有理数的相关知识

1、有理数的相关知识初一数学主讲教师：胡水明2.1 正数和负数正数和负数一、本节知识要点：一、本节知识要点：1、引入负数是实际需要，我们用正负数来表示具有相反意义的量。2、比0大的数叫正数，在正数前面加上“”号的数叫负数。0既不是正数，也不是负数，正数、负数和零统称为有理数。3、有理数的分类： 零正分数正整数正有理数负整数负分数负有理数有理数有理数分数正分数负分数整数负整数零正整数 二、例题评析：二、例题评析： 例例1 填空：（1）收入500元，记作500元，则支出300元记 作 。（2）向北走 40m表示 。 答案：答案：（1）300元（2）向南走40m。 评析：评析：用正负数表示相反意义的量时

2、，要弄清符号与实际意义间的关系，符号不能弄错，还要注意带上单位。例例2 在10，5，2， ，0， ，2.93，3.14，101，97这十个数字中（1）有哪几个是自然数？（2）有哪几个是非正整数？（3）有哪几个是分数？（4）有哪几个是整数？5627 答案：(1) 5，0，101；(2) 10，2，0，97；(3) ， ，2.93，3.14；(4)10，5，2，0，101，97 评析：(1) 题中注意自然数包括0；(2) 题中要正确理解非正整数的概念，即“不是正数”的整数，也就是零和负整数；(3) 题中注意搞清小数和分数的关系，即有限小数和无限循环小数可化为分数，所以在写分数时别把它们拉下；(4)

3、 题，0也是整数，写整数时别忘了它。5627例例3 把下列各数填在相应的大括号里，5， ，0.62，4，0，1.3， ，6.4，7，7 ，20，7。（1）正整数集合 ；（2）负整数集合 ；（3）分数集合 ；（4）整数集合 ；（5）负数集合 ；（6）正数集合 ； 137613答案：答案：（1）4，7；（2）5，7；（3） ，0.62，1.3， ，6.4，7 ，20；（4）5，4，0，7，7；（5）5，1.3，6.4，7，7 ；（6） ，0.62，4， ，20，7；评析：本题仍涉及有理数的分类，由于同学们刚刚学完正负数，对于各种数集的特征还不是很熟悉，所以容易出错，如在整数集中漏写0，写分数集时漏

4、掉有限小数等，所以做题时应注意力集中，做完后再复查，提高正确率。137613131376 例例4 字母可以表示数，回答下列问题：（1）a一定表示负数吗？（2）什么情况下，a表示正数？（3）什么情况下，a表示负数？ 答案：答案：（1）不一定；（2）a是负数；（3）a是正数。 评析：评析：有的同学以为带有负号的数就是负数，这是误解，a是正数、负数还是零，关键看a是什么数。例例5 判断题：（1）零是正数；（2）零是整数；（3）零是最小的有理数；（4）零是非负数；（5）零是偶数。 解答：解答：（1）错，零既不是正数，也不是负数；（2）对，整数包括正整数、负整数和零。（3）错，没有最小的有理数。（4）对

5、，非负数包括负数和零。（5）对，整数分为奇数和偶数，偶数包括正偶数、 负偶数和零。例例6 A、B、C三个数集，每个数集中所包含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填在圈内的相应位置。 A2，4，8，6，7； B4，5，1，2，6； C1，4，8，2，5；答案：答案：如图所示。41，5C5，1B68A2，7 评析：本题是关于0的性质正确认识，同学们在学习有理数的知识时，应注意随时总结0的性质。 评析：本题考察数集的表示方法，渗透元素与集合，集合与集合的关系的知识。 对集合A中的每个数应逐个分析，如2既不属于B，也不属于C，所以应写在圆A内，但不在圆B和圆C中，4同时属于三个集合，应写在三个集合的

6、公共区域内，8属于集合A和集合C，应写在圆A和圆C的公共区域内，但不在圆B内，其它数的写法以此类推。例例7 某中学对初一男生进行了引体向上的测试，以能做7个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，其中8名男生的成绩如下：3，2，0，4，1，1，2，5（1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少个引体向上？ 分析：分析：数据中的非负数是达到标准的。 答案：答案：（1）达到标准的为 10050；（2）他们共做了：783204112556个 引体向上。 评析：评析：本题是关于正负数的应用题，本题中的记数方法，当统计量和标准量越大时，越能显示其优越性，同时它也是简算平均数的基础

7、。482.2 数轴数轴一、本节知识要点：一、本节知识要点：1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。2、数轴上的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。3、任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示， 原点表示0，原点左侧的点表示负数，原点右侧的 点表示正数。4、数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，正数 大于0，0大于负数，正数大于负数。二、例题评析：二、例题评析：例例1 下列各题中是数轴的是（ ）A. B.C.D. 答案：选D。 评析：本题考查数轴的画法，图A中未标明正方向，图B中没有画出原点，图C的单位长度不一致，图D满足数轴的三要素的条件。101101 12011例例2 把数4，

8、2，1.2， ，3.5，2 在数轴上表示出来，再用“”把它们连接起来。解答：解答：如图所示 所以 42 1.22 3.5评析：评析：把一个数用数轴上的点表示时，通常把这个数在相应的点的上方，然后按照“左小右大”的原则依次排列。121212121012342342121.22123.5例例3 某城市公共汽车在一条笔直的8号路上来回地奔跑，起点站是A，（1）由A向东走5个站是终点站B，回头向西走了3个站，这时公共汽车A在何位置？（2）若由ABA算走一趟，每站间路是akm，每个米耗油bL，则该公共汽车一天10趟耗油多少升？ 答案：答案：本题可利用数轴求解。如图：画一数轴，使点A与原点重合，向东的方向

9、为正方向，每站间的距离为单位长度。（1）向东走5站，再向西走3站，此时公共汽车在起点A 的东边第二个站台上。（2）每趟走5akm，回头5akm， 共10 akm,共耗油10abL,10趟一共耗油1010ab100ab（L）评析：评析：一些实际问题利用数轴知识解显得更清晰，更简捷。012345AB例例4 求大于3而不超过3的所有整数。 答案：答案：2，1，0，1，2. 评析：评析：在数轴上观察3到3的整数即可，利用数轴把代数问题直观化，它是数形结合的数学思想的基础。例例5 已知点A在数轴上，对应的有理数为a，将A点向左移3个单位长度后，右移一个单位长度得到点B的对应的数为4.5，求有理数a。 答

10、案：答案：解如图所示。点A向左移3个单位再右移1个单位，即把A向左移2个单位。到B点，所以点B向左移2个单位即点A，即把4.5向右数两个单位，得a2.5。 评析：评析：本题需要逆向思维，关键是确定已知点B与待求点A之间的位置关系，学了运算以后本题还可以列方程求解，请同学思考。1012345AB例例6 选择题：在数轴上表示整数的点称为整点，某数轴单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长100cm的线段，则线段AB盖住的整点是（ ）A. 98或99B. 99或100C. 100或101D. 101或102 答案答案选C。 评析：评析：本题可分两种情况评论。 若线段端点与整点重合，则线段盖住1

11、01个整点； 若线段端点与整点不重合，则线段盖住100个整点。所以线段可以盖住100或101个整点。例例7 若a为正有理数，在a与a之间（不包括a和a）有2001个整数，求a的取值范围。 答案：1000a1001 评析：利用数轴思考本题更直观，当a1000时，由于不包括1000和1000，所以只有1999个整数，所以a1000，同理，a1001，所以1000a1001。2.3 相反数相反数 2.4绝对值绝对值一、相关知识要点：一、相关知识要点： 1、相反数的代数意义：、相反数的代数意义：只有符号不同的两个数，我们称它们是互为相反数，或称其中的一个是另一个的相反数，零的相反数是零。 2、相反数的

12、几何意义：、相反数的几何意义：在数轴上表示互为相反数的两个点分别位于原点两旁，且与原点的距离相等。 3、相反数的表示：、相反数的表示：一个数a的相反数通常用a表示，一个数本身用a表示；一个数前面有若干个正负号时，化简的结果由负号的个数决定，当负号的个数为整数时，化简的结果是这个数的相反数，当负号的个数为偶数时，化简的结果是这个数本身。 4、绝对值的几何定义：、绝对值的几何定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，用a表示。 5、绝对值的代数定义：、绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。 6、绝对值的有关性质：、绝对值的有关性质：

13、对任何有理数a，都有a0对任何有理数a、b，若ab0，则a0且b0。若ab（b0）则，ab。对任意有理数a，都有aa。二、例题选讲：二、例题选讲：例例1 分别写出下列各数的相反数：3 ， 18 ，12341 分析：分析：求一个数的相反数只要根据相反数的代数定义紧扣“只有符号不同”是解本题的关键。 解：解：3 的相反数是3 ；18 的相反数是18 ； 的相反数是1234(1)12341 例例2 化简下列各数的符号：（1）(9) （2）(2) 分析：分析：第（1）题中9的前面有3个负号，所以结果是负数，第2题中2的前面有2个负号，结果是正数。 解：解：（1）(9)9 （2）(2)2例例3 下列说法

14、正确的是（ ）A. 符号不同的两个数互为相反数B. 互为相反数的两个数必是一个正数，一个负数C. 的相反数是3.14D. 0.5的相反数是12 分析：分析：A错，如3和4符号不同，但它们不是相反数。B错，同为0的相反数是0。C错，因为 的相反 数是，但 3.14，0.5的相反数是 0.5，故D对，选D。例例4 已知a5，b3，且ba，求a、b的值。 分析：分析：已知a、b的绝对值可以求出a、b的所有值，再根据ba，即可求出a、b的值。 解：解：a5，b3，a5，b3。又ba，a5，b3。例例5 已知有理数，a为正数，b、c为负数，且cba，用“”号把a、b、c、a、b、c连接起来。 分析：分析

15、：本题可分三步： 根据已知条件把a、b、c描在数轴上; 再根据相反数的几何意义把a、b、c也描在数轴上; 根据这6个点的左右位置关系，用“”号把它们连接起来。 解：解：如图所示。 所以cbaabca0abcb c 评析：评析：本题在解题中用到了数轴、相反数和绝对值的几何意义等知识，一方面，同学们应对前面学习过的知识及时复习，另一方面适当做一些综合题以提高自己的解题能力，另外解比较数的大小的题目时，数轴仍是有力的工具。例例6 求下列各数的绝对值（1）（2）6（3）3.153512 分析：分析：计算绝对值，就是要紧扣绝对值的定义求解。 解：解：（1） （2）6 6（3）3.15， 3.15是负数，

16、 3.15(3.15) 3.1535351212例例7 判断题1、若ab则ab（ ）2、m=m（ ）3、m1m1（ ）4、若aa，则a0（ ）5、若aa，则a0（ ）6、若ab，则ab（ ）7、若ab，则ab（ ） 分析：分析：1、错，如11，但11；2、错，因为m是非负数，所以m也就是非负数，如m1时上式不成立。3、对，因为m1是非负数，所以根据绝对值的代数意义“非负数的绝对值等于本身”即可判定。4、错，00。5、错，00且0的相反数是0。6、错，如0 2，但027、错，如21但21例例8 填空：（1）若aa，则a 。（2）若aa，则a 。（3）若aa，则a 。（4）m2的整数有 。（5）绝

17、对值小于5的非正整数为 。 分析：分析：（1）题已知条件即“一个数的绝对值等于它的本身”，满足这个条件的数是正数如零，即非负数，有的同学容易漏解0.（2）题中已知条件即“一个数的绝对值等于它的相反数”，满足这个条件的数是负数如零，即非正数，这是更容易漏掉。（3）题的已知条件即“一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值”，这对任何有理数都成立。（4）题最好利用绝对值的几何意义做。（5）题做法同（4）。 答案：答案：（1）a0（2）a0（3）a为任意有理数（4）m0，1，2（5）4，3，2，1，0例例9 已知xy10，求2004x+y2004的值。 分析：分析：本题关键是利用非负数的性质：“几个非负数的和为0。则每个非负数一定为0.”求解。 解：解：xy10，x0，y10即x0，y2。2004x+y200420040120041例10 已知数轴上一点A到原点的距离是4，点B与A的距离是1，求所有满足条件的点到原点的距离之和。分析：分析：本题可由已知条件先确定点A，进而确定点B，再求出