一致的。二、综合题1、为了比较A、B和C三个经济结构相类似的城市由于不同程度地实施了某项经济改革政策后的绩效差异，从这三个城市总计Na+Nb+Nc个企业中按一定规则随机抽取nA+nB+nc个样本企业，得到这些企业的劳动生产率y作为被解释变量，如果没有其它可获得的数据作为解释变量，并且A城市全面实施这项经济改革政策，B城市部分实施这项经济改革政策，C城市没有实施这项经济改革政策。如何建立计量经济模型检验A、B和C这三个城市之间由于不同程度实施某项经济改革政策后存在的绩效差异？解：把A、B两个城市中第

8、i企业的劳动生产率yi写成如下模型：DPDai+d+即，；iN0,二2i=1,2,EaEa1,EanB,nAnB1,EanBnc(1)这里，虚拟变量Da.可表示为：AiDAi弋第i个企业来自于城市 A其它(2)(3)1,第i个企业来自于城市BDBi=0,其它于是，参数3表示城市C企业的期望劳动生产率，而参数P表示城市A企业的期望劳动生产率与城市C企业的期望劳动生产率之间的差异，即口+P表示城市A企业的期望劳动生产率；参数不表示城市B企业的期望劳动生产率与城市C企业的期望劳动生产率之间的差异，即a+表示B城市企业的期望劳动生产率，即：DAi=1,DBi=0E(yi)=a+,DAi=0,DBi=1

9、-：,DAi=0,DBi=0要检验城市A企业的期望劳动生产率与城市B企业的期望劳动生产率之间的有无显著差异，改写模型为：V,=a+$DAi+(Dbi十口内)十驾，其中，6=P_7；句n(0尸2此时，有：3+飞+6,DAi=1,DBi=0E(y)=a”,Da=0,Dbi=1(5),叱口&=04=0运用t检验看参数6是否显著地不为0,否则就认为城市A企业的期望劳动生产率与城市B企业的期望劳动生产率之间无显著差异2、用观测值y1,，y20和Xo,Xi，x20估计模型Vt=二+?0为，Xt-et得到的OLS估计值为2=5.02.23?0-0.82.21Z=0.31.8622R=0.86和?=25括号内

10、为t统计量。由于禺的t值较小，去掉滞后回归自变量为重新估计模型，这时，R2为多少?解：去掉滞后回归自变量Xt后所估计的模型可以看作是无约束模型：yt=-et在约束条件：RP=0之下所得到的估计。这里，R=(0,0,1),P=9(,p0,Pi)。设无约束模型的OLS残差向量为e,带约束模型的OLS残差向量为eR,则有：1夕2=-ee=25,从而可得到：ee=20W2=2父25=50020?-0(伊丫令C=(XX=(Cj3个则有t?=-,从而可得到：C22=|=0.0256JC22注意到带约束模型的OLS残差平方和与无约束模型的残差平方和存在如下关系：eReR=eeR?RXX,RR?=ee?121

11、=5003.47=503.47c22,2SSEeeee由R2=1-=1-,可推彳导:SST=rSSTSST1-R2同理，由rR=1也可推得：rR=1.相=1也(1.R2)SSTSSTee所以，RR=1-eReR1-R2)=1-503.470.24=0.86ee5003、对线性回归模型：Vi = X ： i(i=1,2,，n) (1)满足EXi备#0。假定z可以作为x合适的工具变量，且Var(w|Z)=0(2)、对重复观测不可得的情况详细说明Heckman提出的模型估计方法。答案：1)、证明：对Logit模型，其似然函数可写成如下形式：NL(B)=口P“i=1XiWP(yi=0Xi尸i(1)(1

12、)式的对数似然函数为:N.l(P)=E%logF(xjB)+(1-yiJog1-F(x/P力(2)i4(2)式关于参数P的一阶导数为:5)xF()(1yi)f(x：P)二；ex伙P)1-F(x：P)”;二yi1+ex伙：P)F于是，一阶条件为:N工(yii 1ex pxi ?V xi = 0 1 e x pxi ?(3)N由(3)式可知：、yixii 1N=、?ixii 1(4)由于xi=(1,xi1,x2/ll,xp)中第一分量为常数1,所以根据(4)式可得到:2)、假定我们考虑的Tobit模型为：y=x；P+3,i=1,2,，n以及8i服从正态N(0尸2吩布，满足yi=y，若y：0；yi=

13、0,若y：0。则有：Eyiyi。)=+E(带i)=十:苦黑即：Eyi二xi:/二1_：1-xi-/二二为-一P的估计是也就是仅仅考虑利用观测所获得的正的数据*.Vi来估计Tobit模型，所获得的参数,这就是仅仅运用正观测值子样本来估计Tobit 模有偏的，并且其数值大于xi,p,并且依赖于99：二，型的不合理性。3）、我们知道，对于Tobit模型有这样的结论:Ely|Vi0)=x；力与=xi=.二一i：.：，i-中仁ItTJ如果有关于的估计,就可得到 P的一致估计。James Heckman设计出了一种相对比较简单的两步估计法，但这个估计法能够得到P的一致估计。（1）在重复观测不可得的条件下，

14、具体的估计步骤如下:第一步，我们通过Probit模型来区分“ yi 0”的观测和“ y父0”的观测,可以得到:Pzi =1 xi = py* 0 xi=Pi AxiP|x =G(x；F ),运用极大似然估计方法有:NL( P )= PZ =1 xZi =0 xj(2)对数似然函数为:l(B) = E zl 雇1( x0)+( 1 Z) l(n -科(声)(3)根据:Zi -：-：J 为：-1 _*（x；P ） xi = 0 ,利用数值运算方法可以求得pb,这样就很容易获得小*。中 xi ?pb第二步，我们在获得了 ?之后, 考虑下述模型:(4)V=x?+B?+Ui,(i=1,2,|,N)其中，

15、我们假定Ui满足高斯一马尔可夫条件。于是，运用OLS方法可以得到Tobit模型的参数估计肾。但是，需要注意的是，Ui完全可能不满足高斯一马尔可夫条件，出现序列相关或异方差的现象，因此，需要运用广义最小二乘法（GLS）或可行的广义最小二乘法（FGLS）。一般情况下，由OLS方法得到的t检验是有偏的。另外，Heckman的二步估计法不如Fair的极大似然估计法那样有效。因此，只要可能的话，最好采用极大似然估计法。计量经济学博士研究生入学试题（B）解答一、简答题1、说明随机游动过程和单位根过程的联系与差异？如何检验某个经济变量具有单位根？答：随机游动过程在形式上与单位根过程完全一样，但它们之间的本质

16、性差异在上。当口是白噪声时，我们就称该过程为随机游动过程（randomwalk）;当5是平稳过程时，该过程就是单位根过程。随机游动过程是单位根过程的一种特殊情形，它是非平稳过程。如果某个经济变量的数据发生过程满足yt=Py2+u,假定随机干扰项Ut独立同服从于均值为0,方差为仃2的分布时，检验它是否具有单位根可以用迪基和富勒（DF）检验；Q0如果放宽对随机干扰项的限制，允许随机干扰项ut服从一个平稳过程，即ut=5%T,在这种j=0的情况下，它是否具有单位根可以用增广的迪基和富勒（ADF）检验。2、协积的概念是什么？如何检验两个序列是协积的？答：如果乂和治都是非平稳I（1）过程变量，则我们自然

17、会预期它们的差，或者诸如et=yt-%-ot2xt一类的任何线性组合也是I（1）的。但是，有一种很重要的情形就是et=yt%O（2X是一个平稳的I（0对程。这一情形我们称yt和Xt是协积的。协积意味着yt和Xt拥有相似的随机趋势，于是它们的差et就是平稳的，它们相互之间绝不会偏离太远。协积变量yt和xt之间表现出一种定义为yt=“1十口2”的长期均衡关系，而et是均衡误差，表示对长期均衡关系的一种短期偏离。通过检验误差et=乂-o（i-0（24是否平稳，我们判断yt和xt之间是否协积。因为我们不能观察et,所以就使用迪基富勒（DF）检验，通过检验最小二乘估计的残差咨=yt-明-叱x的平稳性来替

18、代。3、在二元离散选择的模型中解释变量出变化作用的符号与其系数Pk的符号有什么关系？为什么？至少写出二点关于Tobit模型与二元离散选择的模型的区别？答：在Probit模型、Logit模型中的参数是无法直接解释的。我们可以通过如下微分来考察这些模型：xi1Jexp（x：P=Wx：P人（1）:XikM2二.2.:G为:ex；1exi：-exiexi:exi：=22=2（X2Pk-xik1exi-1exi-这里，8x/P底示标准正态密度函数。这些微分度量了xik变化的边际作用。xik变化的边际作用都依赖于xik的数值。在（1）和（2）两种情况下，xik变化作用的符号与其系数Pk的符号是相一致的。T

19、obit模型与二元离散选择的模型的区别：（1）概率单位模型和Tobit模型的区别是前者因变量使用的是哑变量，后者因变量使用的是删尾的连续变量；（2）Tobit模型中yi=0要比下0时yi=y有更重的权数，因为有Pryi=0|xi）=P/y：0|h这是其它离散选择模型所不具备的。4、海德拉斯（Hildreth）和卢（Lu）（1960）检查分析了30个月度的时间序列观测数据（从1951年3月到1953年7月），定义了如下变量：cons=每人冰激凌的消费量（按品脱计）income=每周平均的家庭收入（按美元计）price=每品脱冰激凌的价格（按美元计）temp=平均气温（F）1）、用cons对inc

20、ome,price,tem和常数作线性回归模型，得到DW航计量的数值为1.0212,请说明模型存在什么病态？答：说明模型的随机误差项可能存在序列相关，因此，用cons对income,price,tem和常数作线性回归模型所得到的参数估计可信度低。2）、上述模型中加入平均气温的一阶滞后项tem（-1）,得到DW=1.5822,并且该项的系数估计为负，请说明加入该项的作用以及系数为负的经济含义。答：模型中加入平均气温的一阶滞后项tem(-1)后，有助于改善随机误差项存在序列相关所带来的干扰和影响；该项系数为负说明，如果上月的平均气温很高，当月趋于正常的话，当月每人冰激凌的消费量不会保持上个月的高水

21、平，只会有所下降，并与当月的平均气温呈正向因果关系;反之也一样。3)、答:请写出2)中模型的另一种表达式，说明该表达式中变量系数的符号，解释符号的经济意义。若const=口0+1pricet+a2incomet+仪3temR+ot4tempt+a,且其参数满足:0(10,支2A0,口3A0,a40,且有3A4,因为，一般当月的平均气温对每人当月冰激凌的消费量影响最大。我们可以把上述模型进行变形，即:const=u0+U1pricet+a2incomet+(a3+a4)temptu4(temp-tempts)十与=o(0+1pricet+o(2income+Ptemp+弘tempt+其中，各个变

22、量的系数满足%0, 0 。这说明每人月冰激凌的消费量受价格的抑制影响，而收入与当月的平均气温与每人冰激凌消费量的走向一致，当月平均气温的变化量与每人冰激凌消费量的变化也是一致的。4、说明R2和调整的R2之间的差异,为什么在多变量线性回归模型的拟合评价中人们主要用R2,而不是一般的决定系数R2呢?答:由于R2 =11N -12eN 71 一“yi -ySSE |N - p 1SST/ N -1N、, e2ei2i WR =1-N,、yi -y2 i 1SST因此，当模型中引入另外的回归变量时，无论这个变量是否合理,_ 22 一R值永远不会减小。R是用于修正自由度的拟合优度度量,即:R2 -1 -

23、eiN -(p 1) T1 J - 2 J=1产N-p1-SST/ N -1-1-R222于是，当模型中引入另外的回归变量时，R值也许就会减小。因此，R并不依赖于模型中解释变量的个数，这也就是在多变量线性回归模型的拟合评价中人们主要用R2,而不是用一般的拟合优度R2。5、对于一种简化的异方差模型，即假定：VarGi/xi=仃2%2,这里假定hi可以被?估计的。那么关于参数P的可行的广义最小二乘估计（FGLSS量如何得到？它是否还具有广义最小二乘估计的优良性质？答：假定Vari/为=仃22,hi是已知的。于是，关于参数P的广义最小二乘估计（GLS）量适用于下述转换了的模型：估计量：很明显，转换了

24、的模型的随机扰动项具有同方差。这样，就产生了GLSn工LS=hixixi由于hi可以被h?估计，则得到参数P可行的广义最小二乘估计（FGLS）量，即1NN八TxiXiTxyi_i1i工显然，4GLs不再具有无偏性的性质，但一致性继续保持。7、在美国有人对密歇根的AnnArbor的大学生进行调查，认为男生和女生对空间（用ROOMPER量）和距学校的距离（用DIST度量）具有不同的观点。试问如何利用租金（用RENT度量）数据对下述模型:RENT=1工SEX3ROOMPER丁DIST.:用F检验法检验假设Var（名男）Var（a女）？注：SEX为虚拟变量一一（1；如果是女生；0；如果是男生）。答：假

25、定被调查的男大学生和女大学生人数分别为N1N-N1,利用被调查的男大学生和女大学生的数据分别对下述模型：RENT二T二2ROOMPERi：3DISTiiNiN_Ni2i.2“备”6进彳TOLS估计，得到&2=，鼠=i-。N1-3（N-N1）-3于是，对原假设H0:a|=仃：和备择假设H1:仃2ai。0力X1力X?2检验统at量为F=；在原假设H0:成立时服从F（N1-3,N-N1-3）；%分布。若FaFJNNN1-3）,则拒绝原假设设H0,认为Var（男任Var（s女）成立；否则，就认为Var（颈）Var（触）不成立。8、为了研究美国住房需求情况，我们利用对3120个家庭调查的截面资料资料，对

26、以下回归模型：logQ-1210gp：3logY；其中Q=3120个家庭中的任何一个家庭每年所需要的住房面积平方英尺数；P=家庭所在地住房的价格；Y豫庭收入。假设我们认为住房需求由两个方程组成，一个描述黑人的住房需求，另一个描述白人的住房需求，这个模型可以写成：logQ=P1十0210gp十0310gY十名；白人家庭logQ=71+?2logP+3logY+君；黑人家庭我们希望对黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设进行检验。这个假设是联合假设：1=1：2=2：3=3为了对上述假设进行检验，我们首先对上述模型进行估计，并将每个方程的误差平方和相加，得到ESSUr=13640。现在，假

27、设原假设为真，则模型简化为logQ=B1+P2logP+03logY十8所有家庭对这个模型进行估计，得到它的误差平方和ESSR=13838。我们能否认为系数全相等是正确的？答：对于黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设进行检验，我们采用邹检验（Chow.一,一一ESS-ESS3test）。在原假设成立时，F=空F（3,3114,计算检验统计量ESSjr3114ESSR-ESSUR31983F=_寸=15.1,远大于5%a著性水平时F(3,3114)的临界值，所ESSr3114136403114以拒绝黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设，它们之间存在显著差异。二、综合题1、

28、假定模型的矩阵形式y=XP+w,其中E(z)=0,E(Xa)=0；1)、假定ES/)=仃2”,求在RP=条件下，参数P的最小二乘估计量。2)、假定E旖葭)=仃21T且&是正态向量N(0,a2IT),构造检验原假设H0：RP=rq=rank(R)的检验统计量，并说明该检验统计量服从F分布。3)、如何判断参数线性约束条件是否成立，请做说明。R2ko4)、证明：对模型显者性检验的统计量F=,请说明原假设是什么？其中，R21-R2T-k-1是模型y=XP+名在无约束条件下作OLS估计所得到的拟合优度。解：1 )、要求在约束条件rP=r下，参数向量p的最小二乘估计量，目标是求向量函数V(P)=(yXP)

29、(yXP)+2Y(RP-r)达到最小时的参数向量乙。对上述函数求导可得：= -2X y-X 2d |(RP -r pj=2Xy+2(XX黑+2R?=0(1)=附R=(XX),Xy(XX),R，?=Els-(XX)/R?(2)因为，rSr=r=R?olsR(XX尸RV?(3)所以，?=RXX，RiR?OLS-?RJrXXRR?ols-r(4)即理=%S(XX)，R奴XX广R(R留OLSr)2)、根据上式中带约束参数向量的最小二乘估计公式，我们有：理=舀OLS-(XX尸RRxX尸R(R%lsr)(6)ROLSOLS从而，可以得到带约束参数向量模型的最小二乘估计残差公式：eR=%ls-XXXRRXX

30、R尸R?0l0-reRe.=eoLseoLs-R%s-rRXX，RRXXJXeoLs-eoLsXXX,RRXXWR?ols-rFR?ols-rRXX，RRXXXXXXRRXXRR?0ls-r整理以后可得到：eReR-eOLseoLs=(Rf?r)RXX广R广(R%s-r)之0也就是说，带约束参数向量模型的最小二乘估计残差平方和相对于无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和会变大，即：eReR-eUOLSeUOLS(8)要检验原假设H0：rP=r是否成立，需要构造检验统计量。根据(8)式中所体现的性质，我们构造F检验统计量：F=层备eUOLS)q,这里q=Qnk(R)。eUOLSeJOLS-N

31、-p1(9)当原假设H0：Rp=r成立并且误差向量6不仅满足高斯一马尔柯夫条件，还满足正态分布时，可以得到：F=6备一eUOLSdoLS)q服从自由度为(q,Np1)的FeUOLSeUOLSN一p1分布，即F(q,Np1%3)、对于给定的检验水平a,若FF1y(q,N-p-1)时，说明带约束参数向量模型的最小二乘估计残差平方和eReR与无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和eUOLSeUOLS之间差异显著，此时，我们对参数向量的约束条件rP=r不成立，也就是说在原始模型中并不存在参数之间的这种约束关系。因此，我们拒绝原假设H0。若FMF1G(q,N-p-1)时，说明带约束参数向量模型的最小

32、二乘估计残差平方和eReR与无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和eUOLSeUOLS之间在统计上没有什么差异，此时，我们对参数向量的约束条件rP=r是合理的，也就是说在原始模型的参数之间确实存在着这种关系。因此，我们接受原假设H0。4）、注意到无参数向量约束条件时模型的拟合优度（或称决定系数）2RU和参数向量带约束条件时模型的拟合优度（或称决定系数）rR分别为:从而有：SSE=(1R2SST,SS&=(1rRSST可以推得：SSER-SSEU=eReR-eUoLseuoLs=(R2-R2SST这样，残差形式的F检验统计量:eR0R-euoLseuoLsqF二一；eUOLSeJOLS-N-

33、p,1又可以写成拟合优度形式的F检验统计量：R2-RRq因此，当对模型显著性检验的统计量F =21 - Ru i.T - p -1,则原假设指的是所有解释变量的系数都为零，即H0：尾= = 0。也就是当Ho成立时，有rR=0。这时，对模型显著性检验的统计量FRu PO1-R2T-P-11-r2n-p112、对线性回归模型：y=XP+6,其中随机误差向量满足高斯-马尔可夫条件。1）、定义最小二乘估计量b.2）、如果X的第一列每个元素都是1,证明最小二乘残差和为零，即q=0。3）、令P=（打，久）wRK1乜，b=（h,b2）,和X=（X,X2）,推导b和b2的表4）、如果EE8=。2夏与单位矩阵不

34、成比例，试推出b和*（GLS）方差形式。解：1）、按照最小二乘的思想，我们定义该模型最小二乘估计量bXXXy注意，这时我们认为(XX住可逆的矩阵。公C、12)、令X=(i,Xi),其中，”：，则根据残差向量的矩阵形式We=y_Xb=lX(XX)Xy,可以得到：Xe=0,于是可推得：e、xe=e=i=11,即有：xei0lXXie；lXieJ3)、令M1=I1-X1(X；X1X；，M2=I2-X2(X2X2-X2根据y=X1K+X2P2+名(1)由(1)式左乘M1,可得：M1y=乂水平1+M1X2P2+M科(2)注意到：M1X1=0,可得：b2=(X2MX2)，X2M1y1.同理：M2X2=0,

35、可得：b1=(X1M2X1)X1M2y(4)24)、如果EeT=o2C与单位矩阵不成比例，则根据：Varb=VarXX,XyLXXXVaryXXX可得：Varb=O2XX/X；XXX由于E=a2C为对称正定矩阵，所以存在非奇异矩阵P,满足PCP=I,也就是11建=(P)(P)。根据这一性质，我们对模型进行变换：Py=PXP+P6,显然，Var(Ps)=Pa2QPQr2|。因此，对变换了的模型运用最小二乘估计，得到：?GLS)EXPPX,XPPyX4XX；4y从而，VaJ?(GLS=(XC，XXC(o2C)建xlxnX厂=o2(xC，X。3、假设年轻男性职员与年轻女性职员的工资之间存在着恒定的差

36、别，为检验年轻男性职员与年轻女性职员受教育的回报是否相同以及方便起见，在模型中只包含受教育水平和性别二个定性的解释变量。试设计模型既能体现存在恒定的工资差别，又能反映存在受教育回报上的差别，并对模型参数的估计及其所蕴涵的意义进行讨论。解：假设年轻男性职员与年轻女性职员的工资(wage)之间存在着恒定的差别，同时为方便起见，在模型中只包含受教育水平(edu)和性别(female)二个定性的解释变量。为进行模型分析,我们把定性的解释变量转换为可进行定量分析的虚拟变量，即：femalei =，1第i个被观测者是年轻女性 职员否则0第i个被观测者没有受过初等教育_J1,第i个被观测者受过初等教育edu

37、i=z第i个被观测者受过中等教育3第i个被观测者受过高等教育由于本问题涉及的解释变量多于1个虚拟变量，因此，当被解释变量取为log(wage)时，这些虚拟的解释变量系数就具有一种百分比的解释。为检验年轻男性职员与年轻女性职员受教育的回报是否相同，考虑到加入解释变量交互项能够产生不同的斜率这一作用，我们设计如下模型：log(wage)=(0+4female)+(%+Zfemaleedu十备(1)在(1)式中代入femalei=0,就会发现，年轻男性职员这一组的截距为口。,而受过初等教育的斜率为%。对于年轻女性职员这一组，代入female=1；于是其截距为口。十不。，而受过初等教育的斜率为1+Y1

38、o因此，”度量了年轻男性职员与年轻女性职员在截距上的差异，Z度量了年轻男性职员与年轻女性职员在受过初等教育回报上的差异。要估计*II型(1),我们可以把它改写成：log(wage)=口0+丁0female+1edui+，female*edq+曾(2)对模型(2)中我们可以用OLS方法估计出参数口0,041/1。对于”,71的取值可以分成如下四种情况：(1)丁00,?10;(2)?00；(3)0A0:10,*0。其中，情形(1)”0,%0表明，年轻女性职员组各种受教育水平的人的工资都比年轻男性职员来得低,并且其工资差距随着教育水平的提高而扩大；情形(2)尸00表明，年轻女性职员组的截距小于年轻男性职员组，但年轻女性职员组