对三角函数积分表的一点补充

1、对三角函数积分表的一点补充摘 要 本文从三角函数积分表缺少的一些公式入手，逐步进展推导，并在过程中熟悉求不定积分的一般方法。关键词 三角函数不定积分 根号 绝对值Supplement for Trigonometric Integral TableZHOU LanlanCollege of Information Science Technology， Hainan University， Haikou， Hainan 570228Abstract This article starts form missing some trigonometric formulas standings， g

2、radually derived and general method familiar indefinite integral in the process.Key words trigonometric indefinite integral; radical sign; absolute value在目前可找到的三角函数积分表中，根本上都缺少和其他一些更加复杂的形式，显然，并不是取任意值的时候都可以将其导出成初等函数的形式，但是至少可以取一些比较简单的值进展计算。如 = 0， = 0这种特殊情况，即求不定积分，可以得出其不能以初等函数表示，此处不予证明。考虑到可以变换成2的特殊形式，不妨

3、令 = 1， = 1进展运算。所以原式可以化成OO的形式，于是此题本质上转化为求OO的不定积分，那么求OO的不定积分是否可以继续化简，又是否是初等函数的形式呢？下面将进展讨论。例：求不定积分：OO解：令 = OO，显然 在上是连续的，所以其必定存在原函数。按照常规方法先把OO用分段函数表示出来：此时会有部分同学直接得出答案，原函数但是，假设继续 = 时的方程，就会由 = 得到 = +2，很显然，不存在固定的常数，使这两个式子同时成立。于是就会遇到一个问题，当通过两种不同的点计算得到的常数的值不同时，应该如何计算？所以我们需要再次审视一下得出的结论：不存在固定的常数，使这两个式子同时成立。什么是

4、固定的常数？难道还存在不固定的常数可以满足这个式子吗？确实，存在不固定的常数，可它为什么不固定，它是因为什么变化的呢？让我们再回过头去看当初的函数 = OO，这个函数在上显然是恒大于等于0的，也就是说，它的原函数在上是单调增的，并且由于 = OO是一个周期函数，所以在上是没有界的图1。图1而我们一开始求出的表达式，和都是有界函数，所以只能是这个不固定的常数，是无界的。而中的参数除了和，外，也只有了。在我们的思维中，三角函数中的绝大部分情况都是用来表示的取值范围，极少情况函数的表达式与有关。，到底和之间保持什么关系呢？很自然地，我们可以先猜测，与之间保持一次函数关系，因为这是我们最熟悉的一种形式，值得注意的是，对于点， + 与 + 的取值是一样的，而对于点，要表示同一个点的话， + 与 + 的取值不同。举个例子，要表示横坐标为的点，在，中， = 1;在，中， = 0。即 = + ， = + 。然后分别将之代入一开始我们得出的方程： = ，即 = 1时， + = + 与，即 = 时， + = + 。联立可得即该方程组对任意的和均成立。解之得 = = 4， = ，于是得出此题答案解出后我们可以发现，OO的不定积分并不是初等函数。但是我们仍然可以在有限的区间上讨论该函数的性质。图2是 = 0时一部分的图象，可以看出其是阶梯形变化的。所以可以对积分